[工学]第六节 行列式按行列展开.ppt

线性代数讲义 设计制作 王新心 Date （一）余子式和代数余子式 1.6 行列式按行（列）展开 （二）行列式按行（列）展开 Date 一般而言， 第一章 行列式 低阶行列式比高阶行列式的计 算要简单， 所以有时会考虑用较低阶行列式来 表示较高阶行列式。 【定义】在 阶行列式中， 将 元 留下的所在的第 行和第 列的元素划去后， 阶行列式称为 元 的余子式， 记作 称为 元 的代数余子式。 （一）余子式和代数余子式 Date 例如四阶行列式 第一章 行列式 元 的余子式和代数余子式分别为 Date 第一章 行列式 【引理】一个 阶行列式， 的所有元素除 元 外都为0， 那么这个行列 如果其中第 行 即等于 与它的代数余子式的乘积， 证 先证 的情形，此时 （二）行列式按行（列）展开 Date 第一章 行列式 有 这是上节例4中当 时的特殊情况， 再证一般情形 又 从而 此时 Date 第一章 行列式 为了利用上面结论， 调换： 对 的行列作如下 行、第1行对调， 这样数 就调成 元， 将 的第 行依次与第 行、第 调换的次数为 次； 再将第 列依次与第 这样数 就调列、第 列、第1列对调， 成 元， 调换次数为 次。 总之， 经 次调换， 将数 调成了 元， 所得的行列式 Date 第一章 行列式 有 第1行其余元素都 为0， 利用前面的结果， 于是 而 中 元的余子式就是 中 元 的余子式 。 由于 的 元为 ， 证毕 Date 第一章 行列式 【定理】行列式等于它的任一行（列） 的各元素与之对应的代数余子式乘积之和， 即 证 Date 第一章 行列式 Date 第一章 行列式 根据引理得 类似地， 若按列证明得 此定理称为行列式按行（列）展开法则。 利用这一法则并结合行列式的性质， 行列式的计算。 可以简化 Date 第一章 行列式 解 例1 计算上节中行列式 Date 第一章 行列式 Date 第一章 行列式 证 例2 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 利用数学归纳法 Date 第一章 行列式 （1）式成立。所以当 时， 成立， 要证（1）式对 阶范德蒙德行列式成立 假设（1）式对于 阶范德蒙德行列式 为此设法将 降阶， 从第 行开始， 后行 减去前行的 倍， 有 Date 第一章 行列式 按第1列展开， 并将每列的公因子 提出， 有 Date 第一章 行列式 按归纳法假设， 上式右端的行列式是 阶范德蒙德行列式， 它等于所有 因子的乘积 其中 ， 故 证毕 Date 第一章 行列式 故 例如 行列式 是一个范德蒙德行列式 Date 第一章 行列式 【推论】行列式某一行（列）的元素与 另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积 之和等于零， 即 证 将行列式 按第 行展开 Date 第一章 行列式 在上式中，可得将 换成 ， Date 第一章 行列式 上式右端行列式中有两行对应元素 第 行 第 行 当 时， Date 第一章 行列式 相同，故行列式等于零， 证毕 即得 上述证法如按列进行， 即可得 Date 第一章 行列式 综合定理3及推论， 重要性质： 或 有关于代数余子式的 当 当 当 当 其中 当 当 Date 第一章 行列式 按照上述推论中所用的方法， 在行列式 按第 行展开式 中， 用 依次代替 ， 可得 Date 第一章 行列式 事实上， 将 式左端行列式按第 行展开， 它的 元的代数余子式等于 中 元 Date 第一章 行列式 的代数余子式 ， 类似地， 也可知 式成立。 用 代替 中的第 列， 可得 Date 第一章 行列式 例3 设 求 的 元的余子式和代数余子式依次记作 和 ， 及 Date 第一章 行列式 等于 即用 代替 的第1行所得的行列式， 解 由 式可知， Date 第一章 行列式 由 式可知 Date 内容小结 第一章 行列式 1、行列式按行（列）展开 Date 第一章 行列式 2、代数余子式的性质 或 当 当 当 当 其中 当 当 Date 第一章 行列式 1、设 数余子式。 解 求 的值，其中 为元素 的代 备用题 Date 第一章 行列式 2、设