稳定性定义与稳定性条件(四讲new).ppt

第4章 控制系统稳定性分析 4.1 稳定性定义与稳定性条件 当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐近 稳定的。 显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将 逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保证 系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。 4.1.1 范数的概念 1. 向量的范数 定义：n维向量空间 的范数定义为: (4.1) 2. 矩阵的范数 定义：mn矩阵A的范数定义为: (4.2) (4.3) 4.1.2 4.1.2 平衡状态平衡状态 系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系 统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的 ，这样的状态称为系统的平衡状态。 根据平衡状态的定义可知,连续系统 的平衡状 态 是满足平衡方程 即 的系统状态。离散 系统 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 的系统状态。 首先讨论线性系统 的平衡状态。由 于平衡状态为 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。 对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。 例4.1 求下列非线性系统的平衡状态 解 由平衡状态定义，平衡状态 应 满足: 得非线性系统有三个平衡状态： , , . 研究系统稳定性都是对平衡状态而 言的。 4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义 1.稳定 定义:如果对于任意给定的每个实数 ,都 对应存在着另一实数 ,使得从满足不等 式 的任意初态 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 则称系统 的平衡状态 是稳定的.若 与 的选取无 关,则称平衡状态 是一致稳定的. l2.渐近稳定 定义：若平衡状态 是李雅普诺夫意义下稳定 的，并且当 时， ,即 ， 则称平衡状态是渐近稳定的。 3. 大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的， 则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统 总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定 的。 4. 不稳定 定义：如果对于某一实数 ，不论 取多 小，由 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 出 ，则称平衡状态为不稳定. 上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。 注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参考 输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的自 由运动状态。所以，通常通过分析系统的零输 入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。 在经典控制理论中，只有渐近稳定是稳 定系统，只在Lia稳定不是渐近稳定是 临界稳定，在工程上属于不稳定系统。 图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。 5 二次型标量函数： 1） 存在 2）3）当 时， 则称 是正定的（正半定的）。 如果条件3）中不等式的符号反向，则称 是负定的（负半定的）。 l 例 l 1） 正定的 l 2） 半正定的 l 3） 负定的 l 4） 半负定的 l 5） 不定的 5 二次型： 塞尔维斯特（Sylvester）定理： 为正定的充要条件是 的所有顺序主子行列式 都是正的。如果 的所有主子行列式为非负的 （其中有的为零），那么 为半正定的。 例4.2 证明下列二次型函数是正定的。 课后完成 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1、线性定常系统稳定性的特征值判据： 李氏稳定的充要条件： 即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左 半部。 4.1.44.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第一方法（间接法） 4.1.44.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）李雅普诺夫第一方法（间接法） 设 ， 为孤立平衡点。 （1）平衡点平移：令则 将 在原点展开得 ， yGAyy)(+= 如果存在 ，则 不稳定； (2)近似线性化： 来决定。 例4.3 已知非线性系统 il Re( ( ) 0A il Re( ( ) 0A= ij=1n 其中 常数，试分析其平衡状态的稳定性。 知系统有平衡点 解: 求平衡状态：由 下面仅对 情况进行研究，其它情况类似 计算 由特征方程 ，得 - = 110 10 acosxa e 当 时，系统在 渐近稳定； 时， 系统在 不稳定; 如果 ,其稳定性靠一次近似不能判断。 4.1.54.1.5李雅普诺夫第二方法（直接法）李雅普诺夫第二方法（直接法） 定理1 假设系统的状态方程为 如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 并且满足条件： 1） 是正定的； 2） 是负定的。 那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 能量随时间连 续单调衰减 且x,V(x,t) xe=0是大范围渐近稳定;如果 V(x,t)与t无关,则是大范围一致渐近稳定。 