高等数学上册黄立宏廖基定著复旦大学出版社第六章课后答案.pdfVIP

习题六习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶(2)二阶(3)三阶(4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2 (1)2 ,5xyy yx = = ; 解：由 2 5yx= 得 10yx = 代入方程得 22 102 510xxxx= 故是方程的解. (2)0,3sin4cosyyyxx + = ; 解： 3cos4sin ;3sin4cosyxxyxx=+= + 代入方程得 3sin4cos3sin4cos0xxxx+= . 故是方程的解. 2 (3)20,exyyyyx+= ; 解： 222 2 ee(2)e ,(24)e xxxx yxxxxyxx=+=+=+ 代入方程得 2e0 x . 故不是方程的解. 12 121212 (4)()0,ee. xx yyyyCC +=+ 解： 1212 22 11221122 ee,ee xxxx yCCyCC =+=+ 代入方程得 121212 22 11221211221212 ee()(ee)(ee)0. xxxxxx CCCCCC += 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22 (1)(2 )2,;xy yxyxxyyC=+= 证：方程 22 xxyyC+= 两端对x求导： 220xyxyyy+= 得 2 2 xy y xy = 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2 (2)()20,ln().xyx yxyyyyyxy+= 证：方程 ln()yxy= 两端对x求导： 11 yy xy =+ (*) 得 (1) y y x y = . (*)式两端对x再求导得 222 11 (1)1 y y xxyy += 将 ,y y 代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 22 0 (1),5; x xyCy = = 解：当 0x= 时，y=5.故C=-25 故所求曲线为： 22 25yx= 2 12 00 (2)()e ,0,1. x xx yCC xyy = =+= 解： 2 212 (22)e x yCCC x = + 当x=0 时，y=0 故有 1 0C= . 又当x=0 时， 1y = .故有 2 1C= . 故所求曲线为： 2 e x yx= . 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln0xyyy = ; 解：分离变量,得 d1 d ln y x yyx = 积分得 11 dlnd ln yx yx = lnlnlnlnyxc=+ lnycx= 得 ecxy= . 1 (2); 1 y y x = 解：分离变量，得 dd 11 yx yx = 积分得 dd 11 yx yx = 得通解： 2 12 1.yxc= + (3)(ee )d(ee )d0 x yxx yy xy + += ; 解：分离变量，得 ee dd 1 e1 e yy yx yx= + 积分得 ln(e1)ln(e1)ln yx c=+ 得通解为 (e1)(e1) xy c+= . (4)cos sin dsincos d0xy xxy y+= ; 解：分离变量，得 coscos dd0 sinsin xy xy xy += 积分得 lnsinlnsinlnyxc+= 得通解为 sinsin.yxc= (5)yxy = ; 解：分离变量，得 d d y x x y = 积分得 2 1 1 ln 2 yxc=+ 得通解为 2 1 1 2 e(e ) x c ycc= (6)210xy+ += ; 解： 21yx = 积分得 ( 21)dyxx= 得通解为 2 yxxc= + . 32 (7)4230xxy y+= ; 解：分离变量，得 23 3d(42 )dyyxxx=+ 积分得 342 yxxc=+ 即为通解. (8)ex yy + = . 解：分离变量，得 e de d yx yx = 积分得 e de d yx yx = 得通解为： ee yx c =+ . 6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： 2 0 (1)e,0 x y x yy = = = ; 解：分离变量，得 2 e de d yx yx= 积分得 2 1 ee 2 yx c=+ . 以 0,0xy= 代入上式得 1 2 c= 故方程特解为 2 1 e(e1) 2 yx =+ . 2 (2)sinln ,e x yxyyy = = . 解：分离变量，得 dd lnsin yx yyx = 积分得 tan 2 e x c y = 将 ,e 2 xy= 代入上式得 1c= 故所求特解为 tan 2 e x y= . 7. 