[工学]第四章 杆单元和梁单元.ppt

第第4 4章章 杆单元和梁单元杆单元和梁单元 本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。 如图4-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力 ，相关参数如图。具体求解过程如下： 图 4-1 杆件结构 （1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐 标系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图4-1）。在局 部坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取的 一个杆单元。 图 4-2 杆单元 对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关 系式 (4.1) 其中， 称为单元刚度矩阵 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 （2）确定位移模式 假设单元位移场： 取其线性部分，系数 、 可由节点位移 、 确定，称为位 移插值模式（interpolation model）. (4.2) （3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移为 ， ，代入上式插值模式公式得： 求解得到 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 这样， 可以写成如下矩阵形式 导出 = (4.3) 得到形函数矩阵（shape function matrix） (4.4) 记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是 (4.5) 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是 (4.6) （4）应变 由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足 (4.7) （5）应力 由弹性力学的物理方程知： (4.8) （6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵 单元的势能表达式： 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 上式记作如下矩阵形式： (4.9) 其中，单元刚度矩阵（element stiffness matrix），或称单 元特性矩阵(element characteristic matrix) (4.10) 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 根据最小势能原理， ，得 (4.11) 其中节点载荷矩阵为 （7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements） 对于图4.1所示结构 第一个单元： 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即 第二个单元： 在这里，把表达成整体位移矢量 的函数，如下： 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 可记作 (4.12) 上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元 刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系 统方程： (4.13) 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 （8）引入边界条件（Treatment of boundary conditions） 为获取许可位移场，需引入边界条件 (4.14) 由于 ，可划去它所对应的行和列，这样基于许可位移 场的系统总势能为 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 （9）建立系统弹性方程 由最小势能原理，势能函数对未知位移 求变分，满足 的条件是 ，得如下方程式 = (4.15) （10）求解节点位移 由上式方程可以直接求解得到 , 注意到R2是内 力，不做功。在求解过程中，可以视为0。也就是 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 （11）求单元应变 （4.16） = （4.17） （12）各单元应力 利用物理方程，求单元的应力 （4.18） 4.1 4.1 杆件系统的有限元分析方法杆件系统的有限元分析方法 （13）各支点反力 各支反力公式是由单元最小势能原理得到的，即 （4.19） 为了清楚起见, 将上述两杆结构代入具体数值： ， ， ， ，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下： = 4.2.1 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析平面悬臂梁问题的解析分析 作为对照，先用经典材料力学法和弹性力学法对平面悬臂 梁进行分析求解。 （1） 平面悬臂梁的材料力学求解： 一端受载荷作用的悬臂梁如图4-6（a）所示，选取坐标系如 图4-6 (b)，任意横截面上的弯矩为 (a) 结构示意图 (b) 力学模型 图4-4 平面悬臂梁力学模型 （4.20） 4.2.1 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析平面悬臂梁问题的解析分析 受载荷作用后梁产生变形，在xy平面内梁的轴线将变成一条 曲线，即挠曲线。根据材料力学有关假设，梁弯曲的挠曲线的近 似微分方程为 （4.21） 由这两个公式可得挠曲线的微分方程为 积分得 （4.22） 4.2.1 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析平面悬臂梁问题的解析分析 引入边界条件，左侧固定端A处的转角和挠度均等于零，即 当X=0时， （4.23） 把边界条件式代入式（4.22），得 再将所得积分常数C和D代回前式，得转角方程和挠曲线方 程分别为 （4.24） 4.2.1 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析平面悬臂梁问题的解析分析 将悬臂梁的右端受载荷W处的横坐标x=l代入以上两式，得 右端受载荷截面的转角和挠度分别为 （2）平面悬臂梁的弹性力学求解 （4.25） 末端受集中载荷作用的平面悬臂梁的位移场可以用以下多项 式表示 x方向： y方向： 4.2.1 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析平面悬臂梁问题的解析分析 梁的中性面（y=0的面）上的挠曲为 受载荷作用的悬臂梁上任何位置处的转角为 （4.26） 左侧悬臂处（x=0）的挠曲为 ，右端处（x=L）受到集 中载荷作用，挠曲为 ，该结果与材料力学中的挠曲线 公式相同。 （4.27） 梁中性面（y=0）上的转角为 左端点（x=0）为悬臂点，转角为 4.2.1 4.2.1 平面悬臂梁问题的解析分析平面悬臂梁问题的解析分析 受载荷作用的悬臂梁的应力场可在应变场的基础上，由弹 性力学物理方程直接求出 右端点（x=L）为受集中载荷点，转角为 受载荷作用的悬臂梁的应变场可由弹性力学几何方程求出 （4.28） （4.29） 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 （1） 建立坐标系，进行单元离散。坐标系包括结构的整体 坐标系和单元局部坐标系。 （2） 建立平面梁单元的位移模式。 设一个平面梁单元有两个节点，如图4-5所示。在局部坐标 系内，平面梁单元定义有6个自由度 图4-5平面梁单元模型 (4.30) 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 略去轴向位移，可以设平面梁单元有如下4个自由度 (4.31) 对于平面梁单元，其弯曲变形的位移场 可以设为下式 (4.32) 因此，梁的斜率是（Hermite型） (4.33) 位移模式写成矩阵形式 (4.34) 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 （3）推导形函数矩阵 代入节点位移和节点坐标，有 其中，L梁单元的长度。得到 前两个方程直接解出 和 ，代入后两个方程，解出 和 ，具体如下 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 上面的推导可以写成如下矩阵形式 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 求得 (4.35) 将式(4.35)代入式(4.34)， , 用节点 的位移形式重新整理，得 得到的用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移是 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 (4.36) 其中，N(x) 平面梁单元的形函数。 节点位移向量， 。对于 式中N(x)的具体表达式是 (4.37) 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 (4) 推导应变、应力，根据最小势能原理导出单元刚度矩阵 。在这里直接根据瑞利法，也可以导出以节点位移的形式来表达 梁单元的应变能。弯曲梁的应变能是 (4.37) 二阶导数可由方程(4.36)决定，表示为 (4.38) 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 其中 (4.39) 代入梁单元应变能公式，同时假设对于该单元而言是常量， 得单元应变能 (4.40) 节点位移向量 不是x的函数,上式可以写成 应变能的一般形式可以表达成 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 (4.41) 其中， 平面梁单元的单元刚度矩阵，即 (4.42) 考虑到B是x的函数, 上式所有项积分后得局部坐标系下的平 面梁单元的单元刚度矩阵 (4.43) 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 （5）整体刚度矩阵的组集与坐标变换 a) 局部坐标系向整体坐标系的转换 局部坐标系，整体坐标系，两种坐标系下的节点载荷、节点 位移和单元刚度矩阵的变换关系为 其中坐标变换矩阵为 (4.45) 式中， 是x轴相对于x轴的夹角。可以证明，转换矩阵T的 逆矩阵等于它的转置矩阵，所以，在整体坐标系下的单元刚度矩 阵为 (4.46) 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 b) 进行整体刚度矩阵的组集。可以采用直接刚度法 。 （6）引入约束条件。 （7）求解系统方程，得到所有的节点位移。 （8）进而再求出单元的应力应变等。 式中， 是x轴相对于x轴的夹角。可以证明，转换矩阵T的 逆矩阵等于它的转置矩阵，所以，在整体坐标系下的单元刚度矩 阵为 (4.46) 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 例4-1 平面梁单元应用举例。设一方形截面的悬臂梁，截面每边长 为5cm，长度为10m，在左端约束固定，在右端施以一个沿y轴负 方向的集中力w=100N，求其挠度与转角。 图4-6 平面梁单元实例图 4.2.2 4.2.2 平面梁单元的推导平面梁单元的推导 利用matlab和ansys两种方法求得的结果基本一致: 左端点沿y方向位移(挠曲)：0 左端点绕z轴的转角：0 中间点沿y方向位移(挠曲)：-0.05 中间点绕z轴的转角：-0.018 右端节点沿y方向位移(挠曲)：-0.16 右端节点绕z轴的转角：-0.024 4.3.1 4.3.1 空间梁单元的节点坐标空间梁单元的节点坐标 对于具有两个节点的空间梁单元，设其节点坐标和相应的 节点力如下 节点（1）： (4.47) 节点（2）： (4.48) 4.3.2 4.3.2 空间梁单元的坐标变换空间梁单元的坐标变换 整体坐标系记为OXYZ，梁单元的局部坐标系记为oxyz，其 中ox轴正方向由i端截面形心指向j端面形心，y轴和z轴是梁截面 的两个相互垂直的形心主轴，见图4-7。坐标变换公式具有如下 形式： (4.49) 图4-7 空间梁单元的坐标变换 4.3.24.3.2空间梁单元的坐标变换空间梁单元的坐标变换 由局部坐标向整体坐标的位移变换公式是 (4.50) 节点力的变换公式是 (4.51) 单元刚度矩阵变换公式是 (4.52) 在三维空间中，设x,y,z是局部坐标系，X，Y，Z是整体坐标 系, 单元局部坐标系的三个坐标轴的方向余弦分别如下式： (4.53) 4.3.2 4.3.2 空间梁单元的坐标变换空间梁单元的坐标变换 坐标变换矩阵的具体求算方法包括如下步骤。 (1) 局部坐标系x轴在整体坐标系中的方向余弦： (4.54) （2）局部坐标系y轴在整体坐标系中的方向余弦 现在讨论具有任意方向的空间梁单元。首先，由节点i、 j 在整体坐标系下的坐标即可确定e1在整体坐标系中的三个方 向余弦，即 (4.55) 4.3.2 4.3.2 空间梁单元的坐标变换空间梁单元的坐标变换 其中 (4.56) 下面计算e2和e3。 在单元的主惯性平面oxy上任取一点k（但k点不能取在ox轴 上），点在整体坐标系中的坐标记为（Xk，Yk,Zk）。 沿矢量 方向取矢量g， g在整体坐标系中的三个分量是 (4.57) (4.58) 4.3.2 4.3.2 空间梁单元的坐标变换空间梁单元的坐标变换 因z轴垂直于oxy平面，而e1和g均在平面oxy上，故可取 (4.59) e1和e3既已确定，只需按右手直角坐标系条件确定e2即可 。因而可取 e2= e1+e3 (4.60) 由矢量叉乘法则： 4.3.2 4.3.2 空间梁单元的