高考数学 经典错题深度剖析及针对训练 专题30 随机变量及其分布1

专题30 随机变量及其分布【标题01】把三个事件的积事件理解错误【习题01】某人有5把不同的钥匙，逐把地试开某房门锁，试问他恰在第3次打开房门的概率？【经典错解】由于此人第一次不能开房门的概率为，若第一次未开，第2次不能打开房门的概率应为，所以此人第3次打开房门的概率为.【详细正解】第1次未打开房门的概率为；第2次未开房门的概率为；第3次打开房门的概率为，所求概率为.【习题01针对训练】某种项目的射击比赛，开始时在距目标100米处射击，如果命中记3分，且停止射击，若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150米处，这时命中记2分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200米处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他的命中率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的（1）求这名射手在三次射击中命中目标的概率；（2）求这名射手比赛中得分的均值【标题02】没有注意事件的先后顺序导致遗漏了一些情况出错【习题02】某运动员射击一次所得环数的分布列如下：78910 0.20.20.20.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为，求的分布列.【经典错解】的取值为8，9，10.=7，两次环数为7,7；=8，两次成绩为7，8或8，8；=9，两次成绩7，9或8，9或9，9；=10，两次队数为7，10或8，10或9，10或10，10. （分布列略）【详细正解】，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形，两次环数分别为7,9（或9,7）；8,9（或9,8），9.9 同理【习题02针对训练】学校要用三辆校车从南校区把教职工接到校本部，已知从南校区到校本部有两条公路，校车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；校车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为若甲、乙两辆校车走公路，丙校车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响（1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为，求走公路堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的辆数的分布列和数学期望.【标题03】把独立事件的概率理解为互斥事件的概率了【习题03】甲投篮命中概率为0.8，乙投篮命中概率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少？【经典错解】设“甲恰好投中2次”为事件，“乙恰好投中2次”为事件，则两人恰好投中2次为.所以=.【详细正解】设“甲恰好投中2次”为事件，“乙恰好投中2次”为事件，则两人恰好都投中2次为.所以=【深度剖析】（1）经典错解错把独立事件的概率理解为互斥事件的概率了.（2）本题的概型是相互独立同时发生的事件同时发生的概率，而不是互斥事件的概率.错将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的和.实际上是“甲恰好投中2次”与“乙恰好投中2次”的积.（3）解答概率题时，要先定性（六大概型：古典概型、几何概型、互斥事件的概率、独立事件同时发生的概率、独立重复试验的概率和条件概率），后定量.在定性时，要仔细分析，不要把事件定性错了.【习题03针对训练】地为绿化环境，移栽了银杏树棵，梧桐树棵.它们移栽后的成活率分别为、，每棵树是否存活互不影响，在移栽的棵树中：（1）求银杏树都成活且梧桐树成活棵的概率；（2）求成活的棵树的分布列与期望.【标题04】审题不清忽略了“有放回地取”这个关键词【习题04】一个袋中有4个大小相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回地取球，每次随机取1个求连续取两次都是白球的概率.【经典错解】由题得【详细正解】记事件为“连续取两次都是白球”，所以【习题04针对训练】一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率；(2)从袋中有放回地取球求恰好取5次停止的概率；记5次之内(含5次)取到红球的个数为，求随机变量的分布列及数学期望【标题05】对事件“某位顾客返券的金额为30元”没有理解透彻【习题05】某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次，并获得相应金额的返券，假定指针等可能地停在任一位置.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费218元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和求某位顾客返券的金额为30元的概率. 【经典错解】设=某位顾客返券的金额为30元,则.【详细正解】设=某位顾客返券的金额为30元,则.【习题05针对训练】某运动员射击一次所得环数的分布列如下：78910P0.20.20.20.2现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高的环数作为他的成绩记为，求.【标题06】考虑不周全总数出现重复情况导致总数变大出错【习题06】某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望【经典错解】（1）每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有4种选择，总共有43=64.（2）恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率：=.（3）下略。【详细正解】（1）每个学生必须且只需选修1门选修课，每一人都有4种选择，总共有43=64.（2）恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率：=.