直角三角形(1)勾股定理与它的逆定理的证明.ppt

九年级数学（上册）第一章 证明(二) 2.直角三角形（1） 勾股定理与它的逆定理的证明 驶向胜利 的彼岸 勾股定理 w如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c ，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理（pythagoras theorem）. 开启 智慧 a c b 勾 弦 股 驶向胜利 的彼岸 勾股定理的证明 我能行 1 1 l方法一: 拼图计算 l方法二：割补法 l方法三：赵爽的弦图 l方法四：总统证法 l方法五：青朱出入图 l方法六：折纸法 l方法七：拼图计算 这些证法你还能记得多少? 你最喜欢哪种证法? 总统证法 回顾反思 1 1 驶向胜利 的彼岸 l这个证明方法出自一位总统, 1881年，伽菲尔德(J.A. Garfield )就任美国第二十任总统,在 1876 , 利用了梯形面积 公式。 l图中三个三角形面积的和是 l2ab/2c/2;梯形面积为(a+b)(a+b)/2; l比较可得:c2 = a2+b2 。 伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,后 来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简 捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称 为“总统”证法。 勾股定理不只是数学家爱好，魅力真大！ a b a b c c 驶向胜利 的彼岸 勾股定理的逆定理 我能行 2 2 l如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这 个三角形是直角三角形. l已知:如图(1),在ABC中 ,AC2+BC2=AB2. l求证:ABC是直角三角形. a c b A B C (1) 驶向胜利 的彼岸 逆定理的证明 我能行 2 2 l证明:作Rt ABC使C =900,AC=AC,BC=BC(如图),则 l已知:如图(1),在ABC中,AC2+BC2=AB2. l求证:ABC是直角三角形. a c b A B C (1) a c b B A C (2) lAC2+BC2=AB2(勾股定理). AC2+BC2=AB2(已知), AC=AC,BC=BC(作图), AB2=AB2(等式性质). AB=AB(等式性质). ABC ABC(SSS). A=A 900(全等三角形 的对应边). ABC是直角三角形(直角三 角形意义). 几何的三种语言 回顾反思 1 1 驶向胜利 的彼岸 w勾股定理的逆定理 l如果三角形两边的平方和等于 第三边平方, 那么这个三角形是 直角三角形. 这是判定直角三角形的根据之一. l在ABC中 lAC2+BC2=AB2(已知), lABC是直角三角形(如果三角形两边的平方 和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形). a c b A B C (1) 驶向胜利 的彼岸 命题与逆命题 w直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. w如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这 个三角形是直角三角形 w观察上面两个命题,它们的条件与结论之间有怎样 的关系?与同伴交流.w再观察下面三组命题: w如果两个角是对顶角,那么它们相等, w如果两个角相等,那么它们是对顶角; w如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧, w如果小明发烧,那么他一定患了肺炎; w三角形中相等的边所对的角相等, w三角形中相等的角所对的边相等. w上面每组中两个命题的条件和结论之 间也有类似的关系吗?与同伴进行交流 . 开启 智慧 驶向胜利 的彼岸 命题与逆命题 w在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题. 开启 智慧 w你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的 平方相等”的逆命题吗? w它们都是真命题吗? w想一想:一个命题是真命题, 它逆命题是真命题还是假命题? 驶向胜利 的彼岸 定理与逆定理 w一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题 . 开启 智慧 w我们已经学习了一些互逆的定理,如: w勾股定理及其逆定理, w两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行. w你还能举出一些例子吗? w想一想: w互逆命题与互逆定理有何关系? w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理. 蓄势待发 隋堂练习 1 1 驶向胜利 的彼岸 老师提示: 你是否能将有关命题的知识予以整理. w说出下列合理的逆命题,并判断每对命题的真假: w四边形是多边形; w两直线平行,同旁内角互补; w如果ab=0,那么a=0,b=0. w请你举出一些命题,然后写出它的逆命题,并判断 这些逆命题的真假. 学无止境 读一读 1 1 l勾股定理是数学上有证明方法最多的定理 有四百多种说明！ l古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法， 不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政 治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里 德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第 二十届总统）等等。其证明方法达数百种之多 ，这在数学史上是十分罕见的. 驶向胜利 的彼岸 P18读一读： 勾股定理的证明. 学无止境 读一读 1 1 l 历时几千年的两个定理，牵动着世界上不 知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力， 开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的 光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然 无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自 身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更 大贡献。 驶向胜利 的彼岸 P18读一读： 勾股定理的证明. 学无止境 读一读 1 1 l学习永远是件快乐而有趣的事！ l勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界！ 驶向胜利 的彼岸 P18读一读： 勾股定理的证明. 梦想成真 试一试P14 2 2 1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘 蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则 在对面墙的正中间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多 少? A B 30 12 12 回味无穷 n勾股定理: w如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么 a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（ pythagoras theorem）. n勾股定理的逆定理: l如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三 角形是直角三角形. n命题与逆命题 w在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其 中一个命题称为另一个命题的逆命题. n定理与逆定理 w如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一 个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一 个定理的逆定理. 小结 拓展 知识的升华 独立 作业 P9习题1.4 1,2,3题. 祝你成功！ 习题1.4 独立作业 1 1 驶向胜利 的彼岸 w1.如图，在ABC中，已知 AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线 AD=12cm. w求证:AB=AC. 证明:BD=CD,BC=10cm(已知), BD=5cm(等式性质). AD2+BD2=122+52144+25=169, AB2=132=169, AD2+BD2=AB2. D BC A 在ABD中, ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方 和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形). 在RtADC中 AC2=DC2+AD2=122+52144+25=169, AC2=AB2. AB=AC(等式性质). 习题1.4 独立作业 2 2 驶向胜利 的彼岸 w2.房梁的一部分如图所示,其中 BCAC,A=300,AB=10m,CB1AB, B1C1AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多 少？B1C1呢？ 解:BCAC,A=300,AB=10m(已知), BC=AB/2=1025(在直角三角形中, 如果有一个锐角等 于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半), 又CB1AB,BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余), CB1=BC/2=522.5(在直角三角形中, 如果有一个锐 角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 老师提示:对于含300角的直角三角形边 之间,角之间的关系要作为常识去认可. B C A 300 B1 C1 AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质). B1C1=AB1/2=7.523.75(在直角三角形中, 如果有 一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半). 习题1.4 独立作业 3 3 驶向胜利 的彼岸 w3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧 棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底 面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物, 那么它需要爬行的最短路径是多少？ 解:如下图,将四棱柱的侧面展开