高中数学 第三章 基本初等函数（ⅰ）3_1_2 第2课时 指数函数及其性质的应用学案 新人教b版必修1

3.1.2 第2课时指数函数及其性质的应用学习目标1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.知识链接1.函数yax(a0且a1)恒过点(0,1)，当a1时，单调递增，当0a1时，单调递减.2.复合函数yf(g(x)的单调性：当yf(x)与ug(x)有相同的单调性时，函数yf(g(x)单调递增，当yf(x)与ug(x)的单调性相反时，yf(g(x)单调递减，简称为同增异减.预习导引1.函数yax与yax(a0，且a1)的图象关于y轴对称.2.形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域.(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有相同的单调性；当0a1时，函数yaf(x)与函数yf(x)的单调性相反.3.形如ykax(kR，且k0，a0且a1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则yN(1p)x(xN).要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：(1)1.9与1.93；(2)与0.70.3；(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y1.9x在R上单调递增，而3，所以1.91.93.(2)因为函数y0.7x在R上单调递减，而20.267 90.3，所以0.70.3.(3)因为y0.6x在R上单调递减，所以0.60.40.60.6；又在y轴右侧，函数y0.6x的图象在y0.4x的图象的上方，所以0.60.60.40.6，所以0.60.40.40.6.规律方法1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较.跟踪演练1已知a0.80.7，b0.80.9，c1.20.8，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.bacC.cba D.cab答案D解析因为函数y0.8x在R上单调递减，而0.70.9，所以10.80.70.80.9，又因为1.21,0.80，所以1.20.81，故1.20.80.80.70.80.9，即cab.要点二指数型函数的单调性例2判断f(x)的单调性，并求其值域.解令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上递减，在1，)上递增，又yu在(，)上递减，y在(，1上递增，在1，)上递减.ux22x(x1)211，yu，u1，)，0u13，原函数的值域为(0,3.规律方法1.关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a的大小；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考查f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性.跟踪演练2求函数y的单调区间.解函数y的定义域是R.令ux22x(x1)21，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y在(，1上是增函数.当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y在1，)上是减函数.综上，函数y的单调增区间是(，1，单调减区间是1，).要点三指数函数的综合应用例3已知函数f(x).(1)证明f(x)为奇函数.(2)判断f(x)的单调性，并用定义加以证明.(3)求f(x)的值域.(1)证明由题知f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)解f(x)在定义域上是增函数.证明如下：任取x1，x2R，且x1x2，f(x2)f(x1)(1)(1).x1x2，330,310，310，f(x2)f(x1)0，即f(x2)f(x1)，f(x)为R上的增函数.(3)解f(x)1，3x03x110220，111，即f(x)的值域为(1,1).规律方法指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可.跟踪演练3设a0，f(x)是R上的偶函数.(1)求a的值；(2)求证f(x)在(0，)上是增函数.(1)解依题意，对一切xR，有f(x)f(x)，即aex， 0对一切xR成立.由此得到a0，即a21.又a0，a1.(2)证明设0x1x2，则f(x1)f(x2)ex1e(ee)(ee).0x1x2，ee，ee0.又1e0，e0，f(x1)f(x2)0.即f(x)在(0，)上是增函数.1.函数y1x的单调递增区间为()A.(，) B.(0，)C.(1，) D.(0,1)答案A解析定义域为R.设u1x，yu.u1x在R上为减函数.又yu在(，)为减函数，y1x在(，)是增函数，选A.2.若2a132a，则实数a的取值范围是()A.(1，) B.C.(，1) D.答案B解析原式等价于2a132a，解得a.3.设y140.9，y280.48，y31.5，则()A.y3y1y2 B.y2y1y3C.y1y2y3 D.y1y3y2答案D解析40.921.8,80.4821.44，()1.521.5，根据y2x在R上是增函数，所以21.821.521.44，即y1y3y2，故选D.4.某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成_个.答案512解析3 h920 min，即经过9次分裂，可分裂为29512个.5.已知函数f(x)a，若f(x)为奇函数，则a_.答案解析函数f(x)为奇函数，定义域为Rf(0)a0.a.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则ambn；若amc且cbn，则ambn.2.指数函数单调性的应用(1)形如yaf(x)的函数的单调性：令uf(x)，在f(x)的单调区间m，n上，如果两个函数yau与uf(x)的单调性相同，则函数yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)