高考数学二轮复习 6个解答题专项强化练（二）空间中位置关系的证明

6个解答题专项强化练(二)空间中位置关系的证明1.在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBCECAA1.求证：(1)AC1平面BDE；(2)A1E平面BDE.证明：(1)连结AC交BD于点O，连结OE.在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为四边形ABCD为正方形，所以点O为AC的中点， 因为AA1CC1且AA1CC1，又ECAA1，所以ECCC1，即点E为CC1的中点，于是在CAC1中，AC1OE. 又因为OE平面BDE，AC1平面BDE，所以AC1平面BDE.(2)连结B1E.设ABa，则在BB1E中，BEB1Ea，BB12a.所以BE2B1E2BB ，所以B1EBE. 由ABCDA1B1C1D1为长方体，得A1B1平面BB1C1C.因为BE平面BB1C1C，所以A1B1BE. 因为B1EA1B1B1，B1E平面A1B1E，A1B1平面A1B1E，所以BE平面A1B1E. 又因为A1E平面A1B1E, 所以A1EBE.同理A1EDE.又因为BEDEE，BE平面BDE，DE平面BDE，所以A1E平面BDE.2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，APAD，M，N分别为棱PD，PC的中点求证：(1)MN平面PAB; (2)AM平面PCD.证明：(1)因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MNDC, 又因为底面ABCD是矩形，所以ABDC，所以MNAB. 又AB平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB. (2)因为APAD，M为PD的中点，所以AMPD. 因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CDAD，CD平面ABCD，所以CD平面PAD. 又AM平面PAD，所以CDAM. 因为CDPDD，CD平面PCD，PD平面PCD，所以AM平面PCD.3.如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PA平面ABCD，M是AD的中点，N是PC的中点(1)求证：MN平面PAB；(2)若平面PMC平面PAD，求证：CMAD.证明：(1)取PB的中点E，连结EA，EN，在PBC中，ENBC且ENBC，由AMAD，ADBC，ADBC，得ENAM，ENAM.四边形ENMA是平行四边形，MNAE.又MN平面PAB，AE平面PAB，MN平面PAB.(2)过点A作PM的垂线，垂足为H.平面PMC平面PAD，平面PMC平面PADPM，AHPM，AH平面PAD，AH平面PMC，又CM平面PMC，AHCM.PA平面ABCD，CM平面ABCD，PACM.PAAHA，PA平面PAD，AH平面PAD，CM平面PAD.AD平面PAD，CMAD.4.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC，D，E分别是AB，AC的中点求证：(1)B1C1平面A1DE；(2)平面A1DE平面ACC1A1.证明：(1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DEBC, 又因为在三棱柱ABCA1B1C1中，B1C1BC，所以B1C1DE. 又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE. (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，又DE底面ABC，所以CC1DE. 又BCAC，DEBC，所以DEAC，又CC1平面ACC1A1，AC平面ACC1A1，且CC1ACC，所以DE平面ACC1A1.又DE平面A1DE，所以平面A1DE平面ACC1A1.5.如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积解：(1)证明：因为PAAB，PABC，ABBCB，所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，又ACPAA，所以BD平面PAC.因为BD平面BDE，所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC.所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.6由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E平面ABCD.(1)证明：A1O平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连结CO1，A1O1，因为ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1OC，A1O1OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1OO1C，因为O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1，所以A1O平面B1CD1.(2)因为E，M分别为AD，OD的中点，所以EMAO.因为AOBD，所以EMBD，又A1E平面ABCD，BD平面ABCD，所以A1EBD，因为B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1，又A1E平面A1EM，EM平面A1EM，A1EEME，所以B1D1平