高等数学曲线积分与曲面积分习题课非常有用.pdf

一、主要内容 二、典型例题 一、主要内容 二、典型例题 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 2/28 2/28 （一）曲线积分与曲面积分（一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系 （三）场论初步（三）场论初步 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 3/28 3/28 曲线积分曲线积分 曲线积分曲线积分 曲面积分曲面积分 曲面积分曲面积分 对面积的 曲面积分 对面积的 曲面积分 对面积的 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定义定义 定义定义 计算计算 计算计算 定义定义 定义定义 计算计算 计算计算 联系联系联系联系 联系联系联系联系 （一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 4/28 4/28 曲 线 积 分曲 线 积 分 对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分 定 义 定 义 = = = n i iii L sfdsyxf 1 0 ),(lim),( + + L dyyxQdxyxP),(),( ),(),(lim 1 0 iii n i iii yQxP+=+= = = 联 系 联 系 dsQPQdyPdx LL )coscos( +=+=+ 计 算 计 算 + = + =dtf dsyxf L 22 , ),( 三代一定 )( + = + + = + dtQP QdyPdx L ),(),( 二代一定 (与方向有关) 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 5/28 5/28 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条 件 条 件 在单连通开区域在单连通开区域D上上),(),(yxQyxP具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. 具有 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立. + + L QdyPdxD与路径无关内在与路径无关内在)1( =+=+ C DCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2( QdyPdxduyxUD+ += =使内存在在使内存在在),()3( x Q y P D = = ,)4(内在 内在 等 价 命 题 等 价 命 题 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 6/28 6/28 曲 面 积 分曲 面 积 分 对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分 定 义 定 义 = = = n i iiii sfdszyxf 1 0 ),(lim),( xyi n i iii SRdxdyzyxR)( ),(lim),( 1 0 = = = 联 系 联 系 +RdxdyQdzdxPdydz 计 算 计 算 一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关) +=+=dSRQP)coscoscos( dszyxf),( +=+= xy D yx dxdyzzyxzyxf 22 1),(, dxdyzyxR),( = xy D dxdyyxzyxR),(, 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 7/28 7/28 定积分定积分曲线积分曲线积分 重积分重积分曲面积分曲面积分 计算 计算 计算 计算 计算 计算 Green公式公式 Stokes公式公式 Guass公式公式 （二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 8/28 8/28 点函数点函数)(,)(lim)( 1 0 MfMfdMf n i i = = = .)()( , 1 = = b a dxxfdMf baR 时上区间当时上区间当 .),()( , 2 = = D dyxfdMf DR 时上区域当时上区域当 积分概念的联系积分概念的联系 定积分定积分 二重积分二重积分 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 9/28 9/28 = = dVzyxfdMf R ),()( , 3 时上区域当时上区域当 .),()( , 3 = = dszyxfdMf R 时上空间曲线当时上空间曲线当 .),()( , 3 = = S dSzyxfdMf SR 时上曲面当时上曲面当曲面积分曲面积分 曲线积分曲线积分 三重积分三重积分 .),()( , 2 = = L dsyxfdMf LR 时上平面曲线当时上平面曲线当 曲线积分曲线积分 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 10/28 10/28 计算上的联系计算上的联系 )( ,),(),( )( )( 2 1 面元素=面元素= ddxdyyxfdyxf b a xy xy D )( ,),(),( )( )( ),( ),( 2 1 2 1 体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxf b a xy xy yxz yxz = = +=+= b aL dsdxyxyxfdsyxf)( ,1)(,),( 2 曲线元素 曲线元素 = = b aL dxdxxyxfdxyxf)( ,)(,),(投影线元素 