高考数学二轮复习 第1部分 重点强化专题 限时集训10 空间中的平行与垂直关系 文

专题限时集训(十)空间中的平行与垂直关系建议A、B组各用时：45分钟A组高考达标一、选择题1设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则bBA中，两直线可能平行、相交或异面，故A错；B中，由直线与平面垂直的判定定理可知B正确；C中，b可能平行，也可能在内，故C错；D中，b可能平行，也可能在内，还可能与相交，故D错综上所述，故选B.2(2017南昌模拟)如图105，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC内的射影H必在() 【导学号：04024096】图105A直线AB上B直线BC上C直线AC上 DABC内部A因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上3已知，是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面，；存在一条直线a，a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b.其中，所有能成为“”的充要条件的序号是()ABCDD对于，存在一个平面，则，反之也成立，即“存在一个平面，”是“”的充要条件，所以对，可排除B，C.对于，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90，因为a，b，所以，所成的角为90， 即，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a，b”是“”的充要条件，所以对，可排除A，选D.4(2017莆田模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1，平面过直线BD，平面AB1C，平面AB1Cm，平面过直线A1C1，平面AB1C，平面ADD1A1n，则m，n所成的角的余弦值为()A. B.C. D.D如图，由题中条件知，直线m为B1O，直线n为A1D，B1CA1D，B1O与A1D所成的角为CB1O(或其补角)，设正方体的棱长为a，在CB1O中，B1Ca，COa，B1Oa，cosCB1O.故选D.5(2017武汉模拟)如图106，在矩形ABCD中，AB，BC1，将ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于() 【导学号：04024097】图106A2 B3C4 D5B设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E平面ABC，D1E平面ABD1，平面ABD1平面ABC.D1E平面ABC，BC平面ABC，D1EBC，又ABBC，D1EABE，BC平面ABD1，又BC平面BCD1，平面BCD1平面ABD1，BC平面ABD1，AD1平面ABD1，BCAD1，又CD1AD1，BCCD1C，AD1平面BCD1，又AD1平面ACD1，平面ACD1平面BCD1.共有3对平面互相垂直故选B.二、填空题6(2017黄山模拟)已知正六棱锥SABCDEF的底面边长和高均为1，则异面直线SC与DE所成角的大小为_设正六边形ABCDEF的中心为O，连接SO，CO，BO，则由正六边形的性质知OCDE，SO平面ABCDEF，所以SCO为异面直线SC与DE所成角又易知BOC为等边三角形，所以SOBCCO1，所以SCO.7在三棱锥CABD中(如图107)，ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O是斜边BD的中点，AB4，二面角ABDC的大小为60，并给出下面结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；cos ADC；四面体ABCD的外接球表面积为32.其中真命题是_(填序号)图107由题意知BDCO，BDAO，则BD平面AOC，从而BDAC，故正确；根据二面角ABDC的大小为60，可得AOC60，又直线AD在平面AOC的射影为AO，从而AD与CO不垂直，故错误；根据AOC60，AOCO可得AOC为正三角形，故正确；在ADC中 ，ADCD4，ACCO2，由余弦定理得cos ADC，故错误；由题意知，四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，则外接球的表面积为S4(2)232，故正确8正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.因为AC平面BDD1B1，故，正确；记正方体的体积为V，则VEABCV为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误三、解答题9(2017全国卷)如图108，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.图108(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解 (1)证明：如图，取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO1分又由于ABC是正三角形，所以ACBO2分从而AC平面DOB，3分故ACBD4分(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.5分在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.7分由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC8分又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.9分故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1112分10(2017西安模拟)如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.图109(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值. 【导学号：04024098】解 (1)证明：在题图中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在题图中，BEA1O，BEOC，从而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱锥A1BCDE的高由题图知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2.