高考数学 数学思想的应用情形归纳 第03讲 转化化归思想情形之09-121

第03讲：转化化归思想情形之9-12【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点，它在认识过程中被反复运用，带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想，而且数学思想是数学学科的精髓，是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想，才能有效地应用知识，形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时，也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法.高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等.二、在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解比较困难，通过观察、分析等思维过程,需将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的），通过对新问题的求解，达到解决原问题的目的.这一思想方法我们称之为“转化化归思想”.转化化归思想就是化难为易，化生为熟，化繁为简，化未知为已知.转化化归思想的情形很多，常见的情形见后面的方法讲评.三、转化化归要遵循的几个基本原则有：目标简单化原则、和谐统一性原则、熟悉化原则、直观化原则.四、本讲讲了转化化归思想情形之9-12, 情形9：陌生熟悉的转化化归；情形10：空间平面的转化化归；情形11：抽象具体的转化化归；情形12：实际数学的转化化归.【方法讲评】转化化归情形九陌生熟悉的转化化归在解答数学问题时，我们有时会遇到陌生的问题，感到棘手.这时，可以想办法把陌生的问题和学过的知识联系起来，把陌生的问题转化为熟悉的问题解答，问题从而迎刃而解.【例1】在一次抽样调查测得样本的5个样本点，数值如下表：x0.250.5124y1612521试建立y与x的回归方程.【解析】作出变量y与x之间的散点图如图所示：由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系.设令则，由y与x的数据表可得y由图可知y与t呈近似的线性相关关系.【点评】（1）由与的散点图得到与不具备线性关系，近似地满足反比例函数，所以不能直接用最小二乘法求它们的回归方程. 怎么求呢？可以通过换元得到，与近似满足线性关系，可以利用最小二乘法求线性回归方程. （2）相比建立线性回归方程模型，建立非线性回归方程模型多了两个步骤，即换元和去新元，通过换元将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型，通过去新元，得到非线性回归方程。这个实际上，是数学中的转化的思想的具体运用,把陌生的问题转化为熟悉的问题解答.【反馈检测1】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，3，.8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值46.65636.8289.81.61469108.8表中： .（）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（）根据（I）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；（）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值【例2】求当的展开式中的一次项的系数.【点评】（1）对于三项式的展开式教材上没有讲过，教材上只讲了二项式的展开式. 所以我们可以想办法把三项式转化成二项式，再利用二项式的展开式的性质解答. (2)对于三项式的展开式的研究，一般转化成二项式的展开式研究，把其中的两项结合在一起，成为“一项”，实际上就是数学的一个转化的思想的运用,把陌生的转化为熟悉的问题解答.【反馈检测2】展开式中常数项为（ ）A252 B252 C160 D160 转化化归情形十空间平面的转化化归在解答空间几何的问题时，如果遇到棘手的问题，可以把空间的问题转化为平面的问题，把复杂的变简单，解答迎刃而解.【例3】如图，圆锥的底面直径，母线长，点在母线上，且，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（ ）A B C D AVCB【点评】（1）由于蚂蚁在沿着曲面爬行，所以蚂蚁走过的路线是曲线，要直接求，比较困难，怎么办？我们这时可以把曲面展开，变成平面，再利用解三角形的知识来分析解答，问题迎刃而解. （2）本题利用了转化化归的思想，把空间的问题化成平面的问题，问题迎刃而解. 遇到曲面、折面的问题，比较难解答时，可以利用“展开法”化曲为平解答.【反馈检测3】如图，圆锥的底面圆直径为2，母线长为4，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为_【例4】如图，垂直圆所在的平面，是圆上的点，是的中点，为的重心，是圆的直径，且 （1）求证：平面；（2）求到平面的距离 【解析】（1）如图，连结并延长交于，连结为的重心，为的中点为的中点，（2）是圆的直径，由（1），知，平面平面，又平面平面，平面，就是到平面的距离由已知可得，为正三角形，又为的重心，故到平面的距离为【点评】到平面的距离是空间的距离，可以转化为点到它在平面的射影的距离，再利用平面几何三角形的知识求的长度.