高考数学二轮复习 第1部分 知识专题突破 专题11 附加题部分学案

专题十一附加题部分(选修测试物理的考生学习此部分)此部分考查的内容主要是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题41几何证明选讲、42矩阵与变换、44坐标系与参数方程、45不等式选讲这4个专题的内容(考生只需选考其中两个专题)命题观察高考定位(对应学生用书第54页)1(2016江苏高考)如图111，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy20，抛物线C：y22px(p0)图111(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求证：线段PQ的中点坐标为(2p，p)；求p的取值范围. 【导学号：56394080】解(1)抛物线C：y22px(p0)的焦点为，由点在直线l：xy20上，得020，即p4.所以抛物线C的方程为y28x.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.证明：由消去x得y22py2pb0.(*)因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，从而(2p)24(2pb)0，化简得p2b0.方程(*)的两根为y1,2p，从而y0p.因为M(x0，y0)在直线l上，所以x02p.因此，线段PQ的中点坐标为(2p，p)因为M(2p，p)在直线yxb上，所以p(2p)b，即b22p.由知p2b0，于是p2(22p)0，所以pm时，(k1)C(m1)(m1)C，km1，m2，n.又因为CCC，所以(k1)C(m1)(CC)，km1，m2，n.因此，(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m2)C(m3)C(n1)C(m1)C(m1)(CC)(CC)(CC)(m1)C.4(2015江苏高考)已知集合X1,2,3，Yn1,2,3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f (n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f (6)的值；(2)当n6时，写出f (n)的表达式，并用数学归纳法证明解(1)Y6，S6中的元素(a，b)满足：若a1，则b1,2,3,4,5,6；若a2，则b1,2,4,6；若a3，则b1,3,6.所以f (6)13.(2)当n6时，f (n)(tN*)下面用数学归纳法证明：当n6时，f (6)6213，结论成立假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，Sk1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：a若k16t，则k6(t1)5，此时有f (k1)f (k)3k23(k1)2，结论成立；b若k16t1，则k6t，此时有f (k1)f (k)1k21(k1)2，结论成立；c若k16t2，则k6t1，此时有f (k1)f (k)2k22(k1)2，结论成立；d若k16t3，则k6t2，此时有f (k1)f (k)2k22(k1)2，结论成立；e若k16t4，则k6t3，此时有f (k1)f (k)2k22(k1)2，结论成立；f 若k16t5，则k6t4，此时有f (k1)f (k)1k21(k1)2，结论成立综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立命题规律(1)排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想. 排列与组合问题一直是高考数学的热点内容之一与二项式定理综合问题较难(2)空间向量与立体几何，重点考查利用空间向量求线线角、线面角、面面角，难度中等主干整合归纳拓展(对应学生用书第55页)第1步 核心知识再整合1几何证明选讲部分，需要核心关注与圆有关的比例线段、圆幂定理的应用及推理论证，相似三角形与圆内接四边形是主要的转换形式2矩阵与变换部分，着重掌握用二阶行列式求逆矩阵、二阶矩阵的乘法等基础计算3坐标系与参数方程部分，着重掌握极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化，通过极坐标方程、参数方程考查直线与圆、椭圆的位置关系是命题的热点4不等式选讲部分，以考查含一个或两个绝对值号的不等式的求解为主，通常不等式中带有参数，分类讨论去绝对值是必然的选择5离散型随机变量的均值与方差(1)均值：E(X)x1p1x2p2xnpn；(2)方差：V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pn；(3)性质：E(axb)aE(x)b；V(axb)a2V(x)6两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，V(X)p(1p)；(2)若XB(n，p)，则E(X)np，V(X)np(1p)7直方图的三个常用结论(1)小长方形的面积组距频率；(2)各长方形的面积和等于1；(3)小长方形的高.8排列、组合数相关性质排列：AAmA；组合：CCC(mn，m，nN*)，kCnC.CCCCCC2n1.9. 二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)，10(1)直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法：设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，则线面平行：laa0a1a2b1b2c1c20.线面垂直：laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.面面平行：vva2a3，b2b3，c2c3.面面垂直：vv0a2a3b2b3c2c30.(2)直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算：设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同)线线夹角：设l，m的夹角为，则cos .线面夹角：设直线l与平面的夹角为，则sin |cosa，|.面面夹角：设平面，的夹角为(0)，则|cos |cos，v|.第2步 高频考点细突破几何证明选讲【例1】(20162017学年度江苏苏州市高三期中调研考试)如图113，AB是圆O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：AB2BEBDAEAC.