2017年中考数学图形的相似专题训练（带答案和解释）

1 / 26 2017 年中考数学图形的相似专题训练（带答案和解释） 本资料为 档，请点击下载地址下载全文下载地址 图形的相似 1如图，在 ， c=5， ，点为 点 N，则 N 等于（ ） A B c D 2图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A点 D点 N 3已知 相似比为 3： 1，且 周长为 18，则 周长为（ ） A 2B 3c 6D 54 4如图， ， D， E 两点分别在边 B 上，且 平行请填上一个你认为合适的条件： ，使 （不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 5如图，四边形 R 为 c、 、 Q （ 1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1除外）； （ 2）求 6计算： |3 |+（） 0+（ ） 2 4 2 / 26 7计算： 2 （ 2 ） 0 8计算： | | +（ 4） 0 9如图，小 明站在 A 处放风筝，风筝飞到 c 处时的线长为 20米，这时测得 0 ，若牵引底端 此时风筝离地面高度（计算结果精确到米， ） 10在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅 丽同学在点 得条幅顶端 D 的仰角为 30 ，再向条幅方向前进 10 米后，又在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45 ，已知测点 A、 B 和 c 离地面高度都为米，求条幅顶端 D 点距离地面的高度（计算结果精确到米，参考数据： ， ） 12阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达 ，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案 （ 1）所需的测量工具是： ； （ 2）请在图中画出测量示意图； （ 3）设树高 长度为 x，请用所测数据（用小写字母表示）求出 x 13我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴如图，现有某处坡上一座发射塔被冰雪从 c 处压折，塔尖恰好3 / 26 落在坡面上的点 B 处，在 c 的仰角为 38 ，塔基A 的俯角为 21 ，又测得斜坡上点 A 到点 B 的坡面距离 5米，求折断前发射塔的高（精确 到米） 14如图，在 ， 0 ， ， 2， 角平分线，过 A、 c、 D 三点的圆 o 与斜边 ，连接 （ 1）求证： E； （ 2）求 15如图，矩形 长，宽分别为和 1，且 ，点 E（， 2），连接 （ 1）求经过 A， E， （ 2）若以原点为位似中心，将五边形 大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边长的 3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形 AEDcB ； （ 3）经过 A ， E ， D 三点的抛物线能否由（ 1）中的抛物线平移得到？请说明理由 16某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处 如图，甲，乙两村坐落在夹角为 30 的两条公路的 子和公路的宽均不计），点表示这所中学点4 / 26 B 在点的北偏西 30 的 3k 处，点 A 在点的正西方向，点 0 的 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： 方案一：供水站建在点处，请你求出铺设 到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二：供水站建在乙村（线段 甲村要求管道铺设到 你在图 中，画出铺设到点 求其最小值； 方案三：供水站建在甲村（线段 请你在图 中，画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？ 17如图，在 ， c=90 ， 0， 0，D， E， F 分别是 P 从点 D 出发沿折线 个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作射线 B ，交折线 点 P， Q 同时出发，当点 时停止运动，点 点 P， t 0） （ 1） D， F 两点间的距离是 ； 5 / 26 （ 2）射线 否把四边形 成面积相等的两部分？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由； （ 3）当点 P 运动到折线 点 P 又恰好落在射线 t 的值； （ 4）连接 B 时，请直接写出 18如图 ， 边 接 点 F在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明 图形的相似 参考答案与试题解析 1如图，在 ， c=5， ，点为 点 N，则 N 等于（ ） A B c D 【考点】勾股定理；等腰三角形的性质 【分析】连接 A，根据等腰三角形三线合一的性质得到A根据勾股定理求得 A 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得 N 的长 【解答】解：连接 A， c ， 点为 点， Ac （三线合一）， B=c， c=5 ， ， B=c=3 ， 6 / 26 在 B 中， ， B=3， 