求下列齐次方程的通解： 22 (1)0xyyyx = ; 解： 2 d 1 d yyy xxx =+ 令 dd dd yyu uux xxx =+ 原方程变为 2 dd 1 ux x u = 两端积分得 2 ln(1)lnlnuuxc+=+ 2 2 1 1 uucx yy cx xx + = + = 即通解为： 222 yyxcx+= d (2)ln d yy xy xx = ; 解： d ln d yyy xxx = 令 y u x = ，则 dd dd yu ux xx =+ 原方程变为 dd (ln1) ux uux = 积分得 ln(ln1)lnlnuxc=+ ln1 ln1 ucx y cx x = = 即方程通解为 1 ecxyx + = 22 (3)()dd0xyxxy x+= 解： 2 22 1 d d y yxy x y xxy x + + = 令 y u x = ，则 dd dd yu ux xx =+ 原方程变为 2 d1 d uu ux xu + += 即 d1d ,d d ux xu u xux = 积分得 2 1 1 lnln 2 uxc=+ 2 1 2 2ln2ln y xc x =+ 故方程通解为 2222 1 ln()()yxcxcc= 332 (4)()d3d0xyxxyy+= ; 解： 3 33 22 1 d d3 3 y yxy x xxy y x + + = 令 y u x = ,则 dd dd yu ux xx =+ 原方程变为 3 2 d1 d3 uu ux xu + += 即 2 3 3d d 1 2 ux u ux = 积分得 3 1 1 ln(21)lnln 2 uxc=+ 以 y x 代替u，并整理得方程通解为 33 2yxcx= . d (5) d yxy xxy + = ; 解： 1 d d 1 y y x y x x + = 令 y u x = ， 则 dd dd yu ux xx =+ 原方程变为 d1 d1 uu ux xu + += 分离变量,得 2 11 dd 1 u ux ux = + 积分得 2 1 1 arctanln(1)lnln 2 uuxc+=+ 以 y x 代替u，并整理得方程通解为到 2arctan 22 2 1 1 e.() y x xycc c += 22 (6) y y xxy = + 解： 2 d d 11 y y x x y x = + 即 2 d 1 d xxx yyy =+ 令 x v y = ， 则 dd , dd xv xyvvy yy =+ , 原方程可变为 2 d 1 d v vyvv y +=+ 即 2 d 1 d v yv y =+ 分离变量，得 2 dd 1 vy y v = + 积分得 2 ln(1)lnlnvvyc+= . 即 2 1 y vv c += 2 2 2 2 1 2 1 y vv c yyv cc =+ = 以 yvx= 代入上式，得 2 2 2 c y c x =+ 即方程通解为 22 2ycxc=+ . 8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解： 22 0 (1)(3)d2d0,1 x yxyxy xy = += ; 解： 2 2 d d 3 y y x x y x = 令 yux= ，则得 2 d2 d3 uu ux xu += 分离变量，得 2 3 3d d ux u uux = 积分得 3lnln(1)ln(1)lnuuucx+= 即 2 3 1 lnln u c u x = 得方程通解为 223 yxcy= 以x=0，y=1 代入上式得c=1. 故所求特解为 223 yxy= . 1 (2),2 x xy yy yx = = += . 解：设 yux= ，则 dd dd yu ux xx =+ 原方程可变为 d d x u u x = 积分得 2 1 lnln 2 uxc=+ . 得方程通解为 22 2(lnln )yxxc=+ 以x=1，y=2 代入上式得c=e2. 故所求特解为 22 2(ln2)yxx=+ . 9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解： (1)(253)d(246)d0xyxxyy+= 解：设 1,1xXyY=+=+ ，则原方程化为 25 d25 d24 24 Y YXY X Y XXY X = + + 令 d25 d24 Yuu uuX XXu =+= + 2 42d d 472X uX u uu + = + 2 2 2 2 2 1 1(87)3 lnd 2472 13d ln(472) 22472 1114 ln(472)d 26241 1141 ln(472)lnln 262 u Xu uu u uu uu uuu uu u uuc u + = + = + + = + + = + + 26 221 623 2 642 2 32 332 41 6ln3ln(472)lnln() 2 41 (472) 2 (41) (2) (41) (2),() u Xuuccc u u Xuuc u Xuuc Xuuccc += + += + += += 代回并整理得 2 3 (43) (23),()yxyxccc+= . (2)(1)d(41)d0;xyxyxy+= 解： d1 d41 yxy xyx = + 作变量替换，令 1,0xXyYY=+=+= 原方程化为 1 d d4 14 Y YXY X Y XXY X = = + + 令Y uX= ,则得 2 d1d14 d14d14 uuuu uXX XuXu + += = + 分离变量，得 2 14d d 14 uX u ux + = + 积分得 2 22 2 11d(14) lnd 14214 11 arctan2ln(14) 22 u Xu uu uuc + = + =+ 即 2 2lnln(14)arctan2Xuuc+= 22 ln(14)arctan2Xuuc+= 代回并整理得 22 2 ln4(1) arctan. 