2017届甘肃省西北师大附中高三(上)开学数学试卷(理科)(解析版).doc

2016-2017学年甘肃省西北师大附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合M=y|y=x21，xR，N=x|y=，则MN=（）A1，+）B1，C，+）D2设，则二项式，展开式中含x2项的系数是（）A192B192C6D63已知x，yR，i为虚数单位，且（x2）iy=1+i，则（1+i）x+y的值为（）A4B4C4+4iD2i4已知F1、F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F1PF2=90，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A2B3C4D55公差不为0的等差数列an中，3a2005a20072+3a2009=0，数列bn是等比数列，且b2007=a2007，则b2006b2008=（）A4B8C16D366阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A0BCD7某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）ABCD8把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD9已知直线Ax+By+C=0（其中A2+B2=C2，C0）与圆x2+y2=4交于M，N，O是坐标原点，则=（）A1B1C2D210已知函数f（n）=n2cos（n），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+a100=（）A0B100C100D1020011已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，2AC=AB，若四面体PABC的体积为，则该球的体积为（）AB2CD12函数的最大值是（）AB3CD1二、填空题13观察下列等式：12=1，1222=3，1222+32=6，1222+3242=10，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，1222+3242+（1）n+1n2=_14若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是_15某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有_16设集合A=x|0x1，B=x|1x2，函数，x0A且ff（x0）A，则x0的取值范围是_三、解答题17已知在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且sinC=cosA（）求角A、B、C的大小；（）函数f（x）=sin（2x+A）+cos（2x），求函数f（x）单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离18盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品19如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC=90，O为BC中点（）证明：SO平面ABC；（）求二面角ASCB的余弦值20已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设Tn为数列的前n项和，若Tnan+1对nN*恒成立，求实数的最小值21己知O：x2+y2=6，P为O上动点，过P作PMx轴于M，N为PM上一点，且（）求点N的轨迹C的方程；（）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由22设函数f（x）=x2+axlnx（aR）（）当a=1时，求函数f（x）的极值；（）当a1时，讨论函数f（x）的单调性；（）若对任意a（3，4）及任意x1，x21，2，恒有m+ln2|f（x1）f（x2）|成立，求实数m的取值范围2016-2017学年甘肃省西北师大附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合M=y|y=x21，xR，N=x|y=，则MN=（）A1，+）B1，C，+）D【考点】交集及其运算【分析】由题意求出集合M与集合N，然后求出MN【解答】解：集合M=y|y=x21，xR=y|y1，对于，2x20，解得，N=x|，则MN=1，+）=故选B2设，则二项式，展开式中含x2项的系数是（）A192B192C6D6【考点】定积分；二项式系数的性质【分析】先由题中条件：“，”求得a值，再利用二项式定理的通项公式结合待定系数法即可求得含x2项的系数【解答】解：a=0（sinx+cosx）dx=（cosx+sinx）|0=2二项式的通项公式为，令3r=2，得r=1，故展开式中含x2项的系数是（1）1C61261=192故选A3已知x，yR，i为虚数单位，且（x2）iy=1+i，则（1+i）x+y的值为（）A4B4C4+4iD2i【考点】复数代数形式的混合运算【分析】利用复数相等，求出x、y的值，然后化简求值即可【解答】解：由x2=1，y=1有（1+i）4=（2i）2=4故选B4已知F1、F2分别是双曲线（a0，b0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F1PF2=90，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（）A2B3C4D5【考点】等差数列的性质；双曲线的简单性质【分析】本题考查的是双曲线的简单性质，要求出双曲线的离心率，关键是要根据已知构造一个关于离心率e，或是关于实半轴长2a与焦距2C的方程，解方程即可求出离心率，注意到已知条件中，F1PF2=90，且F1PF2的三边长成等差数列，结合双曲线的定义，我们不难得到想要的方程，进而求出离心率【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设P在第一象限，则由已知得5a26ac+c2=0，方程两边同除a2得：即e26e+5=0，解得e=5或e=1（舍去），故选D5公差不为0的等差数列an中，3a2005a20072+3a