根据勾股定理得： A=4， 又 Sc ， N= 故选： c 【点评】综合运用等腰三角形的三线合一，勾股定理特别注意结论：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边 2图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A点 D点 N 【考点】位似变换 【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一 点，交点就是位似中心即位似中心一定在对应点的连线上 【解答】解：点 P 在对应点和点 N 所在直线上，故选 A 【点评】位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点、 以位似中心在、 N 所在的直线上，因为点 P 在直线 N 上，所以点 查位似图形的概念 3已知 相似比为 3： 1，且 周长为 18，则 周长为（ ） A 2B 3c 6D 54 7 / 26 【考点】相似三角形的性质 【专题】压轴题 【分析】因为 相似比为 3： 1，根据相似三角形周长比等 于相似比，即可求出周长 【解答】解： 相似比为 3： 1 周长： 周长 =3： 1 周长为 18 周长为 6 故选 c 【点评】本题考查对相似三角形性质的理解 （ 1）相似三角形周长的比等于相似比； （ 2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （ 3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 4如图， ， D， E 两点分别在边 c 不平行请填上一个你认为合适的条件： B=1 或 ，使 A （不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！） 【考点】相似三角形的判定 【专题】压轴题；开放型 【分析】此题属于开放题，答案不唯一注意此题的已知条件是： A=A ，可以根据有两角对应相等的三角形相8 / 26 似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可 【解答】解：此题答案不唯一，如 c=2 或 B=1或 【点评】此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题 5 如图，四边形 R 为 c、 、 Q （ 1）请写出图中各对相似三角形（相似比为 1除外）； （ 2）求 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【专题】几何综合题 【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形 （ 1 ） 根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 ， 可 得 到 角 相等 E ，可得 （ 2）根据 AB E ，可得出 根 据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系 【解答】解：（ 1） 四边形 E ， 9 / 26 同理可得 四边形 （ 2） 四边形 四边形 是平行四边形， D= E ， P： R ， 中位线， R ， 又 R ， 又 点 R 是 E ， 10 / 26 又 R=R=3 ： 1： 2 【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质： 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似 6计算： |3 |+（） 0+（ ） 2 4 【考点】实数的运算；零指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值 【专题】计算题 【分析】根据实数的有关运算法则计算 【解答】解：原式 = = 【点评】本题考查实数的基本运算，难度适中 7（ 2017遂宁）计算： 2 （ 2 ） 0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数值 【专题】计算题；压轴题 11 / 26 【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二 次根式化简四个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式 = = 【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式等考点的运算注意：负指数为正指数的倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 1；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数 8计算： | | +（ 4） 0 【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；二次根式的性质与化简 【专题】计算题 【分析】本题涉及 零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简三个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 【解答】解：原式 = 3+1 = 2 【点评】本题考查实数的运算能力，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算注意：任何非 