投影线元素 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 11/28 11/28 +=+= xy D yx dxdyzzyxzyxfdszyxf 22 1),(,),( = = xy D dxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),( 其中其中 dsRQP dxdyRQdzdxPdydz )coscoscos( += + += + dsQPQdyPdx L )coscos(+=+=+ )(曲面元素 曲面元素ds )(投影面元素 投影面元素dxdy 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 12/28 12/28 理论上的联系理论上的联系 1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系 )()()()()(xfxFaFbFdxxf b a = 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系 )()(的正向沿 的正向沿LQdyPdxdxdy y P x Q L D += += 格林公式格林公式 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 13/28 13/28 3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 += += + + + + RdxdyQdzdxPdydzdv z R y Q x P )( 高斯公式高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()( + + + + +=+=RdzQdyPdx 斯托克斯公式斯托克斯公式 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 14/28 14/28 = D L dxdykArotsdA)( rr r r = D L dxdyAdivdsnA r r r )( Green公式公式,Guass公式公式,Stokes公式之 间的关系 公式之 间的关系 =dSnArotdSA)( r r = + = + RQP zyx dxdydzdxdydz RdzQdyPdx =dvAdivdsnA r r r )( dv z R y Q x P RdxdyQdzdxPdydz )( + + = + + + = + =+=+ D L dxdy y P x Q QdyPdx)( + + =+=+ D L dxdy y Q x P PdyQdx)( 或 推广推广 为平面向量场为平面向量场)(MA r 为空间向量场为空间向量场)(MA r 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 15/28 15/28 梯度梯度k z u j y u i x u gradu rrr + + + + = = 通量通量 旋度旋度 环流量环流量 z R y Q x P Adiv + + + + = = r +=+=RdxdyQdzdxPdydz k y P x Q j x R z P i z Q y R Arot rrrr )()()( + + + + = = +=+=RdzQdyPdx 散度散度 （三）场论初步（三）场论初步 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 16/28 16/28 例 1 计算例 1 计算 +=+= L dyyxdxxyxI)()2( 422 , 其中 , 其中L为由点为由点)0 , 0(O到点到点)1 , 1(A的曲线的曲线xy 2 sin = =. . 思路思路: +=+= L QdyPdxI x Q y P x Q y P = = 0 =+=+= L QdyPdxI +=+= ),( ),( 00 yx yx QdyPdxI 闭合 非闭 闭合 非闭闭合闭合 = = D dxdy y P x Q I)( 非闭非闭 补充曲线或用公式补充曲线或用公式 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 17/28 17/28 解解 xxyx yy P 2)2( 2 =+ =+ = 知= 知 xyx xx Q 2)( 42 =+=+ = = , x Q y P = 即= 即 +=+= 1 0 4 1 0 2 )1(dyydxx故原式故原式. 15 23 = = x y o 1 1 A +=+=dyyxdxxyxI)()2( 422 由由 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 18/28 18/28 例 2 计算例 2 计算 +=+= L xx dymyedxmyyeI)cos()sin(, 其中 , 其中L为由点为由点)0 ,(a到点到点)0 , 0(的上半圆周的上半圆周 0, 22 =+=+yaxyx. . 解解myemyye yy P xx = = = = cos)sin(Q yemye xx Q xx cos)cos(= = = x Q y P 即即(如下图)(如下图) 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 19/28 19/28 x y o )0 ,(aA M dxdy y P x Q D AMOA = =)( = = D dxdym , 8 2 a m = 0)(0 0 +=+= medx x a AO , 0= = 0 8 2 =a m . 