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1 概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案 1设某产品指标服从正态分布，它的均方差已知为 150h，今从一批产品中随 机抽查 26 个，测得指标的平均值为 1637h问在 5%的显著性水平，能否认为 这批产品的指标为 1600h？ 解：总体X)150,( 2 N，检验假设为 0 H：1600， 1 H：1600 采用U检验法，选取统计量 n X U / 0 0 ， 当 0 H成立时，U) 1 , 0(N，由已知，有1637x，26n，05. 0， 查正态分布表得96. 1 025. 0 u，该检验法的拒绝域为96. 1u 将观测值代入检验统计量得2577. 1 42.29 37 26/150 16001637 u， 显然96. 12577. 1u，故接受 0 H，即可认为这批产品的指标为 1600h 2正常人的脉搏平均为 72 次/min，现某医生从铅中毒患者中抽取 10 个人，测 得其脉搏(单位：次/min)如下： 54，67，68，78，70，66，67，70，65，69 设脉搏服从正态分布，问在显著性水平05. 0下，铅中毒患者与正常人的脉 搏是否有显著性差异？ 解：本题是在未知方差 2 的条件下，检验总体均值72 取检验统计量为 nS X T / 0 ， 检验假设为 0 H：72 0 ， 1 H：72 当 0 H成立时，T) 1( nt，由已知，有4 .67x，93. 5s，05. 0， 查t分布表得262. 2)9( 025. 0 t，将观测值代入检验统计量得 45. 2 88. 1 6 . 4 10/93. 5 724 .67 / 0 ns x t ， 2 显然)9(262. 2447. 2 025. 0 tt，故拒绝 0 H，即铅中毒患者与正常人的脉搏 有显著性差异 3测定某溶液中的水分，得到 10 个测定值，经统计%452. 0x， 22 037. 0s， 该溶液中的水分含量X),( 2 N，与 2 未知， 试问在显著性水平05. 0 下该溶液水分含量均值是否超过 5%？ 解：这是在总体方差 2 未知的情况下，关于均值的单侧检验检验假设为 0 H：%5 . 0， 1 H：%5 . 0 此假设等价于检验假设 0 H：%5 . 0， 1 H：%5 . 0 由于 2 未知，取检验统计量为 nS X T / 0 当 0 H成立时，T) 1( nt，拒绝域为)1( / 0 nt ns x ， 将观测值代入检验统计量得 709. 1 037. 0 )5 . 052. 0(10 / 0 ns x t ， 由05. 0，查t分布表得833. 1)9( 05. 0 t，显然)9(833. 1709. 1 05. 0 tt， 所以接受 0 H，即该溶液水分含量均值是否超过 5% 4甲、乙两个品种作物，分别用 10 块地试种，产量结果97.30x，79.21y， 7 .26 2 1 s，1 .12 2 2 s设甲、乙品种产量分别服从正态分布),( 2 1 N和 ),( 2 2 N，试问在01. 0下，这两种品种的产量是否有显著性差异？ 解：这是在方差相等但未知的情况下检验两正态总体的均值是否相等的问题 检验假设为 0 H： 21 ， 1 H： 21 由题可知， 22 2 2 1 未知，因此取检验统计量 3 nm nmmn SnSm YX T )2( ) 1() 1( 2 2 2 1 ， 当 0 H为真时，T)2(nmt，该检验法的拒绝域为)2( 2/ nmtt 由题设，10 nm，97.30x，79.21y，7 .26 2 1 s，1 .12 2 2 s 将其代入检验统计量得 nm nmmn SnSm yx t )2( ) 1() 1( 2 2 2 1 66. 4 20 181010 1 .1297 .269 79.2197.30 ， 由01. 0，查t分布表得878. 2)18()2( 005. 02/ tnmt 显然)18(878. 266. 4 005. 0t tt，因此，拒绝 0 H，即这两种品种的产量有显 著性差异 5某纯净水生产厂用自动灌装机装纯净水，该自动灌装机正常罐装量X )4 . 0 ,18( 2 N，现测量某厂 9 个罐装样品的灌装量(单位：L)如下： 0 .18，6 .17，3 .17，2 .18，1 .18，5 .18，9 .17，1 .18，3 .18 在显著性水平05. 0下，试问： (1) 该天罐装是否合格？ (2) 罐装量精度是否在标准范围内？ 解：(1) 检验罐装是否合格，即检验均值是否为 18，故提出假设 0 H：18， 1 H：18， 由于方差 22 4 . 