图113证明连接AD(图略)，AB为圆的直径，ADBD，又EFAB，则A，D，E，F四点共圆，BDBEBABF.又ABCAEF，即ABAFAEAC，BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.规律方法与圆有关的线段求解，主要是通过相似三角形建立相似比来求解，从而证明三角形相似是核心，而在圆内证明三角形相似主要是通过圆周角定理或圆心角定理证明角相等举一反三 如图114，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，APPC，P为垂足图114求证：(1)PACCAB；(2)AC2APAB.解(1)证明：因为PC切半圆O于点C，所以PCACBA.因为AB为半圆O的直径，所以ACB90.因为APPC，所以APC90.因此PACCAB.(2)由(1)知APCACB，故，即AC2APAB.矩阵与变换【例2】(2017江苏高考)已知矩阵A，B.(1)求AB；(2)若曲线C1：1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程. 【导学号：56394081】解(1)因为A，B，所以AB.(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，则，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则1，从而1，即x2y28.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2y28.规律方法本小题主要考查矩阵的乘法、特征向量的求法，考查运算求解能力注意矩阵乘法不满足交换律，即A1BBA1，矩阵与变换所涉及的内容并不多，在平时只要注意归纳，并且计算过关此题可以轻松拿下举一反三(江苏省苏州市2017届高三暑假自主学习测试)已知为矩阵A属于的一个特征向量，求实数a，的值及A2.解由条件可知， 解得a2.因此A，所以A2.坐标系与参数方程【例3】(2017江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系已知曲线C1的参数方程为，(0,2，为参数)，曲线C2的极坐标方程为sina(aR)，若曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，求实数a的值解曲线C1的方程为(x)2(y3)24，圆心坐标为(，3)，半径为2.曲线C2的极坐标方程为sina(aR)，sin cos a，曲线C2的直角坐标方程为xy2a0，曲线C1与曲线C2有且仅有一个公共点，2，解得a1或a5.规律方法参数方程与普通方程、极坐标与直角坐标之间的互化，熟练简单曲线的极坐标是解答本类问题的关键举一反三(2017江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数)设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值解直线l的普通方程为x2y80.因为点P在曲线C上，设P(2s2,2s)，从而点P到直线l的距离d.当s时，dmin.因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值.不等式选讲【例4】(2017江苏省泰州市高考数学一模)求函数y3sin x2的最大值解y3sin x23sin x4.由柯西不等式得y2(3sin x4)2(3242)(sin2xcos2x)25，所以ymax5，此时sin x.所以函数y3sin x2的最大值为5.规律方法不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的举一反三(2017江苏高考)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.均值与方差的实际应用【例5】(2017江苏高考)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，nN*，n2)，这些球除颜色外完全相同现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，mn的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k1,2,3，mn).123mn(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X). 【导学号：56394082】解(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.(2)证明：随机变量X的概率分布为XP随机变量X的期望为E(X).所以E(X)(1CCC)(CCCC)(CCC)(CC)，即E(X).规律方法求解离散型随机变量均值与方差的主要步骤：(1)求出随机变量的所有可能的取值；(2)计算随机变量取各个值的概率，列出概率分布列；(3)按照公式计算均值(数学期望)与方差举一反三(江苏省南京市2017届高三上学期学情调研)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响现由甲先投(1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望解(1)设甲第i次投中获胜的事件为Ai(i1,2,3)，则A1，A2，A3彼此互斥甲获胜的事件为A1A2A3.P(A1)；P(A2)；P(A3)22.所以P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3).所以甲获胜的概率为.(2)X所有可能取的值为1,2,3.则P(X1)；P(X2)；P(X3)221.即X的概率分布列为X123P所以X的数学期望E(X)123.排列、组合及性质【例6】(2017届高三七校联考期中考试)已知整数n4，集合M1,2,3，n的所有含有4个元素的子集记为A1，A2，A3，AC.设A1，A2，A3，AC中所有元素之和为Sn.(1)求S4，S5，S6并求出Sn；(2)证明：S4S5Sn10C.解(1)当n4时，集合M只有1个符合条件的子集，S4123410，当n5时，集合M每个元素出现了C次，S5C(12345)60，当n6时，集合M每个元素出现了C次，S6C(123456)210，所以，当集合M有n个元素时，每个元素出现了C，故SnC.(2)证明：因为SnC(n1)n(n1)(n2)(n3)10C，则S4S5Sn10(CCCC)10C.