8 2 a m = = + +AMOAAOAOAOL I = AMOAAO I 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 20/28 20/28 曲面面积的计算法曲面面积的计算法 S Dxy ),(yxfz = = x y o z = =dSS +=+= xy D yx dxdyzz 22 1 dsyxfS BAL = = ),( ),( dxyyxf b a +=+= 2 1),( z x o y ),(yxfz = = s L A B a b 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 21/28 21/28 曲顶柱体的表面积曲顶柱体的表面积 + += + += L D yx dsyxf dffS ),( )11( 22 x z y o ),(yxfz = = L D 如图曲顶柱体，如图曲顶柱体， 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 22/28 22/28 例 3 求柱面例 3 求柱面1 3 2 3 2 =+=+ yx在球面在球面1 222 =+=+zyx内 的侧面积. 内 的侧面积. 解解由对称性由对称性 = = = = L L dsyx zdsS 22 1 8 , 1: 3 2 3 2 =+=+ yxLQ) 2 0( ,sin ,cos 3 3 = = = = t ty tx 参数方程为参数方程为 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 23/28 23/28 ,cossin3)()( 22 tdttdtyxds tt =+=+= tdttttScossin3sincos18 2 0 66 = tdttttcossincossin324 2 0 22 = = = = 2 0 22 cossin324tdtt. 2 33 = 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 24/28 24/28 在第一卦限部分的上侧为平面 为连续函数其中 计算 在第一卦限部分的上侧为平面 为连续函数其中 计算 1 ,),(,),( ),(2),( =+ + += =+ + += zyx zyxfdxdyzzyxf dzdxyzyxfdydzxzyxfI 例例 x y o z 1 1 1 解解利用两类曲面积分之间的关系利用两类曲面积分之间的关系 ,1 , 1, 1 = = n r Q的法向量为的法向量为 . 3 1 cos, 3 1 cos, 3 1 cos= 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 25/28 25/28 dszzyxfdzdxyzyxf dydzxzyxfI ),( 3 1 ),(2 3 1 ),( 3 1 + += + += +=+=dszyx)( 3 1 = xy D dxdy31 3 1 . 2 1 = = 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 26/28 26/28 向量点积法向量点积法 ,1,),(: yx ffyxfz=法向量为设=法向量为设 +=+=RdxdyQdzdxPdydzI dxdyffRQP yx 1 , = =dsnA 0 r r , =dxdydzdxdydzRQP .1,dxdyffRQPxoy yx 面投影在将面投影在将 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 27/28 27/28 所截部分的外侧被平面锥面 为其中计算 所截部分的外侧被平面锥面 为其中计算 2, 1 , 22 2 =+= += =+= += zzyxz dxdyzxdzdxydydzI 例例 解解 , , 22 22 yx y f yx x f y x + = + = + = + =Q D 利用向量点积法利用向量点积法 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 28/28 28/28 = 2 1 2 2 0 rdrrd. 2 15 = = =dxdyz 2 +=+= xy D dxdyyx)( 22 dxdy yx y yx x zxyI + + = + + =1 , 2222 2 41: 22 + + yxDxy 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 29/28 29/28 例 6 计算曲面积分例 6 计算曲面积分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18( 2 +=+= , 其中 , 其中 是由曲线是由曲线 )31( 0 1 = = = = y x yz 绕绕y轴旋转一周 所成的曲面,它的法向量与 轴旋转一周 所成的曲面,它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于 2 . . 解解 22 1 0 1 xzy y x yz += = += = = 轴旋转面方程为绕 = 轴旋转面方程为绕 (如下图)(如下图) 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 30/28 30/28 x y z o13 2 * + + = * I且有且有 dxdydz z R y Q x P )( * + + + =+ = + + yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18( 2 +=+= 欲求欲求 +=+=dxdydzyyy)4418( = =dv + = = xz D xz dydxdz 3 1 22 + + = 3 1 2 0 2 0 2 dydd 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 31/28 31/28 = 2 0 3 )2(2d ,2 = = = * 2 )31(2dzdx,32 = = )32(2 = =I故故.34 = = 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 32/28 32/28 一、 选择题: 1、 设 一、 选择题: 1、 设L为为 2 3 0, 0 =yxx,则,则 L ds4的值为( ). (A) 的值为( ). (A) 0 4x ， (B)， (B) ,6 (C) (C) 0 6x . 