应用数学方向动力系统第六章溷沌性态.doc

第六章 混沌性态 上世纪70年代以来，科学技术的迅猛进步引起了非线性现象研究的蓬勃开展。目前，非线性问题的研究已形成了许多新的学科分支，如混沌动力学、分形几何、孤立子理论和复杂性理论等。本章研究混沌动力学作一个简要介绍。6.1 一维映射的混沌性态任意给出闭区间同胚映射（更一般地可假设只是连续的，未必有逆，则仅考虑由正向迭代，所生成的半动力系统），则由所生成的一维离散流却可以具有甚为复杂的动力性质混沌性态。这在许多一维应用模型中用数值方法较早地被发现，而严格地给出混沌（chaos）的数学定义则是1975由Li和Yorke完成的，见4。他们考虑闭区间，简单地，可取上定义的连续函数，因未必单值，故考虑由，所生成的半动力系统。定义1.1 若满足以下三个条件：(i) 对任意自然数，有，使，且时的周期点，；(ii) 存在不可数集合，使得当时，有；(iii) 对任意周期点和，有则称在上为混沌的。由定义的条件可以看出，混沌性的要求实际上说明由在上所生成的运动具有很混乱的状态。一方面其中有可数多个不同周期的周期运动，且条件(iii)说明其它运动都不渐近于这些周期运动；另一方面，除这些周期运动外，还有更多的不可数集上的运动，其中任意两个运动之间若即若离，(ii)说明了它们有时靠得很近，有时又保持一定距离，且随增大，一直如此。即使两个运动的初始值靠得很近时也是如此，故称这种性质为对初始值的极端敏感性。这两种周期与非周期的运动混杂在一起，就表现出上的运动的复杂的混沌性态。定理1.1 若具有一个3-周期点，即存在使，则在上为混沌的。该定理的证明可以用初等分析方法完成，详情这里从略，可参见原文或。实际上，上世纪60年代前苏联数学家A.Sarkovskii（见文5）就曾证明过更一般的结论，他把自然数重新排列如下（通常称为Sarkovskii序）定理1.2 若具有-周期点，则对序列(1.1)中以后的任一自然数，必具有-周期点。显见，在时的特例情形，它就成为定理1.1中由具有3-周期点推出它具有以一切自然数为周期的结论，从这一点上看，定理1.2的结论要比定理1.1的相关结论广泛得多。当然，文未涉及混沌性态。一维映射具有混沌性态的例子很多，且有着广泛的应用背景，例如著名的Logistic模型即是其中的一个，它可视为有极限增长的虫口模型。从经济应用中亦可导出该模型7。例题1.1 设某种商品的第期市场价格为 则由市场价格平衡所确定的市场价格模型为，其中为适当常数，寻求线性变换以简化此模型，设为方程的正实根，令则式(1.2)可化为，其中视为系统的参数。记，它代表了区间上的一个连续可微的自映射，其周期点对应于方程的解（时为不动点），它在平面上对应为与直线在第一象限的交点。由于，故当时，只有唯一的平凡点。以后则出现非平凡的不动点及周期点。当时，将有两个2-周期点，对应于4次方程的正根。越大时，方程(1.4)的次数就越高，只能用数值方法求解。已得出下述一系列的值：这些值均为分支值。因随着的增大而经过时，系统(1.3)将分支出新的周期点。当时，将具有所有以方幂及其它整数为它的周期点而出现混沌性态，见图1.1。这种现象常称为倍周期分岔。图1.1 倍周期分岔 在这种倍周期分岔以至于呈现混沌的过程中，M. Feigenbaum发现了一个重要的规律，即如下极限值存在：。且证明了对各种不同的线段映射出现倍分岔的一系列参数值，尽管因具体映射不同而不同，但其极限值(1.5)均为同一常数。因此这是一个普适常数（universal constant），被称为Feigenbaum常数。这也说明了，在一维离散动力系统中，混沌性态是很普遍的现象，从上世纪70年代起，对它们的研究，包括圆周上的自映射所定义的一维系统的研究成果极为丰富。许多人把定义1.1作了各种改进与推广，并讨论满足怎样的条件时会出现混沌性态，以及相关的周期点集，非游荡集等等之间的关联性质。