高考数学 数学思想的应用情形归纳 第21讲 分类讨论思想情形之31-361

第21讲：分类讨论思想情形之31-36【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、分类讨论的思想是中学数学的基本思想方法，同时也是一种化整为零、各个击破、整合结论的解题策略.在分析和解决数学问题中，运用分类讨论思想可以将问题的条件与结论的因果关系、局部与整体的逻辑关系揭示得一清二楚、十分准确.在解决对象为可变的数量关系和空间图形形式的数学问题中有着广泛和重要的作用.有关分类讨论思想的数学问题贯穿于高中数学的各个部分，形式多样，综合性强，对于培养学生思维的缜密形、条理性、深刻性有着十分重要的作用.因此，分类讨论一直是高考命题的热点之一，也是每年必考的重要数学思想方法之一. 分类讨论思想就是由于某些元素具备不确定性，所以要分类讨论.分类讨论的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、分类讨论一般有四个要素：分类的起因、分类的标准、分类的过程、分类的结果.四、本讲讲了分类讨论思想情形之31-36, 情形31：放缩法证明数列不等式时必要时需要分类讨论；情形32：对双曲线两条渐近线所成的角要分类讨论；情形33：圆锥曲线焦点位置不确定时要分类讨论；情形34：求过点的曲线的切线方程时要就是否是切点分类讨论；情形35：函数在区间上单调时一般要分单调递增和单调递减讨论；情形36：解指数方程和不等式时，不确定参变量是否在对数函数的定义域内要分类讨论.【方法讲评】分类讨论情形31放缩法证明数列不等式时必要时需要分类讨论.【例1】设数列的前项和为.已知,.(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明:对一切正整数,有.【解析】(1) 解： ，. 当时， 又，（2）解： ，. 当时，上式显然成立. （3）证明：由（2）知，当时，原不等式成立.当时, ,原不等式亦成立.当时, 当时,，原不等式亦成立.综上，对一切正整数，有.【点评】（1），时，分母为零没有意义.所以要放缩，必须满足.本题要放大到，数列的前两项不能放大，必须从第项起开始放大，所以要分三种情况来分类讨论，因为要从第3项起才开始放大，如果数列没有3项呢？所以要分类讨论.（2）放缩法证明数列不等式时，如果不是从第一项开始放缩，而是从后面的第起才开始放缩，此时必须分类讨论.【反馈检测1】已知数列满足，令.（）求证：是等比数列；（）记数列的前n项和为，求；（）求证：.分类讨论情形32对双曲线两条渐近线所成的角要分类讨论.【例2】已知双曲线两条渐近线的夹角是，则 【解析】由题得双曲线的渐近线的方程为或者，所以，故填或.【点评】（1）双曲线的两条渐近线相交，所成的有两组角，一组关于轴对称，一组关于轴对称,已知中并没有说明是哪组角，所以要分类讨论. （2）我们在处理数学问题时，必须严谨全面，以免漏解.【反馈检测2】已知双曲线的两条渐近线的夹角为60，则其离心率为 分类讨论情形33圆锥曲线焦点位置不确定时要分类讨论.【例3】某一双曲线的焦距为，且与双曲线有相同的渐近线，求此双曲线的标准方程.综上所述，双曲线的标准方程为或.【点评】（1）双曲线的焦点位置不确定，所以要分类讨论，可以分焦点在轴和轴上分类讨论.（2）本题没有就焦点位置分类讨论，利用了同渐近线的双曲线系方程解答也可以.【反馈检测3】点到抛物线的准线的距离是2，则实数 .分类讨论情形34求过点的曲线的切线方程时要就是否是切点分类讨论.【例4】已知曲线，求曲线过点的切线方程.【解析】由题得点在曲线上，当是切点时，所以切线方程为所以切线方程为.当不是切点时，设曲线与过点的切线相切于点解得或（舍去）所以切线方程为.综合得所求的切线方程为或【点评】（1）由于点不确定是否是切点，所以要分类讨论.（2）当不确定是否是切点时，也可以不分类讨论，直接设切点，再求切点和斜率，求出直线的方程. （3）“函数在点处的切线”说明此时点是切点，“函数过点处的切线”说明点可能是切点，也可能不是切点，要分类讨论.要注意题目中的文字表达. 【反馈检测4】已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.分类讨论情形35函数在区间上单调时一般要分单调递增和单调递减讨论.【例5】已知，且函数在上是单调函数，求的取值范围或或 ，解得，(2)若在上是单调递减函数，则在上恒成立在上恒成立 在上恒成立则有当时，在上是单调函数【点评】（1）为单调函数，所以函数可能是单调增函数，还有可能为单调减函数，因此应令0或0在上恒成立（2）当然并不是说，在任何情况下都要分两种情况讨论，这取决于函数，有时可以直接分析函数的图像，得到参数的取值范围.（3）“在上是单调增函数”不能等价于函数的增区间是,这个大家要理解清楚，这两个差别还是很大的. “在上是单调增函数”表示函数的增区间是或者比更大.【反馈检测5】已知函数.如果函数在区间不单调，求的取值范围.分类讨论情形36解指数方程和不等式时，不确定参变量是否在对数函数的定义域内要分类讨论.【例6】（2017高考新课标I文科数学第21题）已知函数=ex(exa)a2x（1）讨论的单调性；（2）若，求a的取值范围【解析】（1）函数的定义域为，若，则，在单调递增若，则由得当时，；当时，所以在单调递减在仅当，即时，. 即此时的取值范围为.若，则由（1）得，当时，取最小值，且,从而当且仅当,即时，即此时的取值范围为.综上所述，的取值范围为.【点评】（1）本题第1问，为什么要分类？假设求单调增区间，所以要解不等式，即，不等式怎么解？一般情况下用同底比较法，先写成，再得到，但是在把写成时，一定要保证才可以，因为此时在对数函数的定义域内，如果就不可以了，因为此时不在函数的定义域内.由于已知条件没有告诉的取值情况，所以要分类讨论，分三种情况讨论. （2）本题第2问用到了第1问的结论，所以也要分类讨论.【反馈检测6】已知， （1）求在点处的切线；（2）讨论的单调性；（3）当， 时，求证： 分类讨论思想在高中数学中的应用情形归纳 第07讲：分类讨论思想情形之31-36参考答案【反馈检测1答案】（）详见解析; （）;（）详见解析.【反馈检测1详细解析】（）， 两式相减，得, 经检验，当时上式也成立，即.有即，且, 故是等比数列.（）由（）得又当时，左边=, 当时，有故.【反馈检测2答案】2或【反馈检测2详细解析】将焦点在x轴时当焦点在y轴时 所以.【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由题得，当时，由题得.当时，. 综合得.【反馈检测4答案】或【反馈检测4详细解析】设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率，又，.点在曲线上，代入得化简，得，或.若，则，过点的切线方程为；若，则，过点的切线方程为过点的曲线的切线方程为或因为时，函数在区间不单调.【反馈检测6答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.【反馈检测6详细解析】（1），故在处的切线为 （2）；当时， 恒成立，则在上