高中数学第二章数列2_3_3等比数列的前n项和一学案苏教版必修5

23.3等比数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题知识点一等比数列的前n项和公式的推导思考对于S641248262263，用2乘以等式的两边，可得2S64248262263264，对这两个式子作怎样的运算能解出S64?梳理设等比数列an的首项是a1，公比是q，前n项和Sn可用下面的“错位相减法”求得Sna1a1qa1q2a1qn1.则qSna1qa1q2a1qn1a1qn.由得，(1q)Sna1a1qn.当q1时，Sn.当q1时，由于a1a2an，所以Snna1.结合通项公式可得：等比数列前n项和公式Sn知识点二等比数列的前n项和公式的应用思考要求等比数列前8项的和：(1)若已知其前三项，用哪个公式比较合适？(2)若已知a1，a9，q的值用哪个公式比较合适？梳理一般地，使用等比数列求和公式时需注意：(1) 一定不要忽略q1的情况；(2) 知道首项a1、公比q和项数n，可以用；知道首尾两项a1，an和q，可以用；(3) 在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个类型一等比数列前n项和公式的应用命题角度1前n项和公式的直接应用例1求下列等比数列前8项的和：(1)，；(2)a127，a9，q0.反思与感悟求等比数列前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，应特别注意q1是否成立跟踪训练1若等比数列an满足a2a420，a3a540，则公比q_；前n项和Sn_.命题角度2通项公式、前n项和公式的综合应用例2在等比数列an中，S230，S3155，求Sn.反思与感悟(1)应用等比数列的前n项和公式时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论(2)当q1时，等比数列是常数列，所以Snna1；当q1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式当已知a1，q与n时，用Sn比较方便；当已知a1，q与an时，用Sn比较方便跟踪训练2在等比数列an中，a12，S36，求a3和q.类型二等比数列前n项和的实际应用例3某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30 000台？(结果保留到个位)反思与感悟解应用题先要认真阅读题目，尤其是一些关键词：“平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%”理解题意后，将文字语言向数字语言转化，建立数学模型，再用数学知识解决问题跟踪训练3一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？1等比数列1，x，x2，x3，的前n项和Sn_.2设等比数列an的公比q2，前n项和为Sn，则_.3等比数列an的各项都是正数，若a181，a516，则它的前5项的和是_4某厂去年产值为a，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为_1在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”2前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即当q1和q1时是不同的公式形式，不可忽略q1的情况3一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减的方法求和答案精析问题导学知识点一思考 比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S64，即S642641.知识点二思考(1)用Sn.(2)用Sn.题型探究例1解(1)因为a1，q，所以S8.(2)由a127，a9，可得27q8.又由q0，可得q.所以S8.跟踪训练122n12例2解由题意知解得或从而Sn(5n1)或Sn，nN*.跟踪训练2解由题意，得若q1，则S33a16，符合题意此时，q1，a3a12.若q1，则由等比数列的前n项和公式，得S36，解得q2.此时，a3a1q22(2)28.综上所述，q1，a32或q2，a38.例3解根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同所以从今年起，每年的销售量组成一个等比数列an，其中a15 000，q110%1.1，Sn30 000.于是得到30 000.整理，得1.1n1.6.两边取对数，得nlg 1.1lg 1.6.用计算器算得n5(年)所以大约5年可以使总销售量达到30 000台跟踪训练3解用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为Sna1a2an125125.故这个热气球上升的高度不可能超过125