又联系到概率测度中的拓扑熵、Liapunov指数等，进一步与任意维数的概率测度空间上的遍历理论（ergodic theory）相联系9和10。6.2 二维映射的混沌性态，Smale马蹄为了阐述二维映射所确定的离散系统中出现的混沌性态，须用到符号动力系统的一些有趣的动力性质，早见于，现作一简介。2.1 符号动力系统 取数字1和2作为两个符号集，记整数集为。任意取的元素可排列成如下的双向无限的二重序列：其中，。式(2.1)所确定的称为一个符号序列。注意，一个序列的中位置（零位置）必须指出，例如，有两个不同的周期序列都可以写成：一个是，另一个是。所有可能作出的各种不同的符号序列的集合记作易见集合具有连续统的势，即为一个不可数的Cantor集。对中的另一个元素定义与间的距离函数（非负实数的集合）为其中此非负项级数显然收敛，因为所有时，故一般地。易于验证这一定义满足距离的三条公里，故成为一个距离空间，可证它是紧致（compact）完备（complete）和完全不连通的（即的任何连通子集只含一点），证明可见，等。在定义(2.3)之下，内点的邻域为。易知，如果一切，对，其中是通过(2.3)及(2.4)由确定的某个正数，则。因此，邻域相当于中块这对于后面的论证是很有用的。 在上可定义一个映射，称作为（左）位移（shift）：， 对每一个，。亦即是把的每一位置上的元素各向左移动一位所得到的符号序列。由此可知存在，它即为右位移。易证，的连续性。所以，为自同胚映射，它在上确定了一个动力系统，记作，它是一个拓扑动力系统，且具有如下有趣而重要的动力性质。定理2.1 对每个正整数， 具有-周期点。证明 可用下列穷举法列出所有以正整数为周期的周期点：1-周期点有两个：2-周期点有4个：除上述1-周期点外，还有它们可以这样得出：取中位置及其右一位两个连续位置上的两个元素的排列，应有种：11，22，12，21。然后，把它们向左、向右连续移动两位，再移动两位以至无穷所得到的。故满足。依此类推，3-周期点有8个，即中位置开始向右三个位置上取1，2的个不同的排列再一次次移三位所得，-周期点有个。尽管这样的排列有重复，但总会有新的以任意整数为周期的周期点出现。证毕。定理2.2 的所有周期点的集合，记作，它在内处处稠密，即有证明 任取及的邻域，只要说明在内存在周期点即可，由前知邻域确定一中块(2.5)将此个位置的排列连续地向左、向右移动位，再移动位，如此继续，可得出一个符号序列，它显然成为一个-周期点，且在内。证毕。 定理2.3 存在一条轨道，它在内处处稠密（这一性质常称为可迁性（transitivity）。证明 今作出符号序列，使在迭代之下，轨道在内处处稠密。的元素从中位置向左可以任取，从中位置开始向右先排1，再排2，即一个位置的两种不同排列，再依次排出两个位置的4种不同排列，三个位置的8种不同排列，依次继续，即得因此，任给一点，以及任一邻域，由(2.5)，即给出了中块。这是个位置上的一种排列，它一定出现在(2.7)所确定的的右方（可能很远处）。用作用于，即把的元素一次次向左位移。故总存在足够大的，使上述元素排列中的移到的中位，从而进入了的邻域。这就证明了过的轨道稠密于。证毕。从以上性质可见，在内所生成的运动，除去可数多个周期点外，更多的是不可数多个处处稠密的遍历运动，也就是说，整个空间为的非游荡集。这也是混沌定义的几条性质所要求的。不同的是，那里的运动分布在一个闭区间上，而符号动力系统的运动则在一个抽象的完全不连通的离散空间中。符号动力系统还具有如下的拓扑混合性质。定义2.1 设为紧距离空间上的同胚映射，若对任意的两个非空开集，总存在正整数，使当时，有，则称在上为拓扑混合的。定理 2.3 在上为拓扑混合的。证明 设为内的两个非空开集，取，则存在邻域及相应的，使因而又取时，由上式右端可知此集合非空。证毕。2.2 Smale 马蹄为了回答老数学家N. Levinson在高维系统结构稳定性问题的讨论中所提出的质疑，S. Smale作出了下列平面点映射的有名例子，通常称为Smale马蹄。