2013年山东高考理科数学试题及答案详解word版.doc

绝密启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第卷和第卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3. 第卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。参考公式：如果事件A，B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A，B独立，那么P(AB)=P(A)P(B)；第卷（共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1). 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为(A) (B) (C) (D) (2). 已知集合，则集合中元素的个数是 (A) (B) (C) (D) (3). 已知函数为奇函数，且当时，则(A) (B) (C) (D) (4). 已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形。若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为(A) (B) (C) (D) (5). 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为(A) (B) (C) (D) (6). 在平面直角坐标系中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为 (A) (B) (C) (D) (7). 给定两个命题。若是的必要而不充分条件，则是的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 (8). 函数的图像大致为 (9). 过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(A) (B) (C) (D) (10). 用十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A) (B) (C) (D) (11). 抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点M。若在点M处的切线平行于的一条渐近，则(A) (B) (C) (D) (12). 设正实数，满足。则当取得最大值时，的最大值为 (A) (B) (C) (D) 第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。(13). 执行右图的程序框图，若输入的的值为0.25，则输出的n的值为 。(14). 在区间上随机取一个数，使得成立的概率为 。(15). 已知向量与的夹角为，且，。若，且，则实数的值为 。(16). 定义“正对数”：，现有四个命题： 若，则； 若，则； 若，则； 若，则。其中的真命题有 。（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分。(17).（本小题满分12分） 设的内角A ，B ，C 所对应的边分别为，且（）求的值；（）求的值。(18). （本小题满分12分） 如图所示，在三棱锥中，平面，分别是的中点，与交于点,与交于点，连接。（）求证：；（）求二面角的余弦值。(19). （本小题满分12分） 甲乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随机结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜概率都是。假设各局比赛结果相互独立。（）分别求甲队以胜利的概率；（）若比赛结果为或，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为，则胜利方得2分，对方得1分。求乙队得分的分布列及数学期望。(20). （本小题满分12分） 设等差数列的前n项和为，且，。（）求数列的通项公式；（）若数列的前n项和为，且。令，求数列的前项和。(21). （本小题满分13分）已知函数（是自然对数的底数，）。（）求的单调区间、最大值;（）讨论关于的方程根的个数。(22). （本小题满分13分）椭圆：的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1。（）求椭圆的方程;（）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接。设的平分线交的长轴于点，求的取值范围； () 在()的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线的斜率分别为。若，试证明为定值，并求出这个定值。 2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)详解理科数学一、选择题：1. 解：由得， ，。答案：D。2. 解：， 当时；当时；当时。答案：C 。3. 解： 当时， ，又为奇函数， 。答案：A。4. 解：三棱柱的体积为，底面是边长为的正三角形， ， 三棱柱的高为。设o为底面ABC的中心， P为底面A1B1C1的中心， 底面ABC ，则为PA与平面ABC所成角，在直角中， 。答案：B。5. 解： 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得函数为一个偶函数，即，。答案：B。6. 解：画出不等式组所表示的区域如图，当M点位于A点时，直线OM斜率的值最小。由解得， OM斜率的最小值为 。答案：C。7. 解： 是的必要而不充分条件，等价于， 是的充分而不必要条件。答案：A。8. 解： 函数为奇函数，答案B不正确； 时，答案C不正确； 时，答案A不正确。答案：D。9. 解：圆的圆心为，易知一个切点为，且 ，直线AB的方程为，即。答案：A。10. 解：（法一）用十个数字，可以组成的所有三位数的个数为，其中无重复数字的三位数的个数为，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为。答案：B。（法二）题目的意思是一定要有重复数字，比如1开头：100，101，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，121，122，131，133，141，144，151，155，161，166，171，177，181，188，191，199。所以1开头有28个。所以共有个。11. 解：抛物线的焦点为，双曲线的右焦点为， 直线的方程为，即。由消得，解得， ，。又 ，在点M处的切线斜率为，双曲线的渐近线为， ，解得。答案：D。12. 解：正实数，满足，。当取得最大值时，且， ，所以的最大值为。答案：B。二、填空题：13. 解：， ，；，；答案：。14. 解： 使得成立的数取值区间为， 所求概率为。答案：。15. 解： ，且，向量与的夹角为，且，。，即。答案：。16. 解：定义“正对数”：，对 若，则；当，时，左边=，右边=，命题成立；当，时，左边=，右边=，命题成立；所以正确。对 若，则；当，时，左边=，右边=，所以命题不正确。对 若，则；当时，左边=，右边=，命题成立；当时，左边=，右边=，命题成立；当时，左边=，右边=，命题成立；当时，左边=，右边=，命题成立；当时，左边=，右边=，命题成立；当时，左边=，右边=，命题成立；所以正确。对 若，则。当，时，左边=，右边=，命题成立；当，时，左边=，右边=，命题成立；当，时，左边=，右边=，命题成立；当，时，左边=或左边=，右边=，命题成立；所以正确。故答案： 。三、解答题：17. 解：（）由余弦定理得，又，所以，。（）在中，由正弦定理得，因为，所以为锐角，因此。18. （）证明：因为分别是的中点，所以，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所以，又，所以。（）解法一：在中，所以，即，因为平面， ，又 ，平面。由（）知，平面，又平面，。同理可得，所以为二面角的平面角。设，连接，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得。又 为的重心 ， ，同理。在中，由余弦定理得。即二面角的余弦值为。解法二：在中，所以，又平面， 两两互相垂直。以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设，则，。，。设平面的一个法向量为，则由得，取，得；设平面的一个法向量为，则由得，取，得。所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为。19. 解：（） 记“甲队以胜利”为事件，“甲队以胜利”为事件，“甲队以胜利”为事件，由题意知，各局比赛结果相互独立，故，所以甲队以胜利的概率都为，甲队以胜利的概率为。（），记“乙队以胜利”为事件，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以，由题意知，随机变量X的所有可能的取值为，根据事件的互斥性得，故乙队得分的分布列为乙队得分的数学期望为。20. 解：（）设等差数列的首项为，公差为，则由，得，解得，因此。（）由题意知， 当时，故，数列的前项和，则，两式相减得，故，所以数列的前项和。21. 解：（） ，由解得。当时，为单调增函数，当时，为单调减函数。函数的单调增区间为，单调减区间为，最大值为。（）令。（1）当时，则，于是，因此在上为单调递增函数。（2）当时，则，于是，又，即，因此在上为单调递减函数。综合（1）（2）可知，当时，。当，即时，没有零点，故关于的方程根的个数为。当，即时，只有一个零点，故关于的方程根的个数为。当，即时， 当时，由（）知。要使，只需使，即；当时，由（）知。要使，只需使，即；所以时，有两个零点，故关于的方程根的个数为。综上所述，当时，关于的方程根的个数为；当时，关于的方程根的个数为；当时，关于的方程根的个数为。22. 解：（）由于，将代入椭圆方程得，由题意知，即，又， ，所以椭圆的方程为。（）解