2017年中考数学二次函数专题训练（附答案和解释）

1 / 43 2017 年中考数学二次函数专题训练（附答案和解释） 本资料为 档，请点击下载地址下载全文下载地址 二次函数 一、选择题 1函数 y=ax+b 和 y=bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） A B c D 2如图，正方形 0，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形 顶点上，且它们的各边与正方形 小正方形的边长为 x，且0 x10 ，阴影部分的面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是（ ） A B c D 3已知二次函数 y=bx+c（其中 a 0， b 0， c 0），关于这个二次函数的图象有如下说法： 图象的开口一定向上； 图象的顶点一定在第四象限； 图象与 以上说法正确的个数为（ ） 2 / 43 A 0B 1c 2D 3 4已知抛物线 y=x 1与 x 轴的一个交点为（， 0），则代数式 2 +2016 的值为（ ） A 2016B 2017c 2018D 2019 二、填空题 5如图为二次函数 y=bx+c 的图象，在下列说法中： 0； 方程 bx+c=0 的根是 1， ； a+b+c 0； 当 x 1时， 正确的说法有 （请写出所有正确的序号） 6抛物线 y=x2+x 4 与 三、解答题 7已知：抛物线 y= b 1） x+c 经过点 P（ 1，2b） （ 1）求 b+c 的值； （ 2）若 b=3，求这条抛物线的顶点坐标； （ 3）若 b 3，过点 Ay 轴，交 ，交抛物线于另一点 B，且 这条抛物线所对应的二次函数关系式（提示：请画示意图思考） 8杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处 弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线3 / 43 y=x+1 的一部分，如图所示 （ 1）求演员弹跳离地面的最大高度； （ 2）已知人梯高 ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由 9研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为 x（吨）时，所需的全部费用 y（万元）与 y=x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价 p 甲， p 乙（万元）均与 x 满足一次函数关 系（注：年利润 =年销售额全部费用） （ 1）成果表明，在甲地生产并销售 x 吨时， x+14，请你用含 求年利润W 甲（万元）与 x 之间的函数关系式； （ 2）成果表明，在乙地生产并销售 x 吨时， P 乙 = +n（ n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为 35 万元试确定 n 的值； （ 3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（ 1），（ 2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？ 参考公式：抛物线 y=bx+c（ a0 ）的顶点坐标是 10附加题：如图，在梯形 c ， c= / 43 c=60 ， D 于点 E， F 是 中点， 梯形 （ 1）求证：四边形 （ 2）设 AE=x，四边形 面积为 y，求 x 的函数关系式 11如图，已知 A（ 4， 0）， B（ 0， 4），现以 似比为 9： 4，将 右侧放大， B 点的对应点为 c （ 1）求 （ 2）一抛物线经过 B、 顶点落在 该抛物线的解 析式并画出函数图象； （ 3）现将直线 B 点旋转与抛物线相交于另一点 P，请找出抛物线上所有满足到直线 12在平面直角坐标系 ，抛物线 y=x2+bx+c 与 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 c，点 B 的坐标为（ 3， 0），将直线 y= y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 B， （ 1）求直线 （ 2）设抛物线的顶点为 D，点 求点 （ 3）连接 角和的度数 13如图， 以矩形 顶点 o 为原点， 在的直5 / 43 线为 立平面直角坐标系已知 ， ，点 E 是 ，将 点 