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软 件 介 绍 第5讲 自定义函数 2/43 5.1 自定义函数 5.2 函数的应用 3/43 5.1 自定义函数 前面几章所介绍的各种函数都是在Mathenatiea系统 中给好定义、明确功能，提供给用户直接调用的。 但在实际问题中还有许多函数因为用户特殊需要， 而系统中没有定义，在这种情况下需要由用户自己来 给出定义，以供后面使用的方便，这就是下面要介绍 的自定义函数。 4/43 5.1.1 自定义一元函数 5.1.2 自定义多元函数 5.1.3 自定义函数的保存与重新调出 5/43 5.1.1 自定义一元函数 自定义一元函数方法如下： f x_ := 自选表达式 例如fx_ := 2x + 3等，如果将此式同数学中常用的 函数定义符号f(x)=2x+3相比较，容易看到二者间的差 别。 按照Mathematica的规定，应该将圆括号换为专用 于函数的方括号，即fx=2*x+3。 于是二者间的主要差别有二: 一是自变量“x_”与“x”的差别， 二是定义符“:=”与“=”的差别。 6/43 (1) 先看，x_与x功能上的差别 【例1-1】 fx_:= 2 x + 3b; fx fy fb f1, 2, 3 gx:= 2x + 3b; gx gy 无定义，找不到与右端表达式相匹配的y，原样输出 gb g1, 2, 3 7/43 上面例子说明： 自定义函数符号fx_ := 2x + 3b中的x_(在x后面 必须紧跟着加一个下划线)同数学函数符号f(x)中x的功 能基本上一样，都是起着自变量的作用， 在Mathemtica里将x_称为规则变量或模式变量， 而fx中的x类似于数学里的一个常量，即fx只代 表fx_在某一点的值。 fx_ := 2x + 3b中模式变量x_代表着一类重要的 实体，它不仅可以取实数，还可以取向量和矩阵，以 及由f所规定的同右端表达式中与x_相匹配的任何结构 的量。 8/43 (2) 再看“=”与“:=”功能上的差别 差别是：前者为立即赋值， 后者为延时赋值 亦即使用“=”号时，右边表达式在定义时被立即赋 值，而使用“:=”号时，右边的表达式在定义时暂不赋 值，直到被调用时才被赋值。请看下面的例子： 【例1-2】 Clearf, g; x = 2; fx_ = x2; gx_ := x2; f3 g3 9/43 上面例子说明，fx_ = x2在定义时便被赋值 x = 2，在调用它时，f3中的值已是22了， 而gx_ := x2在定义时暂时不赋值，直到调用g3 时才被赋值g3 = 32。 在使用自定义函数时，要特别注意到它与数学中已 经习惯使用的函数符号f(x)在这两点上的不同，以避 免一些不必要错误的发生。 10/43 例中设置开头语句Clearf, g，是为了清除掉前面对 f与g的所有定义，否则容易引起同例1中f，g的混淆， 常用的清除函数有： fx_ :=.清除fx_的定义 Clearf清除f的所有定义 11/43 说明: (1) x_的使用使x可作自变量：若fx=3+x，则fx与 fy不同 (2) :=为延时赋值，每次调用时才计算，大多数情况下 与赋值“=“产生相同的结果，但有时必须使用。 12/43 总之: (2) :=为延时赋值，每次调用时才计算，大多数情况下 与赋值“=“产生相同的结果，但有时必须使用。 例如，定义递归函数必须使用延时赋值： f0 = 1; fn_ := n fn - 1; f7 13/43 分段函数定义也必须使用延时赋值： fx_ := Which x 5, x3, True, 0 (3) =较快，:=较慢 14/43 上一讲中铁路托运行李问题，可以编写代码如下： fw_ : = Ifw 10(-6), x = x0; x0 = x - fx/fx; PrintNumberFormx0, 9 输入0次近似值x0与允许误 差限eps 当|x0 - x| eps x x0 x0 x f(x)/f (x) 输出近似值x0 16/43 5.1.2 自定义多元函数 自定义二元函数的一般形式是 fu_，v_ := 自选表达式 如在第2章的参数式绘图中，绘制螺旋面时我们曾 引入了 xu_, v_ := u*Cosv; yu_, v_ := u*Sinv; zu_, v_ := a*u + b*v; 共有3个自定义二元函数。这为我们绘制参数曲线 面提供了很大的方便。类似的还可以定义三元、四元 以及更多元的自定义函数。 17/43 5.1.2 自定义多元函数 自定义二元函数的一般形式是 fu_，v_ := 自选表达式 例如 ha_, k_, x_ := a*Exp -k2*x2 带参数的概率函数 sa_, b_, c_, x_ := a*Sinb*x + c带参数的简谐运动函数 18/43 5.1.3 自定义函数的保存与重新调出 已经自定义好的函数，如果希望以后多次使用，这 就需要妥善保存与重新调出，保存的方法如下： Save“文件名”，自定义函数名序列f，g，h， 【例1-3】将函数保存到文件file1中。 