chapter 5.1 角动量概念.ppt

第五章 角动量算符 及其本征值 9年1月 5.1 角动量算符的定义 角动量算符定义 角动量的一般定义 、由波函数在转动变换下的变化规 律定义 、由矢量算符分量的对易关系定义 两种定义的等价性 总角动量： J=L+S 角动量算符定义 轨道角动量定义： 经典；量子 内禀角动量 自旋S 角动量是描述粒子转动运动的物理量 5.2 角动量算符的本征值 角动量平方算符 由角动量算符的对易关系可得其全部可 能的本征值 角动量平方 、定义: 、对易关系 新算符的引入，性质，对易关系 定义 对易关系 角动量平方算符的重新表示 角动量算符本征值的推导 设 、论证磁量子数有极大值和极小值 、讨论 的作用 角动量算符本征值的推导 论证1. 磁量子数有极大值和极小值 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 角动量算符本征值的推导 、讨论 的作用 利用升降算符可得到给定 下 的全部本征函数 ）从 出发 ）从 出发 角动量算符本征值的推导 、 指标方程及取值情况 利用 和 角动量算符本征值的推导 、 指标方程及取值情况 角动量算符本征值的推导 、 的值 5.3 角动量算符的矩阵元 角动量算符矩阵元的计算 表象： 阵元： 角动量算符矩阵行列的次序 规定矩阵行列的次序为： 角动量算符矩阵举例 、 角动量算符矩阵举例 、 （续） 其中 角动量算符矩阵举例 、 角动量算符矩阵举例 、 （续） 5.4 两个角动量相加 9年1月 5.4.1 两个角动量算符之和 角动量算符和仍为角动量算符 轨道角动量 各分量间对易关系 自旋角动量 角动量算符和仍为角动量算符 若 二者相加 一般论证 若两角动量满足 也是角动量 任意个两两对易的角动量算符之和是角 动量算符 一般论证 任意个两两对易的角动量算符之和是角 动量算符 5.4.2 两角动量算符和的 本征值和本征函数 一般论证 若两角动量满足 也是角动量 任意个两两对易的角动量算符之和是角 动量算符 考虑两个角动量的耦合 考虑两个角动量的耦合 5.4.3 C-G系数的解析表达式 及性质 C.G.(Clesch-Gordan)系数定义 一、解析表达式 两个常用C-G系数表 表 两个电子体系的总自旋波函数 两电子各自的自旋波函数 总自旋波函数 利用表写出系数 二、C-G系数的性质 、系数中量子数必须满足的关系 这些条件已包含在C-G系数的表达式中 二、C-G系数的性质 、C-G系数是两个表象间幺正变换矩阵 的矩阵元 二、C-G系数的性质 C-G系数的实数性 二、C-G系数的性质 C-G系数的对称性 角动量相加和C.G 两个角动量算符之和 角动量算符和仍为角动量算符 轨道角动量 自旋角动量 仍为角动量 证： 一般论证 一般地若两角动量满足 则 也是角动量 进一步：任意个两两对易的角动量算符 之和仍为角动量算符 证明：设 即 一般论证 则对于 两角动量算符和的 本征值和本征函数 两角动量各自的本征方程解 设 分别是粒子1、2的角动量 是相应的本征函数 有 总角动量的本征方程；问题 对两粒子体系（只考虑角动量涉及的自由 度），其总角动量 的本征方程为 问题：） ） 问题的讨论 已知 是 共同 的正交归一完备本征函数系 可将 作展开 C-G系数的解析表达式 及性质 一、解析表达式 C-G系数的推导很繁琐，结果 两个常用C-G系数表 表 两个常用C-G系数表 表 两个电子体系的总自旋波函数 、两电子自旋算符的本征方程 构成两电子自旋态空 间的完备基底 两个电子体系的总自旋波函数 、总自旋算符的本征方程 可向 作展开 两个电子体系的总自旋波函数 二电子体系总自旋波函数 利用表得到 单电子总角动量波函数 也可利用表写出 二、C-G系数的性质 量子数必须满足的关系 已包含在C-G系数解析表达式中 二、C-G系数的性质 C-G系数是联系耦合表象和非耦合表象 的幺正变换矩阵的矩阵元 二、C-G系数的性质（续） 两个电子体系的例子 二、C-G系数的性质（续） 系数矩阵幺正性的证明 二、C-G系数的性质（续） 系数矩阵幺正性的证明（续） 二、C-G系数的性质（续） 系数矩阵幺正性的证明（续） 二、C-G系数的性质（续） 系数矩阵幺正性的证明（续） 又，已知 与上式比较得 非耦合表象的基矢向耦合表象的基矢 的反展开式 二、C-G系数的性质 C-G系数的对称性 二、C-G系数的性质 （续） C-G系数的对称性（续）式的证明 C-G系数中因子 对任意交换 对称，可不必考虑 令 二、C-G系数的性质 （续） C-G系数的对称性（续） ）式的证明 令 二、C-G系数的性质 、3-j符号 定义 对称性 对称性证明举例 二、C-G系数的性质 、C-G系数对称性应用之一 ）两角量子数相同的情况，波函数的 交换对称性 例： (1) 两电子自旋波函数 (2) 两电子系统总轨道角动量本征态 二、C-G系数的性质 、C-G系数对称性应用之一 ）考虑两个全同粒子体系 总角动量的耦合方式 (1) j-j耦合 a) 二j不等费米子；玻色子 b) 二j相等费米子；玻色子 二、C-G系数的性质 、C-G系数对称性应用之一 ）考虑两个全同粒子体系 总角