A 落在 处 （ 1）直接写出点 E、 （ 2）设顶点为 ，且以点E、 F、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （ 3）在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点、 N，使得四边形周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由 14如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片 o 为原点，点 A， y 轴上，点 ）（其中 0），在 上选取适当的点 E 和点 F，将 折，得到 再将 折，恰好使点 B 与点 到 且 0 度 （ 1）求的值； （ 2）求过点 o， G， （ 3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得 等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点 P 的坐标（不要求写出求解过程） 15如图，抛物线 y=x2+2与 x 轴交于 A、 y 轴交于 A（ 1， 0） 6 / 43 （ 1）求抛物线的解析式及顶点 （ 2）判断 形状，证明你的结论； （ 3）点（， 0）是 x 轴上的一个动点，当 c+的值 注：抛物线 y=bx+c 的顶点坐标为（，） 16如图，已知 边长为 6c 的等边三角形，动点P、 Q 同时从 A、 别沿 中点 P 运动的速度是 1c/s，点 Q 运动的速度是 2c/s，当点 c 时， P、 Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（ s），解答下列问题： （ 1）当 t=2 时，判断 形状 ，并说明理由； （ 2）设 面积为 S（ 求 S 与 t 的函数关系式； （ 3）作 A 交 ，连接 17如图 1，在 ， c=90 ， 厘米， 2厘米，点 D 在 ， 厘米点 P、 Q 分别由 A、 c 两点同时出发，点 度为每秒是 Q沿 匀速移动，速度为每秒 1 厘米设运动的时间为 0 x 8）， 面积为 面积为 方厘米 （ 1）求 x 的函数关系 ，并在图 2 中画出 图7 / 43 象； （ 2）如图 2， 图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（ 4， 12），求 k 的值和 x 的函数关系； （ 3）在图 2 中，设 G 是 0 6），过 G 作 x 轴，分别与 、 F求 积的最大值 说出线段 中所表示的实际意义； 求 积的最大值 18如图，在平面直角坐标系中，四边形 B 的坐标为（ 4， 3）平行于对角线 x 轴正方向以每秒 1个单位长度 的速度运动，设直线与矩形 N，直线运动的时间为 t（秒） （ 1）点 ，点 ； （ 2）当 t= 秒或 秒时， N= （ 3）设 面积为 S，求 S与 t 的函数关系式； （ 4）探求（ 3）中得到的函数 有，求出最大值；若没有，要说明理由 二次函数 参考答案与试题解析 一、选择题 1函数 y=ax+b 和 y=bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是（ ） 8 / 43 A B c D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据 a、 b 的符号 ，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除 【解答】解：当 a 0时，二次函数的图象开口向上， 一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限， 故 A、 由 B、 称轴 x= 0，且 a 0，则 b 0， 但 B 中，一次函数 a 0， b 0，排除 B 故选： c 【点评】应该识记一次函数 y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等 2如图，正方形 0，四个全等的小正方形的对称中心分别在 正方形 顶点上，且它们的各边与正方形 小正方形的边长为 x，且0 x10 ，阴影部分的面积为 y，则能反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是（ ） A B c D 9 / 43 【考点】动点问题的函数图象 【专题】几何图形问题；压轴题 【分析】主要考查了能通过分析题中的实际意义找出变量之间的关系和函数图象的读图能力 