图2.1 马蹄映射的构造在内取单位正方形（图2.1(a)）。几何式地定义映射如下：将沿铅直方向拉长（拉伸的倍数），同时沿水平方向压缩（倍数为）使成为一长条（图2.1(b)），然后弯曲成马蹄形（图2.1(c)），且落在包含的区域内并使弯曲部分在之外（图2.1(d)）。此弯曲的马蹄形就是在之下的像，称之为Smale马蹄。与外形无关。为了简便起见，我们假定压缩和拉伸是线性的，且在交集中的铅直长条是矩形。映射及其逆可以是可逆且光滑的，逆映射将马蹄反向（经由步骤）变换成。这个逆映射映图2.1(d)中点边正方形到图2.1(a)中的点边水平马蹄。我们假定这个马蹄与原正方形的交为两个水平的长方形。把交上的两个长条表示为和，即（见图2.2(a)）。现在我们开始做最重要的一步，即执行映射的第二次迭代。在这个迭代下，两个铅直长条和将变换成两个细小的马蹄交正方形于四个窄小的铅直长条和（见图2.2(b)），记作类似地图2.2 铅直和水平长条其中和是水平长条（如图2.2(c)所示），且，这里，窄小水平长条如图2.2(d)所示。注意，（图2.3）。图2.3 转换进一步迭代映射，我们得到铅直长条，它们是交。类似地，的迭代给出个水平长条，它们是交。在或的迭代下，大多数点离开了正方形。忽略这些点，我们只考虑在或的迭代下始终保留在正方形上的点的集合：图2.4 不变集的位置显然，如果集非空，它是由定义的离散动力系统的不变集。这个集合可以表示为无限交：显然，集合有一个特殊的外形，且位于集的内部，后者是4个小正方形（见图2.4(a)）。进一步，集合位于集的内部，这是16个小正方形的并（图2.4(b)）。依此类推，取极限，我们得到一个Cantor（分形）集。 引理 2.1 存在与间的同胚映射，即的点与符号序列集合一一对应。 证明 对任何点，定义一个符号序列：其中 这里，（衡等映射）。显然，式(2.9)定义了一个映射。为了验证这个映射是可逆的，取一个符号序列，固定，考虑集合。例如，若，集是四个交集之一。一般情况下，属于一个铅直长条和一个水平长条之交。这些长条当时会越来越窄，分别趋于一条铅直的线段和一条水平的线段。这样的线段交于一点，满足。这样，是一对一映射。这也意味着非空。证毕。注2.1 若我们使用上的距离和由(2.3)给出的距离，映射及其逆是连续的（同胚）。现在考虑点及其对应的符号序列，其中是前面构造的映射。考虑点，即在马蹄映射下的像。由于（由的定义），存在一个符号序列，现在的问题是，和之间有什么关系？作为我们从(2.8)很容易看到的，这种关系存在且非常简单，即，因为。换言之，序列可以通过序列的位移而得到，即。因此，在不变集的限制等价于符号序列集的位移映射。我们可以把这个结果表示为如下简短的引理。 引理 2.2 对马蹄映射，存在与间的同胚映射，使，对一切。这时称与拓扑共轭。结合引理2.1和引理2.2及上位移动态的明显性质，我们可得如下定理：定理 2.4(Smale 1963) 马蹄映射有一个闭的不变集，其包含一个具有任意周期的周期轨道的可数集和一个非周期轨道的不可数集，在它们当中存在任意近的任何点的轨道。注 2.2 由Smale马蹄的构造过程可以看出具有结构稳定性的特征。因为的基本要求是把两个铅直的长条映为两个水平长条，且边界对应边界。由此知微小地摄动知会使这些铅直，水平长条变形为曲线边界，而仍然纵向与横向跨越正方形，从而在（摄动之后的）的迭代后仍可得出上述类似的不变集，仍具有混沌性的特征。注 2.3 上述在内保持了线性，横向压缩和纵向扩张，这是双曲不动点的基本特征，由此可见这种双曲性可进一步引伸到系统的整个不变集上。而得出双曲不变集的概念，这在高维系统结构稳定性中起重要作用。6.3 横截同宿与横截异宿环3.1 横截同宿定理 为了判断具体的二维映射具有混沌性态，J. Moser首先把Smale马蹄的做法进行了推广（见）。