高中数学第三章圆锥曲线与方程1_2椭圆的简单性质一课件北师大版选修2_1

第三章 1 椭圆 1.2 椭圆的简单性质(一) 学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形 . 2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质 、图形. 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考1 知识点一 椭圆的范围、对称性和顶点坐标 (1)范围：axa，byb； (2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称； (3)特殊点：顶点A1(a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，b). 答案 思考2 在画椭圆图形时，怎样才能画的更准确些？ 在画椭圆时，可先画一个矩形，矩形的顶点为(a，b)，(a，b) ，(a，b)，(a，b). 答案 梳理 椭圆的简单性质 焦点在x轴上焦点在y轴上 标准方程 (ab0) (ab0) 图形 焦点坐标_ 对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称 顶点坐标 A1(a，0)，A2(a，0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0，a)，A2(0，a)， B1(b，0)，B2(b，0) 范围|x| ，|y|_|x| ，|y|_ 长轴、短轴长轴A1A2长为 ，短轴B1B2长为_ (c，0)(0，c) abba 2a2b 知识点二 椭圆的离心率 思考 如何刻画椭圆的扁圆程度？ 用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之 ，越扁. 答案 梳理 (1)椭圆的焦距与长轴长的比e 称为椭圆的离心率. 扁 题型探究 类型一 由椭圆方程研究其简单性质 例1 求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标 . 椭圆的长轴长和短轴长分别是2a8和2b6， 四个顶点坐标分别是(4，0)，(4，0)，(0，3)和(0，3). 解答 引申探究 本例中若把椭圆方程改为“9x216y21”求其长轴长、短轴长、离心率 、焦点和顶点坐标.解答 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判 断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义， 求椭圆的基本量. 反思与感悟 跟踪训练1 求椭圆9x2y281的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标 和离心率. 顶点坐标(0，9)，(0，9)，(3，0)，(3，0). 解答 类型二 椭圆的性质的简单应用 命题角度1 依据椭圆的性质求标准方程 例2 如图所示，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴 两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距 离为 求这个椭圆的方程. 解答 由椭圆的对称性知|B1F|B2F|， 又B1FB2F，B1FB2为等腰直角三角形， 此类问题应由所给的性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而 求出a，b，在求解时，需注意椭圆的焦点位置. 反思与感悟 跟踪训练2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程 ： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，6)； 解答 (2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6. 解答 命题角度2 对称性问题 例3 讨论方程x3yx2y2xy31所表示的曲线关于x轴，y轴，原点的对称 性. 用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31， 它改变了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲线不关于x轴对称 . 同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲线也不关于y轴对称. 而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得 (x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程 x3yx2y2xy31所表示的曲线关于原点对称. 解答 研究曲线关于x轴，y轴，原点的对称性，只需用“y”代替方程中的 “y”，用“x”代替方程中的“x”，同时代替，若方程不变，则得 到相应的对称性. 反思与感悟 跟踪训练3 曲线x22y10的对称轴为 A.x轴 B.y轴 C.直线yx D.无法确定 答案解析 保持y不变，以“x”代替方程中的“x”，方程不变，故该曲线关于 y轴对称. 类型三 椭圆的离心率的求解 解答 依题意得F1(c，0)，直线l：yk(xc)，则C(0，kc). 所以2e417e280. 求e的取值范围有以下几个步骤： (1)切入点：已知|k| ，求e的取值范围，需建立关于e的不等式. (2)思考点：e与k有什么关系？建立e与k的等量关系式；利用B在 椭圆上且为CF1的中点，构建关于e与k的等式；如何求e的范围？先用e 表示k，再利用|k| ，求e的取值范围. (3)解题流程：先写出l的方程，求出B点的坐标，由点B在椭圆上，建立e 与k的关系式，再求e的范围. 反思与感悟 答案解析 (ac)r|yp|c， 当堂训练 23451 答案 解析 1.已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为 2.与椭圆9x24y236有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是 答案解析 23451 3.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0) ， 则此椭圆的标准方程为_. 23451 答案解析 23451 4.已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围是 _.答案解析 23451 5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是( 10，0)，则焦点坐标为_.答案解析 规律与方法 1.可以应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数 知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段 的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论