不等式的性质与不等式证明.ppt

1不等式的定义： 若 ； ； 2不等式的性质： 推论：若ab，且cd，则a+cb+d（同向，可加性） （1） （对称性） （2） （传递性） （3） （加法不变性） （4） ； （乘法单调性） 3不等式的证明的方法： 比较法、综合分析法、反证法、数学归纳法等 推论1：若ab0，且cd0，则acbd 推论2：若ab0，则 （ ，且 n1） 推论3：若ab0，则 （ ，且 n1） 1理解不等式的性质，能够对性质进行证明 4能根据不等式的性质判定一些命题或已知不等式的正确 错误，能正确使用特殊值法，判断不等式的正误 3掌握证明不等式的几种基本方法，会证明一些简单的不 等式 2掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它 们的几何平均数的定理，并会简单的应用 如果a、b、c满足cba且ac0，那么下列选项 中不一定成立的是（ ） 1（04北京） Dac(ac)0 Bc(ba)0Aabac C c(ba)0正确 分析： ac0说明a、c异号，又cba a0，c0 Abc，a0 abac正确Bc0，ba0 D中ac0，ac0 ac(ac) 0正确，只有C中 ba，由于b未说明是否大于零 不一定成立c0， 则 也不一定成立 选（C） 设a0，b0，则下列不等式中不恒成立的是（ ） 2（04湖南） B CD A a0，b0 分析：， （A）成立 则 又 ， （C）成立 又 时， ， ， 两边平方得 显然成立（D）成立 在（B）中， 若ab，则ab0 应恒成立 但从上式看出，a与b之间尚有制约性 选（B） 3（04湖北） A 若 ，则下列不等式中不正确的是（ ） D C B 分析： 0ba1 ， A，B显然成立 ba1， ，则成立 若令 检验，D不成立 选（D） 若 ab0，则下列结论中正确的命题是（ ） 4（99上海） A 和 均不能成立 B 和 均不能成立 C 和 均不能成立 D 和 均不能成立 分析：ab0 ，各A、B、D中的 不能成立 又b0，b0aba 又ab0， （C）中 不成立 又ab0， 则 成立 对于 若成立，则abb0 a2b0这个结论不一定成立， 因此，只有（B）中两个结论均不成立 选（B） 设 a，b为实数，则 ab0 是 （ ） 5（01上海春） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D不充分也不必要条件 分析： 有条件ab0，可推出 ， 但从 不一定能推出ab0，只能是 条件ab0只能定 的充分不必要条件 选（A） 1注意不等式的性质中左侧表示实数的运算 性质，右式反映的是实数的大小顺序，合 起来即为实数运算性质与大小顺序之间的 关系这是不等式一章的理论基础，是不等 式性质的证明，证明不等式和解不等式的主 要依据 2比较两个实数a与b的大小，归结为判断它 们的差ab的符号，这又必然归结到实数 运算的符号法则因此，实数运算的符号 法则是学习不等式的基础 3复习不等式的性质时，要注意将不等式 的性质与等式的性质类比注意它们之 间的区别，主要表现在与数相乘（除） 时，不等式两边所乘（除）的数的符号 不同，结论是不同的 4在均值不等式的复习中， 与 成立的条件是不同的前 者只要求a，b为实数，而后者要求a，b 为正数，这两个公式都是带有符号的不 等式因此对其中“当且仅当时取 号”这句话的含义要搞清楚 5能利用“均值不等式”证明的不等式，用 其它证明方法一样可证因此，均值不 等式就是利用这些方法证明的，要利用 均值不等式求函数的极值时，一定要注 意不等式使用的条件及等号能否成立， 不可乱用 6不等式证明的方法很多，要注意恰当选 择方法，可使证明简化 例1已知 比较A、B、C、D的大小 分析： 本题考查两个实数的大小，如果两个两个相比较，需 比较 次，运算量比较大由于给定 ，所以可令 采用特殊值办法，先猜出大小， 再证 解： ，令 由此知 可猜测CABD CA AB BD 综上：CABD 本题我们采用了赋值法（特 殊值法），先行猜想，使问题得 以简化、明朗注意赋值法是解 选择题、开放题等常用的方法， 它可将复杂问题简单化，是我们 常用的数学思想 例2设 ，且 ，试比较 与 的大小 分析： 比较两个数的大小，可用“作差比较法”、“作商比较法” 前者依靠 AB 与 0 的关系判断 A，B 大小，而后者则靠 （b0）与 1 的关系来确定 a，b大小，前者适用于多项式型， 后者适合指数型或对数性此题适合用作商比较，利用同底数 幂的运算法则 解： 当 ab0 时， ，ab0， 所以 则 ， 当 ba0时， ，ab0， 综上所述，对于不相等的正数 a、b 都有 则仍有 ， 使用作商比较时，一定要注 意a0、b0，解题的关键在于 变形的第二步，得出 注意讨论ab，还是ba，一 般说来，变形越彻底越有利于下 一步的判断 例3解答下列各题： 1已知： ，求函数 的最大值 2已知： ，且 ，求 的最小值 3已知：a、b为实常数，求函数的 最小值 1已知： ，求函数 的最大值 分析： 因为 ，所以首先要调整符号，又因为 不是常数，所以对 要重新“配凑” 解： 当且仅当 （不满足 条件） x =1 时，y 有最大值 1 2已知： ，且 ，求 的最小值 分析： 本题的困难在于如何使用条件 ，如果从中解出 x或y，再代入xy转化为一元函数的最值问题显然是比较复 杂的，这时我们可以考虑整体使用条件 解法一： 当且仅当 ，且 即 x = 4，y = 12 故 x = 4，y = 12 时 解法二：由 ，得 （定值） 又知 x1，y9， 即 x = 4，y = 12 时， 所以当且仅当 x1y93 时， 3已知：a、b为实常数，求函数的 最小值 分析： 从函数的解析式的特点看，本题可以展开解为 关于x的二次函数，再通过配方求其最小值但若能 注意到（xa）（bx）为定值，利用变形不等 式 即可使本题得解 解： 当 ，即 时， 从以上三个小题，可知“均值不 等式”的使用，注意了“和”“积”的转 换，达到了“放缩”目的解题时要 创设应用均值不等式的条件，合理 拆分项或配凑因式是常用的解题技 巧，而拆与凑的成因在于使等号能 够成立另外还要注意“和定积最大 ，积定和最小” 例4已知a、b、m、n均为正数，且 ，比较 与 的大小 比较两个数（式）的大小，注意利用不等式的性质， 灵活应用已知条件，本题可采用作差比较法 分析： 解： ，且a、b、m、n均正 ab，mn 即 故上式分子中 分子0，分母0 则 即 现在试题中“不等式证明”很少 ，改为在一定条件下比大小，其解 题方法仍同于不等式的证明（只不 过未确定大小）特别注意作差比 较法中，代数式的恒等变形分解 因式，乘法公式的运用 例5设p0，q0 且 ，则pq2 分析：欲证pq2，可从其反面入手，证明pq2是不可能的 证：设pq2，由 ， 而 pq2 即 是不可能的， pq2也是不可能的， 则 解后思考：在证明不等式或比大小时，可以直接证明，也 可以利用间接证明的方法，如反证法，从另一 个角度考虑，证明有时可以取得更佳的效果 例 6设abc1， ，且abc， 求证： 根据 a、b、c 满足的条件，联想到用方程的判别式求 解，因为给了三个数的和，三个数