仍考虑平面上的正方形。如果，且存在常数，使对有，则称曲线为一条水平曲线。 若有两条水平曲线和满足，则称点集合为一水平长条。称为水平长条的直径。类似地可定义铅直曲线及铅直长条，直径。 定义3.1 对符号动力系统及上的同胚，若存在内某个子集到的同胚，使，则称以上的位移为子系统.设在中有互不相交的水平长条和互不相交的铅直长条各个(), 分别记作, 。定理3.1 设上的（微分）同胚满足如下条件：i) ,，且边界映为边界，；ii) 对铅直长条，每一也是铅直长条，满足为常数，对水平长条，每一为水平长条，且满足 ；则以为子系统。 因为，条件i)说明了至少有两个水平长条映为铅直长条。条件ii）则如Smale马蹄一样在水平方向为压缩，铅直方向为拉伸，从而可以推出混沌性态。但条件ii)一般是较难验证的，Moser又用了一个涉及到导算子的条件来代替。记对，分别以为顶点作铅直扇形和水平扇形设如下条件iii)成立。iii) 对任意，有，使，且对任意，有，其中；又对任意，有，且对任意，有，其中。定理3.2 设上的微分同胚满足条件i)和iii)，则取，可使定理3.1的条件ii)也成立，即以为子系统。证明从略，可参见。下面介绍重要的横截同宿定理。定理3.3 （Smale-Birkhoff） 设二维点映射具有双曲不动点，且与横截相交在异于的一点，则具有混沌性态。证明从略，可参见。注3.1 在混沌定义1.1中，条件i)通常可放宽为具有任意大周期的周期点，其它两条件仍保持，则运动仍具有及混乱的性态。3.2 横截异宿环对具体的点映射要证明横截同宿点的存在性并非易事，本段将把横截同宿环引伸到横截异宿环，它在一些点映射问题的研究中也有很好的应用，将以Henon映射为例说明。利用所谓雾状引理的思想，引入横截环的概念，且不难得知，由横截异宿环的存在可推出横截同宿而导出混沌性质。定义3.2 设平面点映射具有双曲鞍点，且对每一，与横截相交于一点，其中，则称具有横截环。图3.1画出了横截环的例子。由于异宿点的存在，将延伸，可使这四条分界线相交无限多次，从而得到和的同宿环，且在的同宿环，且在附近均会Poincare栅栏而出现混沌性态。下面用Henon映射来说明横截环的应用。图3.1例3.1 考虑Henon映射1976年M. Henon对三体运动的Poincare映射提出了这一简化模型，并用数值方法说明当时具有混沌性态。此后这一映射引起不少学者的兴趣，起先用数值方法得知呈现混沌性态的参数是零星而隔离的。后用定性方法可推出它具有横截环而得出混沌性态的大片参数区域。对于的保面积映射，证明了是(3.3)具有混沌性态的充分必要条件。对，我们介绍如下的结果。首先在之下证明(3.3)存在横截环。 易知，(3.3)有两个双曲鞍点，其中在所设条件下，易推得因此有如图3.2，作则由可得曲边三角形，它由两条抛物线弧段以及上的直线段所围成。进入的为的不变集，它应保持在两抛物线段之间，从而与交于一点，它在之下的像为中的一点。 再作类似于上面的分析可知，的一支必与相交于一点，点在之下的像位于中的一点，如图3.2。由(3.4)式可知故整个位于曲边三角形的下方，同样可知，整个位于曲边三角形的右方。因此与的相应两支必相交于一点。借助于估计及的值，易证明在点及的切向斜率分别大于1和小于1，因此两者在横截相交。 类似地可证，在所设条件下及的各一支必横截相交于第二象限的一点，见图3.2。从而得到一个横截环，故具有混沌性态。对于或的情况，中也给出了相应的充分条件，以证明横截环的存在性。6.4 Melnikov方法 前面几节介绍了离散系统的混沌性态及其判定方法，对连续流由Poincare-Bendixson的极限集理论可知平面定常系统不会出现混沌性态。而对三维以上的定常系统或者二维非定常系统就可能出现混沌性态。利用Melnikov方法来研究这类系统的Poincare映射，在一定条件下可以得出横截同宿，从而判定系统具有混沌性质。 