1 y yxc x += (3)()d(334)d0xyxxyy+= ; 解：作变量替换 ,vxy=+ 则 dd 1 dd yv xx = 原方程化为 d 1 d34 vv xv = 1 1 d2(2) d34 34 dd 2(2) 31 ddd 22 3 ln(2) 2 32ln(2)2,(2 ) vv xv v vx v vvx v vvxc vvxccc = = += +=+ +=+= 代回并整理得 32ln(2).xyxyc+= d1 (4)1 d y xxy =+ . 解：令 ,uxy= 则 dd 1 dd uy xx = 原方程可化为 d1 d u xu = 分离变量，得 ddu ux= 积分得 2 1 1 2 uxc= + 2 1 22uxc= + 故原方程通解为 2 1 ()2.(2 )xyxccc= += 10. 求下列线性微分方程的通解： (1)e x yy + = ; 解：由通解公式 d d eeee de () eed x x xxxx x yxcxc xc =+=+ + 2 (2)32xyyxx + =+ ； 解：方程可化为 12 3yyx xx + =+ + 由通解公式得 1 1 d d 2 2 e (3) ed 12 (3)d 13 2. 32 x x x x y xxc x xx xc xx c xx x = + + =+ + =+ sin (3)cose; x yyx + = 解： cos d cos d sin sin ee(). eed x x x x x x yxc xc =+ + (4)44yxyx = + ; 解： 22( 4 )d ( 4 )d 22 ee4 ed 4 ed xx xx xx yxxc xxc =+ + () 222 222 eee1 xxx cc =+= . 3 (5)(2)2(2)xyyx=+ ; 解：方程可化为 2 d1 2() d2 y yxx xx = 1 1 d d 2 2 2 ln(2)2ln(2) 3 e 2(2) ed e2(2) ed (2)2(2)d (2)(2) x x x x xx y xxc xxc xxxc xc x = + =+ =+ =+ 22 (6)(1)24.xyxyx+= 解：方程可化为 2 22 24 11 xx yy xx + = + 2 2 2 2 2 2 d d 1 1 2 3 ln(1)2 2 4 e ed 1 4 e4d 3(1) x x x x x x x x y xc x xc xxc x + + + = + + + =+= + 11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解： d11 (1)sin ,1 d x y yxy xxx = += ; 解： 1 1 d d11 sin esin dcos ed x x x x x yx xccx xc xx x =+= + 以 ,1xy= 代入上式得 1c= ， 故所求特解为 1 (1 cos )yx x = . 2 31 1 (2)(23)1,0 x yxyy x = + = . 解： 2 2 3 23 d3ln x xxxc x = + 2 2 22 3 3 2 3 d2 3 +3lnd3ln eeed ed x xx xxxxx x xyxc xc =+ + 2 22 33 11 e.ee 22 xxx xxcc =+ 以x=1,y=0 代入上式，得 1 2e c= . 故所求特解为 2 3 11 e 22e x yx = . 12. 求下列伯努利方程的通解： 2 (1)(cossin );yyyxx + = 解：令 1 21 zyy = ，则有 dd (12)(12)(cossin )sincos dd zz zxxzxx xx += ( 1)d ( 1)d e (sincos )ed ee(sincos )desin x x xxx z xxxc xxxccx = + =+= 1 esin x cx y = 即为原方程通解. 4 11 (2)(12 ) 33 yyx y + = . 解：令 3 d 21 d z zyzx x = . d d e21e (21)ed x x x zxc xxc = + + 3( e 21)1 x y cx= 即为原方程通解. 13. 