【解答】解：根据题意和图形可知： y=0 x10 ，所以 y 与 故选 D 【点评】要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要 的条件，结合实际意义得到正确的结论 3已知二次函数 y=bx+c（其中 a 0， b 0， c 0），关于这个二次函数的图象有如下说法： 图象的开口一定向上； 图象的顶点一定在第四象限； 图象与 以上说法正确的个数为（ ） A 0B 1c 2D 3 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】压轴题 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 10 / 43 【解答】解： a 0，故 正确； 顶点横坐标 0，故顶点不在第四象限， 错误， a 0， 抛物线开口向上， c 0， 抛物线与 故与 然一个在正半轴，一个在负半轴，故 正确 故选 c 【点评】本题考查二次函数的草图的确定与二次函数y=bx+ 4已知抛物线 y=x 1与 x 轴的一个交点为（， 0），则代数式 2 +2016 的值为（ ） A 2016B 2017c 2018D 2019 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【专题】压轴题 【分析】将（， 0）代入 y=x 1 可得 2 =1，直接整体代入代数式 2 +2016求解 【解答】解：将（， 0）代入 y=x 1得： 2 1=0，即 2 =1 2 +2016=1+2016=2017 故选 B 11 / 43 【点评】本题不必求出的值，对 2整体求解即可轻松解答 二、填空题 5如图为二次函数 y=bx+c 的图象，在下列说法中： 0； 方程 bx+c=0 的根是 1， ； a+b+c 0； 当 x 1时， 正确的说法有 （请写出所有正确的序号） 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与 【分析】 根据图象开口向上得到 a 0；由与 c 0，即 0； 由抛物线与 1， 3，可以得到方程 bx+c=0 的根是 1， ； 当 x=1 时， y 0，可以得到 a+b+c 0； 由于对称轴是 x=1，所以得到 x 1 时， 【解答】解： 开口向上， a 0， 与 故 c 0， 12 / 43 即 0； 抛物线与 1， 3， 方程 bx+c=0 的根是 1， ； 当 x=1 时， y 0， a+b+c 0； 对称轴是 x=1， x 1 时， x 的增大而增大， 故正确的有 故答案为： 【点评】此题要考查了二次函数的性质，要掌握如何利用图象上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如 x=1， x= 1时对应的 6（ 2017白银）抛物线 y=x2+x 4 与 y 轴的交点坐标为 （ 0， 4） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【专题】压轴题 【分析】 y 轴上点的坐标横坐 标为 0，纵坐标为 y= 4，坐标为（ 0， 4） 【解答】解：把 x=0 代入得， y= 4，即交点坐标为（ 0， 4） 【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确 y 轴上点的坐标横坐标为 0 13 / 43 三、解答题 7已知：抛物线 y= b 1） x+c 经过点 P（ 1，2b） （ 1）求 b+c 的值； （ 2）若 b=3，求这条抛物线的顶点坐标； （ 3）若 b 3，过点 Ay 轴，交 ，交抛物线于另一点 B，且 这条抛物线所对应的二次函数关系式（提示：请画示意图思考） 【考点】 二次函数综合题 【专题】综合题；压轴题 【分析】（ 1）因为抛物线 y= b 1） x+c 经过点 P（ 1， 2b），所以将点 （ 2）因为 b=3，所以求得 可求得抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点坐标； （ 3）解此题的关键是首先确定函数的草图，即开口方向是向上，对称轴为 x=，在 y 轴的左侧，根据题意确定点 为点 P 与点 以确定对称轴方程，从而求得 b、 得函数解析式 【解答】解：（ 1）依题意得：（ 1） 2+（ b 1）（ 1）+c= 2b， b+c= 2 （ 2）当 b=3 时， c= 5， 14 / 43 y=x 5=（ x+1） 2 6， 抛物线的顶点坐标是（ 1， 