lecture8基本集合恒等式.ppt

一广义交和广义并 定义6.10 设A为集合，A的元素的元素构成的集合称为A 的广义并，记为A。符号化表示为 Ax|z(zAxz)。 例6.4 设 Aa,b,c,a,c,d,a,e,f Ba Ca,c,d 则Aa,b,c,d,e,f Ba Cac,d 根据广义并定义不难证明，若A A1,A2,An，则 AA1A2An。 定义6.11 设A为非空集合，A的所有元素的公共元素构 成的集合称为A的广义交，记为A。符号化表示为 Ax|z(zAxz) 考虑例6.4中的集合，有 Aa，Ba，Cac，d 对于空集可以进行广义并，即 。但空集不 可以进行广义交，因为 不是集合，在集合论中是没 有意义的。 和广义并类似，若AA1,A2,An，则A A1A2An。 为了使得集合表达式更为简洁，我们对集合运算的优先 顺序做如下规定： 称广义并，广义交，幂集，绝对补运算为一类运算，并 ，交，相对补，对称差运算为二类运算。 一类运算优先于二类运算。 一类运算之间由右向左顺序进行。 二类运算之间由括号决定先后顺序。 基本集合恒等式 幂等律 AAA(6.1) AAA(6.2) 结合律 (AB)CA(BC) (6.3) (AB)CA(BC) (6.4) 交换律 ABBA(6.5) ABBA(6.6) 分配律 A(BC)(AB)(AC) (6.7) A(BC)(AB)(AC) (6.8) 同一律 A A (6.9) AEA(6.10) 零律 AEE(6.11) A (6.12) 排中律 AAE (6.13) 吸收律 A(AB)A (6.15) A(AB)A (6.16) 德摩根律 A(BC)(AB)(AC) (6.17) A(BC)(AB)(AC) (6.18) (BC)=BC (6.19) (BC)=BC(6.20) E (6.21) E (6.22) 双重否定律 (A)A (6.23) 矛盾律 AA (6.14) 证明技巧一 除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要 结果。 例如： ABA，ABB(6.24) AAB，BAB(6.25) ABA(6.26) ABAB (6.27) 例6.10 证明(AB)BAB 证 (AB)B (AB)B (AB)(BB) (AB)E AB 证明技巧二 ABBABAAB (6.28) 例6.12 化简(ABC)(AB)(A(BC)A)。 解 因为ABABC，AA(BC)，由式6.28 有 (ABC)(AB)(A(BC)A) (AB)A =BA 证明技巧三 ABBA (6.29) (A B) CA (B C) (6.30) A A (6.31) A A (6.32) A BA C=BC (6.33) 例6.13 已知A BA C，证明BC。 证 已知A BA C，所以有 A (A B)A (A C) =(A A) B(A A) C (由式6.30) = B C(由式6.32) =B C (由式6.29) =BC (由式6.31) 学习要求 1 . 熟练掌握集合的子集、相等、空集、全集、幂集等概念及其 符号化表示 2 . 熟练掌握集合的交、并、（相对和绝对）补、对称差、广义 交、广义并的定义及其性质 3 . 掌握集合的文氏图的画法及利用文氏图解决有限集的计数问 题的方法 4 . 牢记基本的集合恒等式（等幂律、交换律、结合律、分配律 、德摩根律、收律、零律、同一律、排中律、矛盾律、余 补律、双重否定律、补交转换律） 5 . 准确地用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新 的等式或包含式 7.1 有序对与笛卡儿积 一基本概念 定义7.1 由两个元素x和y（允许x=y）按一定顺序排列成 的二元组叫做一个有序对或序偶，记作，其中x是 它的第一元素，y是它的第二元素。 有序对具有以下性质： 1当xy时，。 2=的充分必要条件是x=u且y=v。 例7.1 已知=，求x和y。 解 由有序对相等的充要条件有 x+2=5 2x+y=4 解得x=3,y=-2。 定义7.2 设A，B为集合,用A中元素为第一元素，B中元 素为第二元素构成有序对。所有这样的有序对组成的集 合叫做A和B的笛卡儿积，记作AB。 笛卡儿积的符号化表示为 AB=|xAyB 例如，设A=a,b, B=0,1,2，则 AB=, BA=, 由排列组合的知识不难证明，如果|A|=m,|B|=n,则|AB|= ? 笛卡儿积运算性质 1对任意集合A，根据定义有 A = , A= 2一般的说，笛卡儿积运算不满足交换律，即 ABBA (当A B AB时) 3笛卡儿积运算不满足结合律，即 (AB)CA(BC) (当ABC时) 4笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即 A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 证 任取 A(BC) 5ACBD=ABCD ? xAyBC xA(yByC) (xAyB)(xAyC) ABAC (ABAC) 所以有A(BC) = (AB)(AC)。 问：为什么不是等值 7.2 二元关系 一基本概念 例如R1=,，R2=,a,b。则R1是二元关 系，R2不是二元关系，只是一个集合。 根据上面的记法可以写1R12，aR1b等。 定义7.3 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空，且它的元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一个二元关系，记作R。二元关系也可简 称为关系。对于二元关系R，如果R，可记作xRy ；如果R，则记作x y。 定义7.4 设A，B为集合，AB的任何子集所定义的二元 关系叫做从A到B的二元关系，特别当A=B时则叫做A上 的二元关系。 例如A=0,1，B=1,2,3，那么 R1=，R2=AB，R3= ，R4= 等都是从A到B的二元关系，而R3和R4同时也是A上的二 元关系。 集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数。如果 |A|=n，那么|AA|=？， AA的子集数=？。 对于任何集合A，空集是AA的子集，叫做A上的空关 系。下面定义A上的全域关系EA和恒等关系IA。 定义7.5 对任意集合A，定义 EA=|xAyA=AA IA=|xA 例如，A=1,2，则 EA=, IA=, 除了以上三种特殊的关系以外，还有一些常用的关系， 分别说明如下: LA=|x,yAxy，这里AR。 DB=|x,yBx整除y，这里BZ*。 R=|x,yAxy，这里A是集合族。 LA叫做A上的小于或等于关系；DB叫做B