现就二维定常系统的周期性摄动系统（它有很广泛的应用背景）来介绍这一方法。考虑系统其中，存在使。为小参数，且设时的无摄动系统为Hamilton系统。即有函数使进一步，对无摄动系统，即时系统作如下假设： A1）具有过鞍点的同宿轨道 A2）设，的内部充满周期轨道，。设，我们有 A3）设和是的周期，则是的可微函数且在内部有 注意到，假设A2和A3意味着当时，单调增趋于无穷大。时系统的轨线结构如图4.1(a)。图4.1与非横截相交。在空间中看，其轨线为垂直平面的直线，组成母线平行于轴的柱面。当甚小时，空间轨线产生小的摄动，它不再位于母线铅直的柱面上。我们如下关于摄动的结果。引理4.1 在上面的假设下，对充分小的系统(4.1)存在唯一的双曲的周期轨道对应地，在截面上的Poincar映射有唯一双曲不动点。 证明 这是隐函数的定理的直接应用。由假设，的谱中不含1，从而是可逆的。因此在空间中存在一条光滑的不动点曲线通过点。证毕。 周期轨线(4.2)的稳定流形与不稳定流形各有一支通过的柱面邻近。以间隔，平行于平面的截面去截断此三维流，在截面上得到图4.1(b)，其中为截面与(4.2)的交点，它是一个双曲鞍点，其稳定与不稳定流形如图4.1(b)中虚线表示。一般说，它们将分隔开来。从截面上的无摄动系统的轨道上一点的法线上去计算其分离量，即可导出Melnikov函数。 下面就通过求微分方程摄动后的解关于的展开式的一次近似来得出其表达式。设在无摄动系统的解邻近系统(4.1)有轨线和分别位于和上。它们可依展开：当时上式关于相应区间上的一致成立。在截面上点处，考虑其中表示两向量和的向量积的模，故为在上的投影，即在点的法线方向上的投影，因此代表了与在此方向上分离开的距离，从而与相交。为了便于计算的一阶近似，Melnikov引入函数通常把式(4.6)称为Melnikov函数。现证为此，令因为计算导数得到上式最后一步是因为。从到积分上式得因为，且有界，故从而 类似推导可得把式(4.9)和(4.10)相加，即得(4.6)。从而可以得出如下结论。 定理 4.1 若Melnikov函数不依赖于，且以为简单零点，即，则且甚小时，有横截同宿点，从而系统(4.1)的解具有混沌性态。如果对所有成立，则。这一结论说明，在平面上，鞍点的邻近存在一系列无穷多个点，系统(4.1)以它们为初值所对应的轨道是周期的，以的各种不同倍数（且趋于无穷大）为周期。实际上，早在20世纪40年代，N. Levinson等就曾对具有周期强迫力的二阶振动方程证明了这种结论，如果从Poincare截面上去看，这正是马蹄映射所反映出的复杂性。也正是受到这些例子的启发，Smale构造出奇妙的马蹄映射。这一定理有许多应用。下面一个例子说明。例题4.1 考虑含非线性电容的振荡电路系统其中表示电流量。把系统(4.11)化为方程组当时(4.12)为Hamilton系统，具有类似于图4.1(a)的结构，不同的是鞍点在右边，即轴上的点，而为中心。其函数为同宿轨道为故为了得到简化的参数表达式，令，则取使，即得。积分式(4.15)，易得到的参数形式为记令，则易得而可利用复变积分的残数定理来求出。令则其中表示的虚数部。对函数利用Cauchy定理其中为在点处的残数，路径如图4.2所示。当时，故从而可得因此，如果参数满足条件则，有简单的零点，由定理4.1知，系统(4.1)的解具有混沌性态。图4.26.5 混沌的信息与特征前面已经介绍混沌的例子，并分析了产生混沌的原因。本节阐述混沌的定量表征，主要有Lyapunov指数、测度熵等。6.5.1 Lyapunov指数 考虑一个简单的线性常微分方程其解为，它是按指数规律变化的。设有初值相邻的两条轨道，当时，它们之间按指数规律分离；当时，其距离按指数减少；当时，其距离保持不变。对非线性耗散系统，在给定状态附近实行线性化，可以局部地存在类似的关系。一般来说，Jiacob矩阵的特征值决定了相邻轨线之间距离的伸长和缩短。由于在空