6） （ 3）当 b 3时，抛物线对称轴 x= 对称轴在点 因为抛物线是轴对称图形， P（ 1， 2b）且 B （ 3， 2b） = 2， b=5 又 b+c= 2， c= 7 抛物线所对应的二次函数关系式为 y=x 7 解法 2：当 b 3 时， b 3， 1 b 2，则 x= = 1， 对称轴在点 为抛物线是轴对称图形 P （ 1， 2b），且 B （ 3， 2b） （ 3） 2 3（ b 1） +c= 2b 又 b+c= 2， 解得 b=5， c= 7 这条抛物对应的二次函数关系式为 y=x 7 解法 3：（ 3） b+c= 2， c= b 2 15 / 43 y=（ b 1） x b 2 BPx 轴， （ b 1） x b 2= 2b 即 b 1） x+b 2=0 解得： 1， （ b 2），即 （ b 2） 由 1+（ b 2） =21 b=5 ， c= 7 抛物线所对应的二次函数关系式为 y=x 7 【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的对称性，解题的关键是要注意数形结合思想的应用 8杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线y=x+1 的一部分，如图所示 （ 1）求演员弹跳离地面的最大高度； （ 2）已知人梯高 ，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功？请说明理由 【考点】二次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】（ 1）将二次函数化简为 y=（ x） 2+，即可解出 16 / 43 （ 2）当 x=4 时代入二次函数可得点 B 的坐标在抛物线上 【解答】解：（ 1）将二次函数 y=x+1化成 y=（ x） 2，（ 3 分）， 当 x=时， ，（ 5分） 因此，演员弹跳离地面的最大高度是米（ 6分） （ 2）能成功表演理由是： 当 x=4时， y=42+34+1= 即点 B（ 4，）在抛物线 y=x+1 上， 因此，能表演成功（ 12分） 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 9研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究， 为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为 x（吨）时，所需的全部费用 y（万元）与 y=x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价 p 甲， p 乙（万元）均与 x 满足一次函数关系（注：年利润 =年销售额全部费用） （ 1）成果表明，在甲地生产并销售 x 吨时， x+14，请你用含 求年利润W 甲（万元）与 x 之间的函数关系式； （ 2）成果表明，在乙地生产并销售 x 吨时， P 乙 = + 43 （ n 为常数），且在乙地当年的最大年利润为 35 万 元试确定 n 的值； （ 3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（ 1），（ 2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？ 参考公式：抛物线 y=bx+c（ a0 ）的顶点坐标是 【考点】二次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】依据年利润 =年销售额全部费用即可求得利润 W 甲（万元）与 x 之间的函数关系式及利润 元）与 x 之间的函数关系式，分别求出 x=18时， W 甲和 W 乙的值，通过比较 乙大小就可以帮助投资商做出选择 【解答】解：（ 1）甲地当年的年销售额为（ x+14）x=（ 4x）万元； w 甲 =（ 4x）（ x+90） = x 90 （ 2）在乙地区生产并销售时， 年利润： w 乙 = x2+ x+90） = n 5） x 90 由 =， 解得 n=15或 5 18 / 43 经检验， n= 5不合题意，舍去， n=15 （ 3）在乙地区生产并销售时，年利润 w 乙 = 0x 90， 将 x=18代入上式，得 （万元）； 将 x=18代入 x 90， 得 w 甲 =（万元） W 乙 应选乙地 【点评】本题是一道最佳方案选择题，通过计算、比较同一个自变量的两个函数值的大小来选择最佳方案 依据年利润 =年销售额全部费用即可求得利润 元）与 x 之间的函数关系式及利润 