（3）设某一选修课被这3名学生选择的人数为，则=0，1，2，3 每次选课被选到的概率为，不被选到的概率为，显然 所以分布列如下图：0123 【习题06针对训练】某校要进行特色学校评估验收，有甲、乙、丙、丁、戊五位评估员将随机去三个不同的班级进行随班听课，要求每个班级至少有一位评估员（1）求甲、乙同时去班听课的概率；（2）设随机变量为这五名评估员去班听课的人数，求的分布列和数学期望【标题07】第一问实际问题理解出现问题【习题07】某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润(元)关于当天需求量（枝）的函数解析式. 花店记录了天玫瑰花的日需求量（枝），整理得下表.以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进枝玫瑰花，表示当天的利润（元），求的分布列、数学期望与方差.【经典错解】 可取， 的分布列为： 所以 【详细正解】当时， 当时， 得： 可取， 所以的分布列为： 所以 【习题07针对训练】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润元，未售出的产品，每亏损元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了该农产品以 （单位：,）表示下一个销售季度内的市场需求量，（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将表示为的函数；（2）根据直方图估计利润不少于元的概率 【标题08】把独立重复试验概率定性为古典概型了【习题08】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品作为样本，测得它们的重量（单位：克），将重量按如下区间分组：，得到样本的频率分布直方图（如图所示）若规定重量超过495克但不超过510克的产品为合格产品，且视频率为概率，回答下列问题：（1）在上述抽取的40件产品中任取2件，设为合格产品的数量，求的分布列和数学期望； （2）若从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率【经典错解】（1）由样本的频率分布直方图得，合格产品的频率为 . 所以抽取的40件产品中，合格产品的数量为 则可能的取值为0,1,2， 所以,，因此的分布列为012故数学期望 （2）由题得从流水线上任取3件产品，求恰有2件合格产品的概率. 【详细正解】（1）同上；（2）因为从流水线上任取1件产品合格的概率为， 所以从流水线上任取3件产品，恰有2件合格产品的概率为 【习题08针对训练】某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有、两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若仅有项技术指标达标的概率为， 两项技术指标都不达标的概率为按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品（1）求一个零件经过检测为合格品的概率？（2）若任意抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求的分布列及数学期望 【标题09】把互斥事件的和事件理解错了【习题09】某次数学考试中有三道选做题，分别为选做题1、2、3规定每位考生必须且只须在其中选做一题. 甲、乙、丙三名考生选做这一题中任意一题的可能性均为，每位学生对每题的选择是相互独立的，各学生的选择相互之间没有影响求这三个人选做的是同一道题的概率 .【经典错解】由题得设这三个人选做的是同一道题为事件A,则【详细正解】由题得设这三个人选做的是同一道题为事件A,则.【习题09针对训练】某市公租房的房源位于三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：（1）恰有2人申请片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望【标题10】没有利用期望的公式求期望仅凭自己的感觉经验解答【习题10】公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（1）求的分布列；（2）若要求，确定的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？【经典错解】（1）由已知得的可能取值为16，17，18，19，20，21，22.， ， ， ，.X的分布列为：16171819202122（2）由（1）知：中，的最小值为19（3）由（1）得买19个所需费用期望：，买20个所需费用期望：， 买19个更合适【详细正解】（1）（2）同上.（3）由（1）得买19个所需费用期望：，买20个所需费用期望：， 买19个更合适【习题10针对训练】东北大学软件园新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励05慧币，以后每一关比前一关奖励翻一翻（即增加1倍），游戏规定：闯关者须在闯关前任选一种奖励方案（）设闯过n关后三种奖励方案获得的货币依次为试分别求出的表达式；（）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应该如何选择奖励方案高中数学经典错题深度剖析及针对训练第30讲：随机变量及其分布参考答案【习题01针对训练答案】（1） ；（2）. （）依题意，设射手甲得分为，则， 的分布列为0123.【习题02针对训练答案】(1) ； (2) .【习题02针对训练解析】（1）由已知条件得 即，则 所以的值为 （2）解：可能的取值为 所以的分布列为0123，同理：，的分布列为. 随机变量的分布列是0123的数学期望是 【习题05针对训练答案】0.21【习题05针对训练解析】，即两次成绩应为7，8或8，7或8，8实际为三种情形， 【习题06针对训练答案】（1） ； （2）从而分布列为：123所以.【习题06针对训练解析】（1）五名评估员随机去三个班级听课，要么一个班级有三个、其余两个班级各一个；要么两个班级各两个、另一个班级一个.故总共的听课可能性有种，其中甲乙同时去A班听课的可能性有种所以所求概率为 （2）可取值为1，2，3 从而分布列为：123 所以下一个销售季度内的利润不少于元的概率的估计值为【习题08针对训练答案】（1）；（2） .【习题08针对训练解析】（1）设、两项技术指标达标的概率分别为、由题意，得 解得，一个零件经过检测为合格品的概率为 （2）依题意知，分