2009=0，数列bn是等比数列，且b2007=a2007，则b2006b2008=（）A4B8C16D36【考点】等差数列的性质；等比数列的性质【分析】先根据等差数列的等差中项的性质可知3a2005+3a2009=6a2007代入，3a2005a20072+3a2009=0，即可求的a2007的值，进而根据等比中项的性质求的答案【解答】解：3a2005a20072+3a2009=0，即6a2007a20072=0，a2007（a20076）=0，由a2007=b20070知，b2007=a2007=6b2006b2008=b22007=36故选D6阅读如图所示的程序框图，输出的结果S的值为（）A0BCD【考点】循环结构【分析】首先判断框图为“当型“循环结构，然后判断循环体并进行循环运算判断出规律，最后判断出最后的输出结果【解答】解：本框图为“当型“循环结构当满足n2010时，执行循环体：s=s+sin根据s=0，n=1第1次循环：s=0+sin=第2次循环：s=+=第3次循环：s=+0=第4次循环：s=+（）=第5次循环：s=+2（）=0第6次循环：s=0+0=0第7次循环：s=当n为6的倍数时，s的值为0n=2010时，为6的倍数，故此时s=0n=2011时，s=故选B7某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1四个侧面都是直角三角形，其中PBC的高PB=故其侧面积是S=SPAB+SPBC+SPCD+SPAD=故选A8把函数y=sin（x+）图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）ABCD【考点】正弦函数的对称性【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令x+=即可得到答案【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程故选A9已知直线Ax+By+C=0（其中A2+B2=C2，C0）与圆x2+y2=4交于M，N，O是坐标原点，则=（）A1B1C2D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】本题是考查平面几何、向量、解析几何有关知识，先求出圆心到直线的距离，这样得到特殊的直角三角形，求出圆心角，根据圆的半径知道向量的模是2，代入数量积公式求解【解答】解：圆心O到直线Ax+By+C=0的距离，=，故选C10已知函数f（n）=n2cos（n），且an=f（n）+f（n+1），则a1+a2+a3+a100=（）A0B100C100D10200【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式【分析】先求出分段函数f（n）的解析式，进一步给出数列的通项公式，再使用分组求和法，求解【解答】解：，由an=f（n）+f（n+1）=（1）nn2+（1）n+1（n+1）2=（1）nn2（n+1）2=（1）n+1（2n+1），得a1+a2+a3+a100=3+（5）+7+（9）+199+（201）=50（2）=100故选B11已知四面体PABC的外接球的球心O在AB上，且PO平面ABC，2AC=AB，若四面体PABC的体积为，则该球的体积为（）AB2CD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直径，所以ABC在大圆所在平面内且有ACBC，由此能求出球的体积【解答】解：设该球的半径为R，则AB=2R，2AC=AB=，AC=R，由于AB是球的直径，所以ABC在大圆所在平面内且有ACBC，在RtABC中，由勾股定理，得：BC2=AB2AC2=R2，所以RtABC面积S=BCAC=，又PO平面ABC，且PO=R，四面体PABC的体积为，VPABC=，即R3=9，R3=3，所以：球的体积V球=R3=3=4故选D12函数的最大值是（）AB3CD1【考点】函数的最值及其几何意义【分析】设sinx=t，采用换元法把三角函数转化为二次函数，然后借助二次函数的图象和性质进行求解【解答】解：设sinx=t，则；令u=2t，则y=v2+1y是关于v的二次函数，其图象关于直线v=0对称；但v是关于u的增函数，而1t1，从而1u3，v0，所以y是关于v的增函数，于是u=3时，二、填空题13观察下列等式：12=1，1222=3，1222+32=6，1222+3242=10，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，1222+3242+（1）n+1n2=【考点】归纳推理【分析】由已知中的等式：12=1，1222=3，1222+32=6，1222+3242=10，我们易得到等式左边是从一开始的奇数平方和减偶数平方和，右边式子的绝对值是一等差数列的前n项和，由此不难归纳出答案【解答】解：由已知中等式：12=1=，1222=3=，1222+32=6=，1222+3242=10=，由此我们可以推论出一个一般的结论：对于nN*，1222+3242+（1）n+1n2=故答案为：14若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值是4【考点】简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，将z=x+y化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=x+y化为y=x+z，z相当于直线y=x+z的纵截距，则由y=62x与y=x联立解得，x=2，y=2；故z=2+2=4；故答案为：415某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座，每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另两人之间，则不同的座法共有112【考点】排列、组合及简单计数问题【分析】根据题意，分3步来满足题意所给的限制条件，、先安排甲、乙、丙三人，、再在三人之间以及两端都安排一个空座位，、在这8个空位中，任取5个插入空座位；分别计算每一步的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分3步来完成：、先安排甲、乙、丙三人，甲必须在另两人之间，有2种情况，排好后，包括两端共4个空位；、再在每个空位都安排一个空座位，有1种安排方法，排好后，包括两端共8个空位；、在这8个空位中，任取5个，插入空座位，有C85=56种安排方法；则共有256=112种不同的安排方法；故答案为11216设集合A=x|0x1，B=x|1x2，函数，x0A且ff（x0）A，则x0的取值范围是（）【考点】函数的值【分析】利用当x0A，且ff（x0）A，列出不等式，解出 