2、 设 . 2、 设L为直线为直线 0 yy =上从点=上从点),0( 0 yA到点到点),3( 0 yB的 有向直线段,则 的 有向直线段,则 L dy2=( ). (A)6; (B) =( ). (A)6; (B) 0 6y ; (C)0. 3、 若 ; (C)0. 3、 若L是上半椭圆是上半椭圆 = = = = ,sin ,cos tby tax 取顺时针方向,则 取顺时针方向,则 L xdyydx的值为( ). (A)0; (B) 的值为( ). (A)0; (B)ab 2 ; (C); (C)ab . . 测验题测验题 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 33/28 33/28 4、设4、设),(,),(yxQyxP在单连通区域在单连通区域D内有一阶连续 偏导数,则在 内有一阶连续 偏导数,则在D内与内与 + + L QdyPdx路径无关的条件 路径无关的条件 Dyx y P x Q = = ),(,是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设 是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件. 5、设 为球面为球面1 222 =+=+zyx, , 1 为其上半球面,则 ( )式正确. (A) 为其上半球面,则 ( )式正确. (A) = = 1 2zdszds; (B) ; (B) = = 1 2zdxdyzdxdy; (C) ; (C) = = 1 22 2dxdyzdxdyz. . 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 34/28 34/28 6、若6、若 为为)(2 22 yxz+ + = =在在xoy面上方部分的曲面 , 则 面上方部分的曲面 , 则 ds等于( ). (A) 等于( ). (A) + r rdrrd 0 2 2 0 41 ;(B);(B) + 2 0 2 2 0 41rdrrd ; (C) ; (C) + 2 0 2 2 0 41rdrrd . 7、若 . 7、若 为球面为球面 2222 Rzyx=+=+的外侧,则 的外侧,则 zdxdyyx 22 等于( ). (A) 等于( ). (A) xy D dxdyyxRyx 22222 ; (B) 2 ; (B) 2 xy D dxdyyxRyx 22222 ; (C) 0 .; (C) 0 . 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 35/28 35/28 8、曲面积分8、曲面积分 dxdyz 2 在数值上等于( ). (A) 向量 在数值上等于( ). (A) 向量iz 2 穿过曲面穿过曲面 的流量； (B) 面密度为 的流量； (B) 面密度为 2 z的曲面的曲面 的质量； (C) 向量 的质量； (C) 向量kz 2 穿过曲面穿过曲面 的流量 . 9、设 的流量 . 9、设 是球面是球面 2222 Rzyx= =+ + +的外侧,的外侧, xy D是是xoy面 上的圆域 面 上的圆域 222 Ryx+,下述等式正确的是( ). (A) +,下述等式正确的是( ). (A) = xy D dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ； (B) ； (B) +=+=+ xy D dxdyyxdxdyyx)()( 2222 ； (C) ； (C) = xy D dxdyyxRzdxdy 222 2. . 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 36/28 36/28 10、若10、若 是空间区域是空间区域 的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A) 的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A) + 外侧外侧 dxdyyzdydzx)2( 2 = = + +dxdydzx)22(； (B) ； (B) + 外侧外侧 zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)( = = +dxdydzxx)123( 22 ； (C) ； (C) + 内侧内侧 dxdyyzdydzx)2( 2 = = + +dxdydzx)12(. . 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 37/28 37/28 二、计算下列各题: 1、求 二、计算下列各题: 1、求 zds ,其中为曲线,其中为曲线 = = = = = = , ,sin ,cos tz tty ttx )0( 0 tt ； 2、求 ； 2、求 + L xx dyyedxyye)2cos()2sin(,其中,其中L为上 半圆周 为上 半圆周 222 )(ayax=+=+, ,0 y,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题: 1、求 ,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题: 1、求 + 222 zyx ds 其中其中 是界于平面是界于平面Hzz= 及 = 及0 之间的圆柱面 之间的圆柱面 222 Ryx=+；=+； 高等数学十高等数学十高等数学高等数学高等数学高等数学十十十十 38/28 38/28 2、 求2、 求 +dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()( 222