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习题12-11 1. 试用幂级数求下列各微分方程的解: (1)y-xy-x=1; 解 设方程的解为, 代入方程得 , 即 . 可见 a1-1=0, 2a2-a0-1=0, (n+2)an+2-an=0(n=1, 2, ), 于是 , , , , , , , . 所以 , 即原方程的通解为. (2)y+xy+y=0; 解 设方程的解为, 代入方程得 , 即 , 于是 , , . 所以 , 即原方程的通解为 . (3)xy-(x+m)y+my=0(m为自然数); 解 设方程的解为, 代入方程得 , 即 . 可见 (a0-a1)m=0, (n-m)(n+1)an+1-an=0 (nm), 于是 a0=a1,. 所以 , 即原方程的通解为 (其中C1, C2为任意常数). (4)(1-x)y=x2-y; 解 设方程的解为, 代入方程得 , 即 . 可见 a1+a0=0, 2a2=0, 3a3-a2-1=0, (n+1)an+1-(n-1)an=0(n3), 于是 a1=-a0, a2=0, , (n4). 因此原方程的通解为 (C=a0为任意常数). . (5)(x+1)y=x2-2x+y. 解 设方程的解为, 代入方程得 , 即 . 于是 a1=a0, a2=-1,. 因此原方程的通解为 (C=a0为任意常数). 2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解: (1)y=y2+x3, ; 解 根据初始条件, 可设方程的解为, 代入方程得 , 即 . 比较两边同次幂的系数得 , 2a2=a1, 3a3=a2+a12, 4a4=a3+2a1a2+1, , 于是 , , , , . 因此所求特解为 . (2)(1-x)y+y=1+x, y|x=0=0; 解 根据初始条件, 可设方程的解为, 代入方程得 , 即 . 比较系数得 , , . 因此所求特解为 . 因为的和函数为(1-x)ln(1-x)+x, 所以特解还可以写成 y=2x+(1-x)ln(1-x)+x. (3), x|t=0=a, . 解 根据初始条件, 可设方程的解为. 将, 和代入方程得 . 将级数展
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