高中数学 第三章 函数的应用 3_4_1 第2课时 用二分法求方程的近似解学案 苏教版必修1

第2课时用二分法求方程的近似解学习目标1.理解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想知识点一二分法的原理思考我们已经知道f(x)ex3x的零点在区间(1,2)内，如何缩小零点所在区间(1,2)的范围？梳理二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解知识点二用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤用二分法求方程f(x)0近似解的一般步骤：第一步：取一个区间(a，b)，使f(a)f(b)0，令a0a，b0b；第二步：取区间(a0，b0)的中点，x0(a0b0)；第三步：计算f(x0)(1)若f(x0)0，则x0就是f(x)0的解，计算终止；(2)若f(a0)f(x0)0，则解位于区间(a0，x0)中，令a1a0，b1x0；(3)若f(x0)f(b0)0，则解位于区间(x0，b0)中，令a1x0，b1b0.第四步：取区间(a1，b1)的中点，x1(a1b1)，重复第二步和第三步，直到第n步，方程的解总位于区间(an，bn)内第五步：当an，bn精确到规定的精确度的近似值相等时，那么这个值就是所求的近似解以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断类型一二分法的操作例1用二分法求函数f(x)x33的一个零点(精确到0.1)引申探究如何求的近似值(精确到0.1)?反思与感悟用二分法求函数零点的近似值关键有两点：一是初始区间的选取，符合条件(包括零点)，又要使其长度尽量小；二是进行精确度的判断，以决定是停止计算还是继续计算跟踪训练1借助计算器或计算机用二分法求方程2x3x7的近似解(精确到0.1)类型二二分法取中点的次数问题例2若函数f(x)在(1,2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01，则对区间(1,2)二等分的次数至少为_反思与感悟对于区间(a，b)二分一次区间长度为，二分二次区间长度为，二分n次区间长度为.令，nlg 2lg，n，从而估算出至少要使用多少次二分法跟踪训练2在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精确度为0.05，则取中点的次数不小于_1下列函数中，只能用二分法求其零点的是_yx7; y5x1；ylog3x; y()xx.2用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是_3方程2x1x5的根所在的区间为_4定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的曲线，已知函数f(x)在区间(a，b)上有一个零点x0，且f(a)f(b)0，用二分法求x0时，当f()0时，则函数f(x)的零点是_5用二分法求函数yf(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)f(4)0，取区间(2,4)的中点x13，计算得f(2)f(x1)0，则此时零点x0所在的区间是_1二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2二分法求方程近似解的适用范围：在包含方程解的一个区间上，函数图象是连续的，且两端点函数值异号3求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同答案精析问题导学知识点一思考取区间(1,2)的中点1.5.计算f(1.5)的值，用计算器算得f(1.5)0.018.因为f(1.5)f(2)0，所以零点在区间(1.5,2)内题型探究例1解由于f(0)30，f(1)20，f(2)50，故可取区间(1,2)作为计算的初始区间用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值(或近似值)(1,2)1.50.375(1,1.5)1.251.047(1.25,1.5)1.3750.400(1.375,1.5)1.437 50.030(1.437 5,1.5)1.468 750.168(1.437 5,1.468 75)1.453 1250.068(1.437 5,1.453 125)1.445 3130.019因为1.437 5和1.445 313精确到0.1的近似值都是1.4，所以f(x)的零点的近似值为1.4.引申探究解设x，则x32，即x320，令f(x)x32，则函数f(x)的零点的近似值就是的近似值，以下用二分法求其零点由f(1)10，故可以取区间(1,2)为计算的初始区间用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数值(1,2)1.51.375(1,1.5)1.250.046 9(1.25,1.5)1.3750.599 6(1.25,1.375)1.312 50.261 0(1.25,1.312 5)1.281 250.103 3(1.25,1.281 25)1.265 6250.027 3(1.25,1.265 625)1.257 812 50.010 0由于1.265 625和1.257 812 5精确到0.1的近似值都是1.3，所以的近似值是1.3.跟踪训练1解原方程即2x3x70，令f(x)2x3x7，用计算器或计算机作出函数f(x)2x3x7的对应值表与图象如下：x012345678f(x)2x3x762310214075142273观察图或表可知f(1)f(2)0，说明这个函数在区间(1,2)内有零点x0.取区间(1,2)的中点x11.5，用计算器算得f(1.5)0.33.因为f(1)f(1.5)0，所以x0(1,1.5)再取区间(1,1.5)的中点x21.25，用计算器算得f(1.25)0.87.因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25,1.5)同理可得，x0(1.375，1.5)，x0(1.375,1.437 5)因为1.375与1.437 5精确到0.1的近似值都为1.4，所以原方程的近似解为1.4.例27解析设对区间(1,2)至少二等分n次，初始区间长为1.第1次二等分后区间长为；第2次二等分后区间长为；第3次二等分后区间长为；，第n次二等分后区间长为.根据题意，得0.01，nlog2100.6log21007，n7.故对区间(1,2)至少二等分7次跟踪训练25解析初始区间的长度为1，精确