求下列各微分方程的通解： (1)sinyxx = + ; 解：方程两边连续积分两次得 2 1 3 12 1 cos 2 1 sin 6 yxxc yxxc xc = + =+ (2)exyx = ; 解：积分得 1 e dee xxx yxxxc = =+ 112 2 12123 ( ee)de2e 1 ( e2e)d(3)e 2 xxxx xxx yxcxxc xc yxc xcxxc xc xc = +=+ =+=+ (3)yyx=+ ; 解：令 py= ,则原方程变为 d d 1 1 ,ee1 ed x x x ppxppxpcx xxc =+= + 故 2 112 1 ( e1)de 2 xx ycxxcxxc=+ . 3 (4)()yyy=+ ; 解：设 yp = ， 则 d d p yp y = 原方程可化为 3 d d p ppp y =+ 即 2 d (1)0 d p pp y += 由p=0 知y=c，这是原方程的一个解. 当 0p 时， 2 2 dd 1d d1 pp py yp = += + 1 12 1 arctan d lnsin() tan() pyc y xycc yc = = 2 212 arcsin( e )(e ) cx yccc =+= 1 (5);y x = 解： 1 1 dlnyxc x x =+ 112 1211 (ln)dln ln( 1) ycxxxc xc xx xc xccc x =+=+ =+= + 2 1 (6) 1 y x = ; 解： 1 2 1 darcsin 1 yxxc x = =+ 2 112 (arcsin)darcsin1.yxcxxxxc xc=+=+ (7)0xyy+= ; 解：令 yp = ,则得 1dd 00 px pp xpx + =+= 1 lnlnlnpxc+= 得 1 c p x = 故 1 12 dln c yxcc x x =+ . 3 (8)10y y = . 解：令 py= ，则 d d p yp y = . 原方程可化为 33 d 10, dd d p y pp pyy y = 2222 1 1 22 11 2 112 222 112112 11 222 dd dd 1 2122 11() . c pypyc yy y xx cyc y c yc xc c yc xcc yc xc = += + = = =+ =+ =+ 14.求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： 3 11 (1)10,1,0 xx y yyy = + = ; 解：令 yp = ，则 d d p yp y = , 原方程可化为 3 3 d1 1dd d p ypp py yy = = 22 1 2 1 2 111 222 1 pyc pc y =+ =+ 由 1,1,0xyyp= 知， 1 1c= ，从而有 2 2 2 2 1 dd 1 1 y yp y y yx y yxc = = = = + 由 1,1xy= ,得 2 1c= 故 22 2xyx+= 或 2 2yxx= . 2 11 (2)1,0,1 xx x yxyyy = += ; 解：令 yp = ，则 yp= . 原方程可化为 2 11 pp xx + = 1 1 d d 1 1 2 1 1 e(ln) ed x x x x pxc xc x x =+ + 则 1 1 (ln)yxc x = + 以 1,1xy= 代入上式得 1 1c= 则 1 (ln1)yx x = + 2 2 1 lnln 2 yxxc=+ 当x=1 时，y=0 代入得 2 0c= 故所求特解为 2 1 lnln 2 yxx=+ . 200 1 (3),0 1 xx yyy x = = + ; 解： 1 arctanyxc = + 当 0,0xy= ，得 1 0c= 2 2 2 arctan darctand 1 1 arctanln(1) 2 x yx xxxx x xxxc = + =+ 以x=0,y=0 代入上式得 2 0c= 故所求特解为 2 1 arctanln(1) 2 yxxx=+ . 2 00 (4)1,1,0 xx yyyy = =+= ; 解：令 py= ，则 py= . 原方程可化为 2 1pp = + 2 1 1 d d 1 arctan tan() p x p pxc ypxc = + =+ = =+ 以 0,0xy= 代入上式得 1 ck= . 2 tan()dln cos()yxkxcxk=+= + 以x=0,y=1 代入上式得 2 1c= 故所求特解为 ln1cos()yxk= + 2 00 (5)e ,0 y xx yyy = = ; 解：令 yp = ，则 d d p yp y = . 原方程可化为 2 d e d y p p y = 即 2 de d y p py= 积分得 22 1 111 e 222 y pc=+ 22 1 e y pc=+ 以 0,0xyy= 代入上式得 1 1c= , 则 2 e1 y py= 2 2 d d e1 arcsine y y y x xc = =+ 以x=0,y=0 代入得 2 2 c= ， 故所求特解为 arcsine 2 y x =+ 即 esincos 2 y xx = .即 lnsecyx= . 00 (6)3,1,2 xx yy yy = = . 