从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3，由a336，得a6.B组名校冲刺一、选择题1(2016乌鲁木齐三模)如图1010，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，ACGF，且ABC是边长为2的正三角形，四边形DEFG是边长为4的正方形，M，N分别为AD，BE的中点，则MN()图1010A.B4C. D5A如图，取BD的中点P，连接MP，NP，则MPAB，NPDE，MPAB1，NPDE2.又ACGF，ACNP.CAB60，MPN120，MN，故选A.2如图1011，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()图1011A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC，故选D.3(2017安阳二模)如图1012，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：EPAC；EPBD；EP平面SBD；EP平面SAC，其中恒成立的为() 【导学号：04024099】图1012A BC DA如图所示，设AC，BD相交于点O，连接SO，EM，EN.对于，由SABCD是正四棱锥，可得SO底面ABCD，ACBD，SOAC.SOBDO，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMNM，SDBDD，SD，BD平面SBD，MN，EM平面EMN，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP.故正确对于，易知EP与BD是异面直线，因此不正确对于，由可知平面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此正确对于，由同理可得EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEME相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确故选A.4(2016长沙模拟)如图1013，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF，则下列结论中错误的是()图1013AACBFB三棱锥ABEF的体积为定值CEF平面ABCDD异面直线AE，BF所成的角为定值D对于选项A，连接BD(图略)，易知AC平面BDD1B1.BF平面BDD1B1，ACBF，故A正确；对于选项B，AC平面BDD1B1，A到平面BEF的距离不变EF，B到EF的距离为1，BEF的面积不变，三棱锥ABEF的体积为定值，故B正确；对于选项C，EFBD，BD平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，当F与B1重合时，令上底面中心为O，则此时两异面直线所成的角是A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误二、填空题5(2017衡水二模)如图1014，正方形BCDE的边长为a，已知ABBC，将ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：图1014AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VBACEa3；平面ABC平面ACD.其中正确的有_(填序号)作出折叠后的几何体直观图如图所示：ABBCa，BEa，AEa.ADa，ACa.在ABC中，cosABC.sinABC.tan ABC.BCDE，ABC是异面直线AB，DE所成的角，故正确连接BD，CE，则CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD.又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD.又AB平面ABD，CEAB，故错误VBACEVABCESBCEADa2a，故正确AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD.又BCCD，CDADD，CD，AD平面ACD，BC平面ACD.BC平面ABC，平面ABC平面ACD，故正确故答案为.6(2016太原二模)已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积取最大值时，其外接球的体积为_. 【导学号：04024100】当平面DAC平面ABC时，三棱锥DABC的体积取最大值此时易知BC平面DAC，BCAD.又ADDC，AD平面BCD，ADBD，取AB的中点O，易得OAOBOCOD1，故O为所求外接球的球心，故半径r1，体积Vr3.三、解答题7(2017东北三省四市联考)如图1015，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，ADAP2，AB2，E为棱PD的中点图1015(1)求证：PD平面ABE；(2)求三棱锥CPBD外接球的体积解 (1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.四边形ABCD为矩形，ABAD，PAADA，AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD，PAAD，E为PD中点，PDAE，AEABA，PD平面ABE6分(2)令PC的中点为O，连接OB，OD，由(1)知AB平面PAD，ABCD，CD平面PAD.PD平面PAD，CDPD，则ODPCOPOC.PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，BCAB，PAABA，BC平面PAB，PB平面PAB，BCPB，则OBPCOPOC，点O为三棱锥CPBD的外接球球心，PC为直径又PC2AB2AD2AP2(2)2222236，PC6，三棱锥CPBD外接球的体积为V球333612分8(2017福州模拟)如图，在等腰梯形PDCB中，PBDC，PB3，DC1，DPB45，DAPB于点A，将PAD沿AD折起，构成如图所示的四棱锥PABCD，点M在棱PB上，且PMMB.图1016(1)求证：PD平面MAC；(2)若平面PAD平面ABCD，求点A到平面PBC的距离解 (1)证明：在四棱锥PABCD中，连接BD交AC于点N，连接MN，依题意知ABCD，ABNCDN，2分2.3分PMMB，2，在BPD中，MNPD4分又PD平面MAC，MN平面MAC，PD平面MAC6分(2)法一：平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PAAD，PA平面PAD，PA平面ABCD8分VPABCSABCPA1.9分AB2，AC，PB，PC，BC.PB2PC2BC2，故PCB9010分记点A到平面PBC的距离为h，VAPBCSPBChhh.11分VPAB