0数的 0 次幂等于12 / 26 1；绝对值的化简；二次根式的化简是根号下不能含有分母和能开方的数 9如图，小明站在 A 处放风筝，风筝飞到 c 处时的线长为 20米，这时测得 0 ，若牵引底端 此时风筝离地面 高度（计算结果精确到米， ） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 【专题】计算题；压轴题 【分析】由题可知，在直角三角形中，知道已知角以及斜边，求对边，可以用正弦值进行解答 【解答】解：在 ， c20=10 又 B=， cE=E=B=10+ 答：此时风筝离地面的高度约是米 【点评】本题考查直角三角形知识在解决实际问题中的应用 10在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅 丽同学在点 得条幅顶端 D 的仰角为 30 ，再向条幅方向前进 10 米后，又在点 B 处测得条幅顶端 D 的仰角为 45 ，已知测点 A、 B 和 c 离地面高度都为米，求条幅顶端 D 点距离地面的高度（计算结果精确到米，参考数据： ， ） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 13 / 26 【专题】应用题 【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形 应利用其公共边 而可解即可求出答案 【解答】解：在 ， =1 ， c 在 ， ， 3cD=0 5 （米） 条幅顶端 =（米） 【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形 12阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案 （ 1）所需的测量工具是： 皮尺，标杆 ； （ 2）请在图中画出测量示意图； （ 3）设树高 长度为 x，请用所测数据（用 小写字母表示）求出 x 14 / 26 【考点】相似三角形的应用 【专题】方案型；开放型 【分析】树比较高不易直接到达，因而可以利用三角形相似解决，利用树在阳光下出现的影子来解决 【解答】解：（ 1）皮尺，标杆； （ 2）测量示意图如图所示； （ 3）如图，测得标杆 DE=a，树和标杆的影长分别为 Ac=b，EF=c， ， ， 【点评】本题运用相似三角形的知识测量高度及考查学生的实践操作能力，应用所学知识解决问题的能力 本题答案有多种，测量方案也有多种，如（ 1）皮尺、标杆、平面镜；（ 2）皮尺 、三角尺、标杆 13我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴如图，现有某处坡上一座发射塔被冰雪从 c 处压折，塔尖恰好落在坡面上的点 B 处，在 c 的仰角为 38 ，塔基A 的俯角为 21 ，又测得斜坡上点 A 到点 B 的坡面距离 5米，求折断前发射塔的高（精确到米） 【考点】解直角三角形的应用仰角俯角问题 15 / 26 【专题】应用题 【分析】首先分析图形，据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案 【解答】解：作 c 于 D 在 ， B D= 5 米（ 3 分） 5 米（ 5 分） 在 ， 米（ 8分） 米（ 10 分） AD+c+= 米（ 11分） 答：折断前发射塔的高约为米（ 12分） 注意：按以下方法进行近似计算视为正确，请相应评分 若到最后再进行近似计算结果为： AD+c=； 若解题过程中所有三角函数值均先精确到，则近似计算的结果为： AD+c+= 【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，16 / 26 并结合图形利用三角函数解直角三角形 14如图，在 ， 0 ， ， 2， 角平分线，过 A、 c、 D 三点的圆 o 与斜边 ，连接 （ 1）求证： E； （ 2）求 【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质；勾股定理 【专题】计算题；压轴题 【分析】（ 1）由圆 o 的圆周角 90 ，根据 90 的圆周角所对的弦为圆的直径得到 圆 o 的直径，再根据直径所对的圆周角为直角可得三角形 直角三角形，又角平分线，可得一对角相等，而这对角都为圆o 的圆周角，根据同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等可得 D，利用 等，根据全等三角形的对应边相等即可得证； （ 2）由三角形 直角三角形，根据 用勾股定理求出 长，由第一问的结论 c，用 由（ 1） 0 ，得到 ，可得三角形 DE=cD=x，用 cB示出 2 x，利用勾股定理列出关于 x 的方程，求出方程的解得到 x 的值，即为 长，在直角三角形 26 中，由 用勾股定理即可求出 【解答】解：（ 1） 0 ，且 圆 o 的圆周角（已知）， 圆 o 的直径（ 90 的圆周角所对的弦为圆的直径）， 0 （直径所对的圆周角为直角）， 又 平分线（已知）， 角平分线定义）， E （在同圆 或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等）， 在 ， ， t E （全等三角形的对应边相等）； （ 2） 直角三角形，且 ， 2， 根据勾股定理得： 13， 由（ 1）得到 0 ，则有 0 ， 设 E=x，则 c 2 x， B B 3 5=8， 在 ，根据勾股定理得： 即（ 12 x） 2=2， 解得： x=， 18 / 26 ，又 ， 直角三角形， 根据勾股定理得： 【点评】此题考查了圆周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定与性质，利用了转化的思想，本题的思路为：根据圆周角定理得出直角，利用勾股定理构造方程来求解，从而得到解决问题的目的灵活运用圆周角定理及勾股定理是解本题的关键 15如图，矩形 长，宽分别为和 1，且 ，点 E（， 2），连接 （ 1）求经过 A， E， （ 2）若以原点为位似中心，将五边形 大，使放大后的五边形的边长是原五边形对应边 长的 3倍，请在下图网格中画出放大后的五边形 AEDcB ； （ 3）经过 A ， E ， D 三点的抛物线能否由（ 1）中的抛物线平移得到？