本题就是利用转化的思想把空间的问题转化成平面的问题解答.【反馈检测4】如图所示，四边形是菱形，是与的交点，.（）求证：；（）若， ，求的长及点到平面的距离转化化归情形十一抽象具体的转化化归我们在解答数学问题时，经常会遇到抽象的数学问题，不易理解，可以构造简单的、具体的实例，帮助我们理解，帮助我们寻找解题思路.【例5】设S，T，是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：对任意当时，恒有，那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A BC D【点评】（1）定义题往往比较抽象，不是很好理解，这时，我们可以通过举例，化抽象为具体，帮助我们理解，帮助我们寻找解题思路.（2）在举例时，举什么例子，才恰当，需要自己随机应变. 【例6】无穷数列由k个不同的数组成，为的前n项和.若对任意，则的最大值为_.【解析】当时，根据题意，此时数列最多由1个数组成，所以；当时，此时数列最多由2个数组成，所以；当时，此时数列最多由3个数组成，所以；当时，此时数列最多由4个数组成，所以；当时， 此时数列最多由5个数组成，所以；以此类推，我们发现.【点评】（1）本题不是很好理解，字母比较多，条件比较多，这时，我们可以通过取值的方法，帮助我们理解题目的含义. 当我们列举完和时，我们对题目的意思理解的差不多了. (2)遇到抽象的数学问题，利用特取的方法很适用，通过特取（特殊的点、特殊的数、特殊的位置、特殊的函数、特殊的模型、特殊的情形等），可以把抽象的数学问题化成具体的问题，问题迎刃而解.【反馈检测5】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）A. 18个 B. 16个 C. 14个 D.12个转化化归情形十二实际数学的转化化归在解答实际应用题时，我们先要从实际问题里，抽象出一个数学问题，再解答，最后回到实际问题中去.【例7】 某地有三家工厂，分别位于矩形的顶点，及的中点处，已知，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形的区域上（含边界），且，与等距离的一点处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道，设排污管道的总长为（）按下列要求写出函数关系式：设，将表示成的函数关系式；设，将表示成的函数关系式（）请你选用（）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短【解析】（）由条件知垂直平分，若，则，故，又，所以.所求函数关系式为.令得，因为，所以，当时，是的减函数；当时，是的增函数，所以当=时，这时点位于线段的中垂线上，且距离边处【点评】（1）本题主要考查根据实际意义建立函数模型、三角函数性质和解决最值问题的基本知识，考查了数形结合思想和分析问题、转化求解的能力（2）对于较复杂的三角函数的最值，一般利用导数来研究函数的单调性从而得到函数的最值.（3）一般以平面几何为背景的应用题，多以角为自变量建立三角函数模型，比以边为自变量建立函数模型简单.(4)本题就是利用转化化归的思想，把实际问题转化为数学问题，再解答，最后回到实际问题中去.【反馈检测6】某商场预计从2013年1月份起的前x个月，顾客对某商品的需求总量p（x）（单位：件）与x的关系近似的满足，且）。该商品第x月的进货单价q（x）（单位：元）与x的近似关系是（1）写出这种商品2013年第x月的需求量f（x）（单位：件）与x的函数关系式；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，试问该商场2013年第几个月销售该商品的月利润最大，最大月利润为多少元？转化化归思想在高中数学中的应用情形归纳 第03讲：转化化归思想情形之9-12参考答案【反馈检测1答案】（）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（）关于的回归方程为=100.6+68；（）（i）当=49时，年销售量的预报值576.6，年利润z的预报值66.32；（ii）当=46.24时，年利润的预报值最大【反馈检测1详细解析】（）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；（）令，先建立关于的线性回归方程，由于，当=6.8，即=46.24千元时，年利润的预报值最大【反馈检测2答案】【反馈检测2详细解析】，而展开式的通项公式为：，令，得：，常数项为：，故选【反馈检测3答案】【反馈检测3详细解析】由题意知底面圆的直径，故底面周长等于设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得解得，所以展开图中，根据勾股定理求得=,所以小虫爬行的最短距离为.【反馈检测4答案】）证明见解析；（）,到的距离为.【反馈检测4详细解析】（）证明：因为，因为. 所以，设到的距离为，由，得， ，由（1）知，且，所以，即是到的距离. ，即到的距离为.【反馈检测5答案】C【反馈检测5详细解析】由题意，得必有，则具体的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110【反馈检测6答案】（1），且）；（2）3125；【反馈检测6详细解析】（1）当时，需求量为，当时，2013年第个月的总需求量等于第个月的需求总量减去第个月需求总量；（2）根据利润=该商品每件的利润月销售量，来列出利润的函数关系式，然后通过求导数