结构力学图乘法.ppt

1.图乘法原理 建立方程，逐杆积分，在杆件数量多的情况 下不方便。 梁、刚架等弯曲变形为主的构件位移计算公式： 称莫尔积分 图乘法的思想：利用图形静矩的概念将图 形积分变为图形相乘。 4-4 图乘法 2、图乘法的适用条件： （1）杆件轴线是直线； （2）杆段的弯曲刚度EI为常数； （3）图 图 中至少有一个是直线 图形。 3、图乘法公式 杆轴为直线 杆段EI为常数 图乘法是Vereshagin于1925年 提出的，他当时为莫斯科铁路 运输学院的学生。 xc x yc x y C AB Mp dx 4、 注意事项 （1）必须符合图乘法的适用条件； （3）同侧弯矩图相乘为正，反之为负； 必须取自直线图形；（2） 还记得 吗？ （4）拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积 分的方式求解； （5）应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心 位置。 b 几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N 次抛物线 l h 顶点 c 二次抛物线 3 3l l/4/4l l/4/4 3. 图形相乘的几种情况 （1）常见图形面积和形心： 矩 形 三角形 标准二次 抛物线 （2） 梯形相乘 A B C D a b c d 图 图 b c取负值 （3）一般形式的二次抛物线图形相乘 （4）曲线图形与折线图形相乘 （5）阶形杆件图形相乘 M(x) x lx xc C 对于等直杆有对于等直杆有 即即 积分可用积分可用MM( (x x) )图的面积图的面积 和与和与MM( (x x) ) 图形心图形心C C对应的对应的 的乘积来代替的乘积来代替MM c c 当当MM图为正弯矩时，图为正弯矩时， 应代以正号应代以正号. . 当当MM图为负弯矩时，图为负弯矩时， 应代以负号应代以负号. . 也应按弯矩符号给以正负号也应按弯矩符号给以正负号. .MM c c b 几中常见图形的面积和形心的计算公式几中常见图形的面积和形心的计算公式 a l h 三角形 C C l h 顶点 二次抛物线 l h 顶点 c N 次抛物线 l h 顶点 c 二次抛物线 3 3l l/4/4l l/4/4 注意注意 折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法， 有时有时MM( (x x) )图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而为折线，则应以为折线，则应以MM( (x x) ) 然后求其和然后求其和. . 例1 求 , EI等于常数。 解： 作 图 图，如右图所示。 分段： ， 分为AC、CB两段。 分块： 图的AC段分为两块。 A CB 2m2m 2kN/m 16 A 4 C B A 1 C B 2 1 MP 2 y2 y1 如果将AC段的 图如下图那样分块，就比 较麻烦。 16 A 4 C 8 4 图 例2 求 , EI等于常数。 作 图 图，如下页图所示。 4kN 5kN 2kN/m 12kN.m 4kN.m 7kN 4m4m A C B 解： 4kN.m 4kN 2kN/m 2m AC 1/2 1 y1 2 y3 8 12 4 4 MP图 1 3 y2 图 1 A C B B A C （kN.m) 例3 求 , EI等于常数。 解： 作 图及 图， 如右所示。 分段： ， 分 为AB、BC两段。 分块： 图的 BC段分为两块。 6kN/m 7kN 6kN.m 17kN 2m4m A B C 1/61/6 2/3 1/3 1 2 y3 y1 图 图 1412 6 1 3 （kN.m) 1/61/6 2/3 1/3 1 2 y3 y1 图 图 1412 6 1 3 （kN.m) 例5-5 求CH，EI等于常数。 解： AB C 2kN/m EI EI 2kN/m 4m 2m 作MP图和 图见下页图。 分块：MP图的AB段分为两块。 4 2 y3=4 12 1 MP图(kN.m) 2m 2 y2 2 y1 图 1 3 A B C 4 作业： 4-3 (a)；(c) 4-5 互等定理 互等定理适用于线性变形体系，即体系产生的 是小变形，且杆件材料服从虎克定律。 一、 功的互等定理 功的互等本质上是虚功互等。 下图给出状态I和状态II。 状态II AB 12 a b AB 12 ab 状态I 令状态I的平衡力系在状态II的位移上做虚功，得到： 状态II AB 12 a b AB 12 ab 状态I 同样，令状态II的平衡力系在状态I的位移上 做虚功，得到： 所以 即 在任一线性变形体系中，第一状态的外力 在第二状态的位移上所做的虚功W12等于第二状 态的外力在第一状态的位移上所做的虚功W21。 二、 位移互等定理 在任一线性变形体系中，由荷载FP1引起的 与荷载FP2相应的位移影响系数21等于由荷载 FP2引起的与荷载FP1相应的位移影响系数12。 即 12= 21 由功的互等定理可得： 在线性变形体系中，位移ij与力FPj的比值 是一个常数，记作ij，即： 或 状态II 12 状态I 12 12 1 2 说明： 1） ij也称为柔度系数，即单位力产生的位移。 I 产生位移的方位；j 产生位移的原因。 2） FP1和FP2可以是集中力也可以是集中力偶，则相应 的12和21就是线位移影响系数或角位移影响系数。 即荷载可以是广义荷载，而位移则是广义位移。两个 广义位移的量纲可能不等，但它们的影响系数在数值 和量纲 上仍然保持相等。 例1 验证位移互等定理。 解： a/2a/2 1EI FP1=F 21 2 a/2a/2 1EI FP2=M 12 2 F Fa/4 M 1 1 a/4 1/2 M/2 例2 验证位移互等定理。 4m1m 1 EI FP1=5kN.m 21 2 4m1m 1 EI FP2=3kN 2 12 解： 1 5 3 1 1 1 三、反力互等定理 反力互等定理 只适用于超静 定结构，因为 静定结构在支 座移动时只产 生刚体位移， 其内力和支座 反力均等于零 。 12 C1 FR21FR11 状态I 12C2 FR22 FR12状态II 根据功的互等定理有： 在线性变形体系中，反力FRij与Cj的比值为一 常数，记作rij，即 或 所以 得 说明： rij 也称为刚度系数，即产生单位位移所需施加的 力。其量纲为 。 i 产生支座反力的方位； j 产生支座移动的支座。 例6-3 验证反力互等定理。 可见：r12=r21 在任一线性变形体系中，位移C1引起的与位 移C2相应的反力影响系数r21等于由位移C2引 起的与位移C1相应的反力影响系数r12。 1 2 EI l C2=1 12 EI l C1=1 r21 r12 r21=3EI/l2 3EI/l 3EI/l3 r12=3EI/l2 四、位移反力互等定理 根据功的互等定理有： 令 状态I 1 FP1 2 FR21状态II 1 12 2 C2 上述支座可以是其它种类的支座，则支座位移、 支座反力应与支座种类相应。 位移反力互等定理在混合法中得到应用。 上式中力可以是广义力，位移可以是广义位移。