W 乙（万元）与 x 之间的函数关系式，分别求出 x=18 时， W 甲和 过比较W 甲和 10附加题：如图，在梯形 c ， c=c=60 ， D 于点 E， F 是 中点， 梯形 （ 1）求证：四边形 四边形； （ 2）设 AE=x，四边形 面积为 y，求 x 的函数关系式 【考点】梯形；平行四边形的判定 19 / 43 【专题】代数几何综合题 【分析】（ 1）本题可分别证明四边形 求 A ，也就是求 0 ，已知 c 是 60 ，可以通过等腰梯形的性质得出 20 ，在等腰三角形 据等腰三角形三线合一的特点可得出 0 ， E 是 点，那么 0 ，因此便可证得 0 即可得出 F ，下面证 F ，c因此便可得出四边形 （ 2）我们不难看出 F ，因此四边形 面积可用 角三角形 以求出 就求出了 理可在三角形 样就能求出四边形 【解答】（ 1）证明： c ， 梯形 等腰梯形 c=60 ， 20 又 D ， 0 0 0 20 / 43 由 D ， c 又 等腰 高， E 是 腰三角形三线合一） F 是 c D 四边形 （ 2）解：在 ， 0 ， AE=x ， x 在 c=60 ，且 D=2x， DG=x 由（ 1）知：在平行四边形 D=2x， 又 c ， F 四边形 y=2xx= x 0） 【点评】本题的关键是求出四边形 根据已知条件选择比较容易的证法 11如图，已知 A（ 4， 0）， B（ 0， 4），现以 似比为 9： 4，将 右侧放大， B 点的对应点21 / 43 为 c （ 1）求 （ 2）一抛物线经过 B、 顶点落在 该抛物线的解析式并画出函数图象； （ 3）现将直线 B 点旋转与抛物线相交于另一点 P，请找出抛物线上所有满足到直线 【考点】位似变换；一次函 数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的图象；待定系数法求二次函数解析式 【专题】综合题；压轴题 【分析】（ 1）利用相似及相似比，可得到 c 的坐标把A， （ 2）顶点落在 x 轴正半轴上说明此函数解析式与 x 轴有一个交点，那么 =0 ，再把 B， c 两点即可 （ 3）到直线 求出这两条直线解析式，和二次函数解析式组成方程组，求得点 【解答】解：（ 1）过 c 点向 x 轴作垂线，垂足为 D，由位似图形性质可知 由 已知 A（ 4， 0）， B（ 0， 4）可知 ， AD= ， 22 / 43 c 点坐标为（ 5， 9）， 设直线 y=kx+b， A （ 4， 0）， B（ 0， 4）在一次函数解析式上，那么 4k+b=0， b=4， 解得 k=1， 化简得 y=x+4； （ 2）设抛物线解析式为 y=bx+c（ a 0），由题意得， 解得， 解得抛物线解析式为 y1=4x+4 或 y2=x2+x+4， 又 y2=x2+x+4 的顶点在 x 轴负半轴上，不合题意，故舍去 满足条件的抛物线解析式为 y=4x+4， （ 准确画出函数 y=4x+4图象） （ 3）将直线 B 点旋转与抛物线相交于另一点 P，设 P 到直线 h， 故 P 点应在与直线 行，且相距的上下两条平行直线 由平行线的性质可得 两条平行直线与 y 轴的交点到直线 如图，设 点，过 E 作 c 于 在 EF=h=， 5 ， 23 / 43 可以求得直线 y 轴交点坐标为（ 0， 10）， 同理可求得直线 y 轴交点坐标为（ 0， 2）， 两直线解析式 y=x+10； y=x 2 根据题意列出方程组： （ 1）；（ 2）， 解得；， 满足条件的点 P 有四个， 它们分别是 6， 16）， 1， 9）， 2， 0）， 3， 1） 【点评】本题用到的知识点为：可把位似比转换为相似三角形的相似比；到一条直线的距离为定值的直线是平行于已知直线的两条直线；平行直线的 k 的值相等 12在平面直角坐标系 ，抛物线 y=x2+bx+c 与 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 c，点 B 的坐标为（ 3， 0），将直线 y= y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 B， （ 1）求直线 （ 2）设抛物线的顶点为 D，点 求点 （ 3）连接 角和的度数 【考点】二次函数综合题 【专题】综合题；压轴题 24 / 43 【分析】（ 1）依题意设直线 解析式为 y=，把B 点坐标代入解析式求出直线 后又已知抛物线 y=x2+bx+c 过点 B， c，代入求出解析式 （ 2）由 y=4x+3 求出点 D， A 的坐标得出三角形 E，求出 明 出 在抛物线的对称轴，求出点 P 的坐标 （ 