0已知，取检验统计量为 n X U / 0 0 ， 当 0 H为真时，U) 1 , 0(N，该检验法的拒绝域为 2/ uu 由题可知，9n，18x，将其代入检验统计量得 0 9/4 . 0 1818 / 0 0 n x u ， 由05. 0，查标准正态分布表得96. 1 025. 0 u，显然， 025. 0 96. 10uu， 故接受 0 H，即该天罐装合格 4 (2) 检验罐装量精度是否在标准范围内，即检验假设 0 H： 22 4 . 0， 1 H： 22 4 . 0， 此假设等价于 0 H： 22 4 . 0， 1 H： 22 4 . 0 由于18已知，选取检验统计量为 n i i X 1 2 2 0 2 )18( 1 ， 当 0 H为真时， 2 )( 2 n，该检验法的拒绝域为)( 22 n 由已知计算得625. 6)18( 1 1 2 2 0 2 n i i x ， 查 2 分布表得307.18)10( 2 05. 0 ， 由此知)10(307.18625. 6 2 05. 0 2 ，故接受 0 H，即罐装量精度在标准范围内 6某厂生产某型号电池，其寿命长期以来服从方差 22 1600h的正态分布，现 从中抽取 25 只进行测量，得 22 2500hs ，问在显著性水平05. 0下，这批 电池的波动性较以往有无显著变化？ 解：这是在均值未知的条件下，对正态总体方差的检验问题检验假设为 0 H： 2 0 2 ， 1 H： 2 0 2 ， 其中1600 2 0 ，取检验统计量为 2 2 2 ) 1( Sn 当 0 H为真时， 2 )( 2 n，对于给定的显著性水平，该检验法的拒绝域为 )1( 2 2/1 2 n 或)1( 2 2/ 2 n 将观测值2500 2 s代入检验统计量得5 .37 1600 250024) 1( 2 2 2 sn 对于05. 0，查 2 分布表得 401.12)24() 1( 2 975. 0 2 2/1 n，364.39)24() 1( 2 025. 0 2 2/ n， 由于)24(364.395 .37401.12)24( 2 025. 0 22 975. 0 ， 故接受 0 H，即这批电池的波动性较以往无显著变化 5 7 某工厂生产一批保险丝， 从中任取 10 根试验熔化时间， 得60x，8 .120 2 s， 设熔化时间服从正态分布),( 2 N，在01. 0下，试问熔化时间的方差是否 大于 100？ 解：本题是在均值未知的条件下，检验 2 是否大于 100，是关于 2 的单侧检验 问题 检验假设为 0 H：100 2 ， 1 H：100 2 ， 此假设等价于 0 H：100 2 ， 1 H：100 2 ， 这是左侧检验问题，取检验统计量为 2 0 2 2 ) 1( Sn ， 当 0 H为真时， 2 )( 2 n，该检验法的拒绝域为)1( 2 1 2 n 将10n，100 2 0 ，8 .120 2 s，代入上述统计量得 87.10 100 8 .1209) 1( 2 0 2 2 sn 对于01. 0，查 2 分布表得0879. 2)9( 2 99. 0 ， 显然)9(0879. 287.10 2 99. 0 2 ，接受 0 H，即熔化时间的方差大于 100 本题如果将检验假设设为 0 H：100 2 ， 1 H：100 2 ， 即进行右侧检验，统计量得选取如上，则该检验法的拒绝域为)1( 22 n 对于01. 0，查 2 分布表得666.21)9( 2 01. 0 ， 显然)9(666.2187.10 2 01. 0 2 ，接受 0 H，即熔化时间的方差不大于 100 注：若选取的显著性水平为3 . 0，用 MATLAB 计算得6564.10)9( 2 3 . 0 ，从而 有)9(6564.1087.10 2 3 . 0 2 ，则应拒绝原假设，即熔化时间的方差大于 100 6 上述结果说明了在观测值接近临界值时， 原假设不同的取法会导致检验结果 的不一样，如果用p值检验法则可避免上述矛盾 8设有两个来自不同正态总体的样本，4m，5n，60. 0x，25. 2y， 07.15 2 1 s，81.10 2 2 s在显著性水平05. 0下，试检验两个样本是否来自 相同方差的总体？ 解：记两正态总体为),( 2 11 N和),( 2 22 N，其中 1 和 2 未知检验假设为 0 H： 2 2 2 1 ， 1 H： 2 2 2 1 取检验统计量为 2 2 2 1 S S F ， 当 0 H为真时，F) 1, 1(nmF，该检验法的拒绝域为 )1, 1( 2/1 nmFF 或)1, 1( 2/ nmFF 由题可知，05. 