fx_ := 1/(1+x2); Save“file1“, f 如果还有新的函数想要追加到文件file1中，可以 gu_, v_ := u2 + v2; ha_, x_, y_ := a*Exp -(x2 + y2); Save“file1“, g, h 19/43 5.1.3 自定义函数的保存与重新调出 已经自定义好的函数，如果希望以后多次使用，这 就需要妥善保存与重新调出，保存的方法如下： Save“文件名”，自定义函数名序列f，g，h， 【例1-3】将函数保存到文件file1中。 fx_ := 1/(1+x2); Save“file1“, f 如果想要查看一下文件file1中的内容，有 !file1 20/43 保存在文件filel中名为f，g，h的函数如果要重新调 用，方法如下： 首先进入Mathematica，然后调出file1文件，便可 直接使用文件中的函数了。 例如，计算f1 + g1, 2的值有： (Abs#l-#2”号定义的变换规则中， 还可附加条件，它们定义的形式如下： 模式 := 表达式；条件； 模式 : 表达式；条件 其中；是附加条件用的操作符。 【例2-1】利用带条件的规则定义阶乘函数f(n) = n!。 f0 = 1; fn_ := n*fn 1 /; IntegerQn -1 5; 这样定义的规则除了模式与对象表达式必须匹配以 外，同时还要求附加条件也要满足，执行的结果才能 正确。 36/43 7.2.3 函数运算与算子 在数学中算子是完成特定计算或者操作的函数，从 广义的角度来说，可以将函数看成算子，比如数学上 常用的拉普拉斯算子，其实就是完成相应操作的函数 。 对于函数fx，完全可以看成是对对象x施以算子f定 义的算子运算。将函数看成算子，Mathematica系统 提供了对算子进行运算的运算函数，也就是以函数为 变量的函数。 37/43 7.2.3 函数运算与算子 对于函数fx，完全可以看成是对对象x施以算子f定 义的算子运算。将函数看成算子，Mathematica系统 提供了对算子进行运算的运算函数，也就是以函数为 变量的函数。下表列出了几个常用的进行函数运算的 函数。 进行函数运算的函数 函数名称意义 Compositionf，g，函数f，g的复合函数 InverseFunctionf函数的反函数 Identity单位函数 38/43 下面的例子是求函数Sin、Cos和Tan的复合函数 sin(cos(tan(x)，并对该复合函数求反函数： sct = CompositionSin, Cos, Tan InverseFunctionsct 对该复合函数算子给定变量，可以得到函数值： %1 sct1 39/43 Mathematica系统不能自动地将某个算子作用于表 达式，但总是可以借助于一些函数的使用来完成这样 的要求。下表列出了关于算子的一些运算函数。 常用算子运算函数 函数名称意义 Identity单位函数 Throughpf1, f2x给出pf1x，f2x Operatep，fx给出(pf)x Operatep，fx, n在f的n层上运用p 40/43 7.3.4 全局变量与局部变量 前面使用的变量均为全局变量，这样做可能较为危 险，一是会增加内存开支，二是当变量使用较多的情 况下，若后面的程序与前面的程序使用了相同变量， 再次调用前面的程序可能出现奇怪的错误： 【例4-1】 fx_ := (a = 0; Doa = a + i, i, 1, x; a) (*a为1加到x的值*) f4*4 a = 4; fa*a (*有问题*) 41/43 7.3.4 全局变量与局部变量 前面使用的变量均为全局变量，这样做可能较为危 险，一是会增加内存开支，二是当变量使用较多的情 况下，若后面的程序与前面的程序使用了相同变量， 再次调用前面的程序可能出现奇怪的错误： 【例4-1】 fx_ := (a = 0; Doa = a + i, i, 1, x; a) f4*4 a = 4; fa*a 原因是调用fa后，全局变量a的值已经变为10了。 使用模块函数可以解决这个问题，因为模块函数内定 义的变量均为局部变量。 42/43 模块函数的定义格式为： Modulex,y.,模块体 Modulex=x0,y=y0.,模块体 Modulex,y.,表达式/;条件 【例4-2】上例改为： fx_ := Modulea, (a = 0; Doa = a + i, i, 1, x; a) a = 4; fa*a 43/43 【例4-3】利用模块定义函数，如例3-14中的