3）本题要靠辅助线的帮助作点 A（ 1， 0）关于 y 轴的对称点 A ，则 A （ 1， 0），求出 Ac=由勾股定理可得 AD 的值得出 A等腰三角形后可推出5 度 【解答】解：（ 1） y= y 轴向上平移 3个单位长度后经过 y 轴上的点 c， c （ 0， 3） 设直线 y= B （ 3， 0）在直线 3k+3=0 解得 k= 1 直线 y= x+3（ 1 分） 抛物线 y=x2+bx+c 过点 B， c， 解得， 25 / 43 抛物线的解析式为 y=4x+3（ 2分） （ 2）由 y=4x+3 可得 D（ 2， 1）， A（ 1， 0） ， ， ， 可得 等腰直角三角形， 5 ， 如图 1，设抛物线对称轴与 ， B=1 过点 A 作 c 于点 E 0 度 可得 E=， 在 ， 0 ， ， 解得 点 P 在抛物线的对称轴上， 点 2， 2）或（ 2， 2）（ 5分） （ 3）解法一： 如图 2，作点 A（ 1， 0）关于 ，则 A（ 1， 0） 连接 Ac ， AD ， 可得 Ac=， 由勾股定理可得 0， A0 26 / 43 又 A0 ， Ac2= A等腰直角三角形， =90 ， 45 度 5 度 o 5 度 即 角和的度数为 45度（ 7分） 解法二： 如图 3，连接 同解法一可得 在 ， 0 ， F=1， 在 ， 5 ， 5 度 即 角和的度数为 45度（ 9分） 【点评】本题设计得很精致，将几何与函数完美的结合在一起，对学生综合运用知识的能力要求较高，本题 3问之间层层递进，后两问集中研究 角度问题 27 / 43 中等层次的学生能够做出第（ 1）问，中上层次的学生可能会作出第（ 2）问，但第（ 2）问中符合条件的 P 点有两个，此时学生易忽视其中某一个，成绩较好的学生才可能作出第（ 3）问，本题是拉开不同层次学生分数的一道好题 本题考点：函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理 13如图，以矩形 顶点 o 为原点， 在的直线为 立平面直角坐标系已知 ， ，点 E 是 ，将 点 A 落在 处 （ 1）直接写出点 E、 （ 2）设顶点为 ，且以点E、 F、 P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式； （ 3）在 x 轴、 y 轴上是否分别存在点、 N，使得四边形周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】（ 1） 折，使点 A 落在 上的点 F 处，可以知道四边形 而 B=，28 / 43 则 2=1，因而 E、 可以求出 （ 2）顶点为 1， 2），因而抛物线的解析式可以设为 y=a（ x 1） 2+2，以点 E、 F、P 为顶点的三角形是等腰三角形，应分 当 F 时，已知 E、 0， n），根据勾股定理就可以求出 到 当 P 时，可以判断 E到 y 轴的最短距离与有当 到 y 轴的距离， P 才存在 当 P，根据勾股定理就可以得到关于n 的方程，就可以 解得 n 的值 （ 3）作点 x 轴的对称点 E ，作点 ，连接 EF ，分别与 x 轴、 N，则点， N 就是所求点求出线段 EF 的长度，就是四边形 【解答】解：（ 1） E（ 3， 1）； F（ 1， 2） （ 2）在 ， B=90 ， 设点 0， n），其中 n 0， 顶点 F（ 1， 2）， 设抛物线解析式为 y=a（ x 1） 2+2（ a0 ） 29 / 43 如图 1， 当 F 时， 12+ （ n 2） 2=5 解得 （舍去）； P （ 0， 4） 4=a （ 0 1） 2+2 解得 a=2 抛物线的解析式为 y=2（ x 1） 2+2 如图 2， 当 P 时， （ 2 n） 2+1=（ 1 n） 2+9 解得（舍去） 当 这种情况不存在 综上所述，符合条件的抛物线解析式是 y=2（ x 1） 2+2 （ 3）存在点， N，使得四边形 周长最小 如图 3，作点 E 关于 x 轴的对称点 E ，作点 F 关于 ， 连接 EF ，分别与 N，则点， N 就是所求点 E （ 3， 1）， F （ 1， 2）， F ， E=E 4 ， 3 +E=FN+N+E=EF= 30 / 43 又 ， +E+ ，此时四边形 周长最小值是 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，求线段的和最小的问题基本的解决思路是根据对称转化为两点之间的距离的问题 14如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片 o 为原点，点 