解：令 d , d p yp yp y = 原方程可化为 1 2 d 3 d p py y = 1 2 3 2 2 1 d3d 1 2 2 p pyy pyc = =+ 以 0,2,1xypy= 代入得 1 0c= 故 3 4 2ypy = = 由于 30yy = .故 3 4 2yy = ，即 3 4 d 2d y x y = 积分得 1 4 2 42yxc=+ 以x=0,y=1 代入得 2 4c= 故所求特解为 4 1 1 2 yx =+ . 15. 求下列微分方程的通解： (1)20yyy+= ; 解：特征方程为 2 20rr+= 解得 12 1,2rr= 故原方程通解为 2 12 ee. xx ycc =+ (2)0yy + = ; 解：特征方程为 2 10r+ = 解得 1,2 ri= 故原方程通解为 12 cossinycxcx=+ 2 2 dd (3)420250 dd xx x tt += ; 解：特征方程为 2 420250rr+= 解得 12 5 2 rr= 故原方程通解为 5 2 12 ()e t xcc t=+ . (4)450yyy+= ; 解：特征方程为 2 450rr+= 解得 1,2 2ri= 故原方程通解为 2 12 e (cossin ) x ycxcx=+ . (5)440yyy+= ; 解：特征方程为 2 440rr+= 解得 12 2rr= 故原方程通解为 2 12 e() x ycc x =+ (6)320yyy+= . 解：特征方程为 2 320rr+= 解得 1,2rr= 故原方程通解为 2 12 ee xx ycc=+ . 16. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： 00 (1)430,6,10 xx yyyyy = += ; 解：特征方程为 2 430rr+= 解得 12 1,3rr= 通解为 3 12 ee xx ycc=+ 3 12 e3 e xx ycc = + 由初始条件得 121 122 64 3102 ccc ccc += += 故方程所求特解为 3 4e2e xx y=+ . 00 (2)440,2,0; xx yyyyy = += 解：特征方程为 2 4410rr+ = 解得 12 1 2 rr= 通解为 1 2 12 ()e x ycc x =+ 2 212 1 e 22 x x yccc = 由初始条件得 1 1 221 2 2 1 10 2 c c ccc = = = 故方程所求特解为 1 2 (2)e x yx =+ . 00 (3)4290,0,15; xx yyyyy = += 解：特征方程为 2 4290rr+= 解得 1,2 25ri= 通解为 2 12 e(cos5sin5 ) x ycxcx =+ 2 2112 e(52 )cos5( 52)sin5 x yccxccx = + 由初始条件得 11 212 00 52153 cc ccc = = 故方程所求特解为 2 3esin5 x yx = . 00 (4)250,2,5 xx yyyy = += . 解：特征方程为 2 250r+= 解得 1,2 5ri= 通解为 12 cos5sin5ycxcx=+ 12 5sin55cos5ycxcx = + 由初始条件得 11 22 22 551 cc cc = = 故方程所求特解为 2cos5sin5yxx=+ . 17. 求下各微分方程的通解： (1)22exyyy+= ; 解： 2 210rr+ = 12 1 1, 2 rr= = 得相应齐次方程的通解为 1 2 12 ee x x ycc =+ 令特解为 * exyA= ,代入原方程得 2 eee2e xxxx AAA+= , 解得 1A= ,故 * exy= , 故原方程通解为 2 12 eee x xx ycc =+ . 2 (2)25521yyxx+= ; 解： 2 250rr+= 12 5 0, 2 rr= 对应齐次方程通解为 5 2 12e x ycc =+ 令 *2 ()yx axbxc=+ , 代入原方程得 22 2(62 )5(32)521axbaxbxcxx+= 比较等式两边系数得 137 , 3525 abc= = 则 *32 137 3525 yxxx=+ 故方程所求通解为 5 32 2 12 137 e 3525 x yccxxx =+ . (3)323 e x yyyx += ; 解： 2 320rr+= 12 1,2rr= = , 对应齐次方程通解为 2 12 ee xx ycc =+ 令 * ()e x yx AxB =+ 代入原方程得 (22 )e3 e xx AxBAx += 解得 3 ,3 2 AB= 则 *2 3 e3 2 x yxx = 故所求通解为 2 2 12 3 eee3 2 xxx yccxx =+ . (4)25e sin2 x yyyx+= ; 解： 2 250rr+= 1,2 12ri= 相应齐次方程的通解为 12 e (cos2sin2 ) x ycxcx=+ 令 * e (cos2sin2 ) x yxAxBx=+ ，代入原方程并整理得 4 cos24 sin2sin2BxAxx= 得 1 ,0 4 AB= = 则 * 1 e cos2 4 x yxx= 故所求通解