0，4m，5n，将观测值代入检验统计量得 39. 1 81.10 07.15 2 2 2 1 s s F， 查F分布表得98. 9)4 , 3() 1, 1( 025. 02/1 FnmF ， 066. 0 10.15 1 )3 , 4( 1 )4 , 3() 1, 1( 025. 0 975. 02/ F FnmF 由此知)4 , 3(98. 939. 1066. 0)4 , 3( 025. 0975. 0 FF， 观测值没有落入拒绝域内， 接受 0 H，即两个样本来自相同方差的总体 9某厂的生产管理员认为该厂第一道工序加工完的产品送到第二道工序进行加 工之前的平均等待时间超过 90min现对 100 件产品的随机抽样结果的平均等 待时间为 96min，样本标准差为 30min问抽样的结果是否支持该管理员的看 法？(05. 0) 解：这是非正态总体均值的检验问题，用X表示第一道工序加工完的产品送到 第二道工序进行加工之前的等待时间，设其均值为，依题意，检验假设为 0 H：90， 1 H：90 7 由于100n为大样本，故用U检验法 总体标准差未知，用样本标准差S代替 取检验统计量为 100/ 90 S X U ， 当 0 H为真时，近似地有U) 1 , 0(N，该检验法的拒绝域为 uu 由题可知，96x，30s，100n 对于05. 0，查标准正态分布表得645. 1 05. 0 uu 将观测值代入检验统计量得2 100/30 9096 100/ 90 s x u， 显然， 05. 0 645. 12uu，故拒绝 0 H，即平均等待时间超过 90 分钟，也即 支持该管理员的看法 10一位中学校长在报纸上看到这样的报道： “这一城市的初中学生平均每周看 8h 电视 ” 她认为她所领导的学校， 学生看电视时间明显小于该数字 为此， 她向学校的 100 名初中学生作了调查， 得知平均每周看电视的时间5 . 6xh， 样本标准差为2sh，问是否可以认为校长的看法是对的？(05. 0) 解： 初中生每周看电视的时间不服从正态分布，这是非正态总体均值的假设检验 问题检验假设为 0 H：8， 1 H：8 由于100n为大样本，故用U检验法，取检验统计量为 nS X U / ， 当 0 H为真时，近似地有U) 1 , 0(N，该检验法的拒绝域为 uu 由题可知，5 . 6x，2s，100n 对于05. 0，查标准正态分布表得645. 1 05. 0 uu 将观测值代入检验算统计量得5 . 7 100/2 85 . 6 u， 显然， 05. 0 645. 15 . 7uu，故拒绝 0 H，即初中生平均每周看电视的时 间少于 8 小时，这位校长的看法是对的 8 11已知某种电子元件的使用寿命X(单位：h)服从指数分布)(E抽查 100 个 元件，得样本均值950xh能否认为参数001. 0？(05. 0) 解：X)(E， 1 )(XE， 2 1 )( XD，由中心极限定理知，当n充分大时， 近似地有nX n X U) 1( /1 /1 ) 1 , 0(N 由题可知001. 0 0 ，检验假设可设为 0 H： 0 ， 1 H： 0 取检验统计量为nX n X U) 1( /1 /1 0 0 0 ， 当 0 H为真时，近似地有U) 1 , 0(N，该检验法的拒绝域为 2/ uu 由题知，100n，950x，05. 0， 查标准正态分布表知96. 1 025. 02/ uu 将观测值代入检验统计量得5 . 0u，显然， 025. 0 96. 15 . 0uu，故接受 0 H，即可以认为参数001. 0 12 某地区主管工业的负责人收到一份报告，该报告中说他主管的工厂中执行环 境保护条例的厂家不足 60%，这位负责人认为应不低于 60%，于是他在该 地区众多的工厂中随机抽查了 60 个厂家， 结果发现有 33 家执行了环境保护 条例，那么由他本人的调查结果能否证明那份报告中的说法有问题？ (05. 0) 解：设执行环境保护条例的厂家所占的比率为p，则检验假设为 0 H：6 . 0p， 1 H：6 . 0p， 上述假设等价于 0 H：6 . 0p， 1 H：6 . 0p 引入随机变量 ., 0 , 1 条例抽到的厂家为执行环保 例抽到的厂家执行环保条 X 则X), 1 (pB，pXE)(，)1 ()(ppXD，由中心极限定理，当 0 H为真 9 时，统计量 60/ )6 . 01 (6 . 0 6 . 0 / )1 ( 00 0 X npp pX U近似地服从) 1 , 0(N 对于显著性水平05. 0，查标准正态分布表得645. 1 05. 0 uu， 由此可知05. 0645. 1 60/ )6 . 01 (6 . 0 6 . 0 X P 以U作为检验统计量，