A， y 轴上，点 ）（其中 0），在 上选取适当的点 E 和点 F，将 折，得到 再将 折，恰好使点 B 与点 到 且 0 度 （ 1）求的值； （ 2）求过点 o， G， （ 3）在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得 等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出所有满足条件的点 P 的坐标（不要求写出求解过程） 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题；开放型 【分析】（ 1）根据折叠的性质可知： G=而c=，那么在直角三角形 （ 2）由于 个等腰直角三角形，已知了 此不难求出 据 o， A， 31 / 43 （ 3）本题要分情况进行讨论： 当 G，那么 P 点为 此 P 与 H 重合， 1， 0） 当 oP=么 等腰直角三角形因此 H=1，P 点坐标为（ 1， 1） 当 GP=因此 1， 1+），（ 1，1）（在 G 点上下各有一点） 【解答】解：（ 1）解法一： B （，）， 由题意可知 B=， oG= 2 分） 0 ， G2=2+2=2 又 0， =2 解法二： B （，）， 由题意可知 B=， oG= 0 ， 5 =2 （ 2）解法一：过 G 作直线 GHx 轴于 H， 则 ， ，故 G（ 1， 1） 又由（ 1）知 A（ 2， 0）， 32 / 43 设过 o， G， y=bx+c 抛物线过原点， c=0 又 抛物线过 G， A 两点， ， 解得， 所求抛物线为 y= x， 它的对称轴为 x=1 解法二：过 线 GHx 轴于 H， 则 ， ，故 G（ 1， 1） 又由（ 1）知 A（ 2， 0）， 点 A， l 对称， 点 于是可设过 o， G， A 三点的抛物线解析式为 y=a（ x 1）2+1， 抛物线过点 o（ 0， 0）， 0=a （ 0 1） 2+1， 解得 a= 1， 所求抛物线为 y=（ 1）（ x 1） 2+1= x 它的对称轴为 x=1 （ 3）答：存在 满足条件的点 1， 0），（ 1， 1），（ 1， 1），（ 1，33 / 43 1+） 【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形翻折变换、 三角形全等等知识点，综合性较强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法 15如图，抛物线 y=x2+2与 x 轴交于 A、 y 轴交于 A（ 1， 0） （ 1）求抛物线的解析式及顶点 （ 2）判断 形状，证明你的结论； （ 3）点（， 0）是 x 轴上的一个动点，当 c+的值 注：抛物线 y=bx+c 的顶点坐标为（，） 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；压轴题 【分析】（ 1）因为点 以将点 （ 2）由函数解析式可以求得其与 x 轴、 可求得 长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状； （ 3）首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得 c ，求得直线 cD 的解析式，与 x 轴的交点的横坐标即是的值 【解答】解：（ 1） 点 A（ 1， 0）在抛物线 y=x2+ 43 2 上， （ 1） 2+b （ 1） 2=0， b= 抛物线的解析式为 y=x 2 y=x 2=（ 3x 4） =（ x） 2， 顶点 D 的坐标为（，）（ 4分） （ 2）当 x=0 时 y= 2， c （ 0， 2）， 当 y=0时， x 2=0， 1， ， B （ 4， 0）（ 6分） ， ， 5 ， ， 0， 直角三角形（ 8分） （ 3）作出点 c 关于 x 轴的对称点 c ，则 c （ 0， 2），2 连接 cD 交 根据轴对称性及两点之间线段最短可知， c+D 的值最小（ 9 分） 解法一：设抛物线的对称轴交 EDy 轴， c o=35 / 43 co ， =12 分 解法二：设直线 cD 的解析式为 y=kx+n， 则， 解得 n=2， k= y= x+2 当 y=0 时， x+2=0， x= = （ 12分） 【点评】此题考查了待定系数法求解析式，考查了二次函数与一次函数的综合应用，解题时要注意数形结合思想的应用 16如图，已知 边长为 6c 的等边三角形，动点P、 Q 同时从 A、 别沿 中点 P 运动的速度是 1c/s，点 Q 运动的速度是 2c/