规律方法通过观察式子的结构，利用排列数和组合数的相关性质及二项式系数的相关性质以含有排列、组合数结构的代数式进行化简，有时需要拆分、拼凑项来进行结构重组举一反三(2017江苏省盐城市高考数学二模)现有(n2，nN*)个给定的不同的数随机排成一个如图115所示的三角形数阵：图115设Mk是第k行中的最大数，其中1kn，kN*.记M1M2Mn的概率为pn.(1)求p2的值；(2)证明：pn.解(1)由题意知p2，即p2的值为.(2)先排第n行，则最大数在第n行的概率为；去掉第n行已经排好的n个数，则余下的n个数中最大数在第n1行的概率为；故pn.由于2n(11)nCCCCCCCCCC，故，即pn.二项式定理与其他知识交汇【例7】若一个正实数能写成(nN*)的形式，则称其为“兄弟数”求证：(1)若x为“兄弟数” ，则x2也为“兄弟数”；(2)若x为“兄弟数”，k是给定的正奇数，则xk也为“兄弟数”. 【导学号：56394083】证明(1)设x(nN*)，则x22n12，是“兄弟数”(2)设x，y(nN*)，则xy1，而xk()ki()i，yk()ki()i，故xkyk()ki()i()ki()i2C()kC()k2nC()k4n2Cn，不妨记：xkyk2a，aN*，同理：由xkyk()ki()i()ki()i，不妨记：xkyk2b，bN*，进而，2xk，即xk. 又4a2(n1)4b2n(xkyk)2(xkyk)24xkyk4，故a2(n1)b2n1.因此xk亦为“兄弟数”规律方法二项式定理内容的考查常出现二项式内容与其它知识的交汇、整合，这是命题的一个创新方向如二项式定理与函数、数列、复数、不等式等其他知识点综合成题时， 对其他模块的知识点要能熟练运用举一反三在自然数列1,2,3，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余nk个元素变动位置，得到不同的新数列由此产生的不同新数列的个数记为Pn(k). (1)求P3(1)；(2)求4(k)；(3)证明Pn(k)nn1(k)，并求出Pn(k)的值解(1)因为数列1,2,3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3，所以P3(1)3.(2)4(k)P4(0)P4(1)P4(2)P4(3)P4(4)CCCCCC019860124.(3)把数列1,2，n中任取其中k个元素位置不动，则有C种；其余nk个元素重新排列，并且使其余nk个元素都要改变位置，则有Pn(k)CPnk(0)，故Pn(k)CPnk(0)，又因为kCnC，所以Pn(k)CPnk(0)nPnk1(0)nn1(k)令anPn(k)，则annan1，且a11.于是a2a3a4an1an2a13a24a3nan1，左右同除以a2a3a4an1，得an234nn！.所以Pn(k)n！.立体几何中的向量方法【例8】(2017江苏高考)如图116，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且ABAD2，AA1，BAD120.图116(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；(2)求二面角BA1DA的正弦值解 在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz.因为ABAD2，AA1，BAD120，则A(0,0,0)，B(，1,0)，D(0,2,0)，E(，0,0)，A1(0,0，)，C1(，1，)(1)(，1，)，(，1，)，则cos，因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为(，0,0)设m(x，y，z)为平面BA1D的一个法向量，又(，1，)，(，3,0)，则即不妨取x3，则y，z2，所以m(3，2)为平面BA1D的一个法向量从而cos，m.设二面角BA1DA的大小为，则|cos |.因为0，所以sin .因此二面角BA1DA的正弦值为.规律方法(1)利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”(2)利用法向量的根据是两个半平面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互补，在能断定所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角的情况下，这种方法具有一定的优势，但要注意，必须能断定“所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角”，在用法向量法求二面角的大小时，务必要作出这个判断，否则解法是不严谨的举一反三(2017江苏省无锡市高考数学一模)如图117，已知正四棱锥PABCD中，PAAB2，点M，N分别在PA，BD上，且.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角NPCB的余弦值. 【导学号：56394084】图117 解(1)设AC与BD的交点为O，ABPA2.以点O为坐标原点，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，设P(0,0，p)，则(1,1，p)，又AP2，11p24，p，(1,1，)，设异面直线MN与PC所成角为，则cos .30，异面直线MN与PC所成角为30.(2)(1,1，)，(1,1，)，设平面PBC的法向量n(x，y，z)，则取z1，得n(0，1)，设平面PNC的法向量m(a，b，c)，则取c1，得m(，2，1)，设二面角NPCB的平面角为，则cos .二面角NPCB的余弦值为.第3步 高考易错明辨析1忽视参数的符号已知f (x)|ax1|(aR)，不等式f (x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围错解(1) 由|ax1|3得4ax2，即x，又f (x)3的解集为x|2x1，即a2.(2)记h(x)f (x)2f ，则h(x)|h(x)|1，因此k1.正解(1)由|ax1|3得4ax2，又f (x)3的解集为x|2x1，当a0时，不合题意；当a0时，x，得即a2.(2)记h(x)f (x)2f ，则h(x)|h(x)|1，因此k1.2基本概念理解不清直线2cos 1与圆2cos 相交的弦长为_错解由或，则弦长. 正解2cos 1是过点且垂直于极轴的直线，2cos 是以(1,0)为圆心，1为半径的圆，则弦长2.专家预测巩固提升(对应学生用书第61页)1(原创题)如图118，ACAB，BEAB，AB10，AC2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点P在线段AB上滑动，一直角边始终经过点C，另一直角边与BE相交于点D，若BD8，则AP的长为_图1182或8由题意，知APCBDP，即.AP2或8.题后反思本题强调动手能力，用身边的实物建模，构造相似三角形，这是此题