高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第72讲 直线和圆的位置关系的判断方法

第第 7272 讲讲 直线和圆的位置关系的判断方法直线和圆的位置关系的判断方法 【知识要点】 一、设直线:0l AxByC圆 222 :()()Cxaybr，圆心到直线的距离 22 AaBbC d AB . 二、判断直线与圆的位置关系的方法 方法一(几何法)：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系 dr 直线与圆相交； dr 直线与圆相切； dr 直线与圆相离： 方法二（代数法）：通过判别式判断直线与圆的方程组的实数解的情况，从而确定直线和圆的位置关 系. 0 方程组有两个不同的实数解直线与圆相交； 0 方程组有两个相等的实数解直线与圆相切； 0 方程组没有实数解直线与圆相离. 方法三（顶定点分析法）:先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆相交. 【方法讲评】 方法一几何法 使用情景判断直线和圆的位置关系 解题步骤先求直线到圆心的距离d，再比较d和圆的半径r的大小关系，得出结论. 【例 1】已知圆C：08 22 xyx与直线l：mxy， （1）1m时，判断直线l与圆C的位置关系； （2）若直线l与圆C相切，求实数m的值. 【点评】 （1）利用几何的方法判断直线和圆的位置关系，先求直线到圆心的距离d，再比较d和圆的 半径r的大小关系，得出结论.（2）第 2 小问，本题利用的是代数法，也可以利用几何法解答. 【反馈检测 1】已知圆C： 22 280xyx，直线l：30xaya （1）当直线l与圆C相切时，求实数a的值； （2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且4 2AB 时，求直线l的方程 方法二代数法 使用情景判断直线和圆的位置关系 解题步骤先联立直线和圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，再求判别式，得出结论. 【例 2】 已知：过点(0,1)A且斜率为k的直线l与圆 22 :(2)(3)1Cxy相交于,M N两点求 实数k的取值范围； 【解析】直线l过点(0,1)A且斜率为k， 直线l的方程为1ykx. 将其代入圆 22 :(2)(3)1Cxy， 得 22 (1)4(1)70kxk x， 由题意： 22 4(1)4(1) 70kk ， 得 4747 33 k . 【点评】本题利用代数的方法解答比较方便，如果利用几何的方法就比较麻烦，因为直线的方程里有 参数k，不是很好比较d和r的关系. 【反馈检测 2】已知圆 22 1Cxy：+=与直线:30lxym相交于不同的AB、两点，O为坐标 原点. （1）求实数m的取值范围； （2）若3AB ，求实数m的值. 方法三定点分析法 使用情景直线中一般含有参数 解题步骤先证明直线过某个定点，再证明该定点在圆内，则该直线和圆相交. 【例 3】已知圆 22 :(1)5C xy，直线:10l mxym 求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点,A B 【点评】对于本题，如果利用代数的方法和几何的方法，计算量比较大.但是如果找到直线的定点，就 比较容易判断直线和圆的关系.所以当直线中含有参数时，都要注意考虑直线是否过定点. 【反馈检测 3】已知动直线:(3)(2)0lmxmym与圆 22 :(3)(4)9Cxy （1）求证：无论m为何值，直线l总过定点A，并说明直线l与圆C总相交； （2）m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值 高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第 72 讲： 直线和圆的位置关系的判断方法参考答案 【反馈检测 1 答案】 （1）相交；（2）244m . 【反馈检测 2 答案】 （1） ( 2,2)；（2） 1m . 【反馈检测 2 详细解析】 （1）由 22 1 30 xy xym 消去y得 22 42 310xmxm ， 由已知得， 22 (2 3 )16(1)0mm 得 2 40m ，得实数m的取值范围是( 2,2)； （2）因为圆心(0,0)C到直线:30lxym的距离为 23 1 mm d ， 所以 2 222 =22 14 4 m ABrdm 由已知得 2 4= 3m，解得1m . 【反馈检测