不求解系统的运动方程，而是借助于一个lia函数来直接对系统 平衡状态的稳定性做出判断。从能量观点来进行稳定性分析。 例4.4 已知系统 试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。 定理4 若1) 2) 则原点是不稳定的。 定理3 若1) 2) 3） 在非零 状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定。 说明： 系统维持等能量水平运动，使 维持在非零状态而不运行至原点。 定理2 若1) 2) 3) 在非零状 态不恒为0，则原点是渐近稳定的。 说明：不存在 ,经历能量等于恒定 ，但不维持该状态。 能量函数随时 间增大，x在原 点处发散 ( , ) 0V x t & 原点处是大范围渐近稳定的 解: 显然，原点 是唯一平衡点， 取 ，则 又因为当时，有 所以系统在 例4.5 已知系统 试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。 解: 系统具有唯一的平衡点 取 则 因为除原点处外， 不会恒等于零。 当时，所以系统在其原点 处大范围渐近稳定。 例4.6 系统的状态方程为 试确定系统在其平衡状态的稳定性。 解: 系统具有唯一的平衡点取 则 于是知系统在原点处不稳定。 4.1.6 4.1.6 几点说明几点说明 定常连续系统，Q，P 为正定实对称阵 4.2 李亚普诺夫方法在线性系统中应用 4.2.14.2.1线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法 定理1: 系统在原点全局渐近稳定的 充要条件为方程,有唯一正定对称解. 证明：充分性：考虑系统 其中 令 如果 则大范围渐近稳定。 x Ax= & 必要性：xe=0渐近稳定P存在且正定 PP 例4.8: 分析下列系统稳定性 解：令 得则由 xe=0 解上述矩阵方程，有 即得 因为 可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围 渐近稳定的。 则系统在原点为渐近稳定的充分必要条件是方程 存在唯一正定对称解 定理2 定常离散系统，Q，P 为正定实对称阵 设 例4.9 试确定系统 在原点的稳定性 , 得解:在李雅普诺夫方程中,取 由此解出（课后练习） 4.2.2 线性定常连续系统的稳定性条件 （同学自学） 1. SISO线性定常连续系统稳定的条件 设描述SISO线性定常连续系统的微分方程为: (4.4) 则系统的特征方程为: (4.5) 设特征方程(4.5)有k个实根 ，r对共轭复根 ，则系统的脉冲响应为: (4.6) 从上式可以看出： 1）若 ， 均为负实部，则有 ，因此 ，当所有特征根的实部都为负时，系统是稳定 的； 2）若 ， 中有一个或者几个为正，则有 ，因此，当特征根中有一个或者几个为正实部 时，系统是不稳定的； l3）若 中有一个或者几个为零,而其它 ， 均为负，则有 为常数。若 中有一个 或者几个为零，而其它 、 均为负，则 y(t)的稳态分量则为正弦函数。因此，当特征 根中有一个或者几个为零，而其它极点均为负 实部时，系统是一种临界情况，称为临界稳定 的。临界稳定在李氏稳定性意义下是稳定的， 但在工程上是不允许系统工作在临界稳定状态 的，所以，临界稳定在工程上是不稳定的。 结论：线性定常连续系统稳定的充分必要条 件是，系统的全部特征根或闭环极点都具有负 实部，或者说都位于复平面左半部。 2. MIMO线性定常连续系统稳定的条件 描述MIMO线性定常连续系统的状态方程为： （4.7） 设A有相异特征值 ，则存在非奇异线性变换 ，使 为对角矩阵，即: 非奇异线性变换后的状态方程的零输入解为: 由于 ， ，所以，原状态方程的 零输入解为: (4.8) 可见 (4.9) 将上式展开, 的每个元素都是 的线 性组合，所以可写成矩阵多项式: 所以 (4.10) 从上式可见，当A的所有特征值位于复平面左半平 面，即 ， ，则对任意x(0)，有 ，系统渐近稳定。只要有一个特征值值的实部大于 零，对对于 ， ，系统统不稳定。当有特 征值的实部等于零，而其它特征值的实部小于零 ，则随着时间的增加，x(t)趋于常值或者为正弦波 ，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，或者称为临 界稳定的。 当A具有重特征值时,x(t)含有 诸项 ，稳定性结论同上。 结论：MIMO线性定常连续系统稳定的 充分必要条件是，系统矩阵A的全部特征 值具有负实部，或者说都位于复平面左半 部。 4.2.3 线性定常离散系统的稳定性 1. SISO线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的脉冲传递函数为 ，则 系统输出的Z变换为 ： (4.11) 现在讨论系统在单位脉冲序列离散信号(R(z)=1) 作用下的输出响应序列。 （1） 有 n个互异的单极点 ， 。 Y(z)可以展成: 相应的脉冲响应序列为: (4.12) 如果所有的极点在单位圆内,即 ， ，则 ，所以，系统是渐近稳定的。 如果其中有一个极点在单位圆上，设 ， 而其余极点均在单位圆内，则 ，所 以，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，又称临 界稳定。 如果有一个或一个以上的极点在单位圆外,则 ，所以，系统是不稳定的。 （2） 有一对共轭复数极点 对应这一对复数极点的脉冲响应序列是: 由于特征方程是实系数， 所以， 必定是共轭的。 设设 代入上式得: (4.13) 由此可见，该对复数极点若在单位圆内（ ），系统是渐近稳定的；若在单位圆外（ ），系统是不稳定的；在单位圆上（ ），系统是临界稳定的。 （3） 含有重极点 不失一般性，设含有两重极点 ，则Y(z)可展 开为: 对应的脉冲响应序列为: (4.14) 显然，若重极点在单位圆内，即 ，系统 是渐近稳定的；重极点在单位圆外, 即 ， 系统是不稳定的；重极点在单位圆上,即 ， 由式（4.14）可得: 系统是不稳定的。 结论：线性定常离散系统稳稳定的充分必要条 件是，闭环闭环 脉冲传递传递 函数的所有极点都位于 平面的单单位圆圆内。 2. MIMO线性定常离散系统稳定性条件 设线性定常离散系统的状态方程为: (4.15) 做非奇异线性变换 ,式(4.15)变换为: (4.16) （1）A有n个互异的特征值 ， 总可以找到一个非奇异阵P，使矩阵 化为 对角型，即 于是 (4.17)