请说明理由 【考点】作图位似变换；二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质 【专题】压轴题；网格型 【分析】（ 1） A， E， D 三点坐标已知，可用一般式来求解； （ 2）延长 ，使 3同理可得到其余各点； 19 / 26 （ 3）根据二次项系数是否相同即可判断两个函数是否由平移得到 【解答】解：（ 1）设经过 A， E， D 三点的抛物线的表达式为 y=bx+c A （ 1，）， E（， 2）， D（ 2，）（ 1分） ，解之，得 过 A， E， y= 2x（ 4分） （ 2）如图（ 7分） （ 3）不能，理由如下：（ 8分） 设经过 A ， E ， D 三点的抛物线的表达式为y=ax2+bx+c A （ 3，）， E （， 6）， D （ 6，） ， 解之，得 a= 2， aa 经过 A ， E ， D 三点的抛物线不能由（ 1）中的抛物线平移得到（ 8 分） 【点评】一般用待定系数法来求函数解析式；位似变化的方法应熟练掌握；抛物线平移不改变 a 的值 16某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲，20 / 26 乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处 如图，甲，乙两村坐落在夹角为 30 的两条公路的 子和公路的宽均不计），点表示这所中学点B 在点的北偏西 30 的 3k 处，点 A 在点的正西方向，点 0 的 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案： 方案一：供水站建在点处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值； 方案二： 供水站建在乙村（线段 甲村要求管道铺设到 你在图 中，画出铺设到点 求其最小值； 方案三：供水站建在甲村（线段 请你在图 中，画出铺设到乙村某处和点处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？ 【考点】作图 应用与设计作图 【专题】压轴题；方案型 【分析】（ 1）由题意可得，供水站建在点处，根据垂线21 / 26 段最短、两点之间线段最短，可知铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值为 B+D，求值即可； （ 2）作点关于射线 ，则 =2E ，连接 A交 ，且证明 点重合，即 A 过 D 点求出A 的值即是铺设到点 （ 3）作点关于射线 ，作 N 点 G，交 A 于点 H，连接 G，则 G=G ，可证得 N， N 过 D 点求 G+D 的值就是最小值 【解答】解：方案一： 由题意可得： A 在的正西方向， A 0 ， 又 0 B 点到甲村的最短距离为 B，（ 1分） 点到乙村的 最短距离为 D， 将供水站建在点处时，管道沿 D， B 线路铺设的长度之和最小， 即最小值为 B+D=3+（ k）；（ 3分） 方案二：如图 ，作点关于射线 ，则 =2E ， 连接 A 交 ， ， ， A=2B=6 ， ，（ 4分） 22 / 26 在 E 中， =3 ， E=D= ， E ， P 点与 D 点重合，即 A 过 6分） 在线段 ，连接 PA ， P ， P ， 则 P=P ， P A ， 把供水站建在乙村的 D 点 处，管道沿 即最小值为 =A= ；（ 7 分） 方案三：作点关于射线 ，作 N ，交 ，连接 G，则 G=G ， N 为点 到 最短距离，即 N=G+在 H 中， N=30 ， =6 ， H=3 ， =3 ， ， N ， N 过 D 点， 在 D 中， D=， D= （ 10分） 在线段 ，过 G 作 GN N点， 连接 G ， G ， 显然 G+GN=G+GN D， 把供水站建在甲村的 G 处，管道沿 G， 路铺设的长度之和最小，即最小值为 G+D= ，（ 1123 / 26 分） 综上， 3+ ， 供水站建在处，所需铺设的管道长度最短（ 12 分） 【点评】此题主要考查线路最短问题的作图和求值问题，有一定的难度 17如图，在 ， c=90 ， 0， 0，D， E， F 分别是 P 从点 D 出发沿折线 个单位长的速度匀速运动；点 Q 从点 B 出发沿 向以每秒 4 个单位长的速度匀速运动，过点 Q 作射线 B ，交 折线 点 P， Q 同时出发，当点 时停止运动，点 点 P， t 0） （ 1） D， F 两点间的距离是 25 ； （ 2）射线 否把四边形 成面积相等的两部分？若能，求出 t 的值；若不能，说明理由； （ 3）当点 P 运动到折线 点 P 又恰好落在射线 t 的值； （ 4）连接 B 时，请直接写出 【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质 【专题】压轴题 【分析】（ 1