x0的取值范围【解答】解；：0x01，f（x0）=21，2 ）=Bff（x0）=f（2）=422ff（x0）A，04221log2x0x10x01log2x01故答案为：（）三、解答题17已知在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且sinC=cosA（）求角A、B、C的大小；（）函数f（x）=sin（2x+A）+cos（2x），求函数f（x）单调递增区间，指出它相邻两对称轴间的距离【考点】正弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性【分析】（）根据正弦定理求得sin2A和sin2B的关系进而得出进而根据sinC=cosA求得A，B，C（）把（）中的A，B，C代入f（x）整理后根据正弦函数的性质可得函数f（x）的单调区间【解答】解：（）由题设及正弦定理知：，得sin2A=sin2B2A=2B或2A+2B=，即A=B或当A=B时，有sin（2A）=cosA，即，得，；当时，有，即cosA=1不符题设，（）由（）及题设知：当时，为增函数即的单调递增区间为它的相邻两对称轴间的距离为18盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只都是次品；（2）取到的2只中正品、次品各一只；（3）取到的2只中至少有一只正品【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式【分析】（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有=36种不同取法，取到的两只都是次品的情况为=4种，由此能求出取到的2只都是次品的概率（2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品，有42种取法；第一次取到次品，第二次取到正品，有24种取法由此能求出取到的2只中正品、次品各一只的概率（3）利用对立事件概率公式能求出取到的2只中至少有一只正品的概率【解答】解：（1）从6只灯泡中有放回地任取两只，共有=36种不同取法，取到的两只都是次品的情况为=4种，取到的2只都是次品的概率p1=（2）取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品，有42种取法；第一次取到次品，第二次取到正品，有24种取法取到的2只中正品、次品各一只的概率p2=（3）取到的2只中至少有一只正品的概率p3=1p1=1=19如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC=90，O为BC中点（）证明：SO平面ABC；（）求二面角ASCB的余弦值【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题【分析】（1）欲证SO平面ABC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证SO与平面ABC内两相交直线垂直，而SOBC，SOAO，又AOBO=O，满足定理条件；（2）以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz，求出两半平面的法向量，求出两法向量的夹角即可【解答】证明：（）由题设AB=AC=SB=SC=SA，连接OA，ABC为等腰直角三角形，所以，且AOBC，又SBC为等腰三角形，故SOBC，且，从而OA2+SO2=SA2所以SOA为直角三角形，SOAO又AOBO=O所以SO平面ABC（）解：以O为坐标原点，射线OB，OA分别为x轴、y轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz设B（1，0，0），则C（1，0，0），A（0，1，0），S（0，0，1）SC的中点，故等于二面角ASCB的平面角，所以二面角ASCB的余弦值为20已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列（）求数列an的通项公式；（）设Tn为数列的前n项和，若Tnan+1对nN*恒成立，求实数的最小值【考点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质【分析】（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式化简S4=14得到关于首项和公差的关系式，又a1，a3，a7成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列an的通项公式即可；（II）把（I）中求出的数列an的通项公式代入数列中，根据=，列举出数列的前n项和的每一项，抵消后得到Tn的通项公式，将求出的Tn的通项公式和an+1的通项公式代入已知的不等式中，解出大于等于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最大值，即可得到实数的最小值【解答】解：（I）设公差为d，由已知得：，即，解得：d=1或d=0（舍去），a1=2，故an=2+（n1）=n+1；（II）=，Tn=+=，Tnan+1对nN*恒成立，即（n+2），nN*恒成立，又=，的最小值为21己知O：x2+y2=6，P为O上动点，过P作PMx轴于M，N为PM上一点，且（）求点N的轨迹C的方程；（）若A（2，1），B（3，0），过B的直线与曲线C相交于D、E两点，则kAD+kAE是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【分析】（）设M（x，y），则可设P（x，y0），Q（x，0），根据又，可确定y0=3y，进而可知点P的坐标代入圆的方程，求得曲线C的方程（）设D（x1，y1），E（x2，y2），设出过点B的直线DE的方程，与题意方程联立，利用韦达定理求出横坐标的和与乘积，求出kAD+kAE化简即可判断否为定值【解答】解：（）设N（x，