关注学生主动建构--例说新课程高中数学教学设计.ppt

南京外国语学校南京外国语学校 陈光立陈光立 210008210008 实行新课程标准，提高教 学质量，教育理念是灵魂，教 材建设是关键，教师素质是根 本，课堂教学是核心，教学评 价是导向，现代化技术是推进 器. 点 祝愿我们数学教育工作者做出无愧于 时代的贡献，给我们所有的学生 一双能用数学视角观察世界的眼睛， 一个能用数学思维思考世界的头脑， 一副为谋国家富强人民幸福的心肠 张孝达 数学知识是人类认识的一种成果，包括人 对周围事物“数”与“形”方面的经验和“有秩序 的论理体系”两个方面。当前，人们把数学知 识分为明确知识（如数学事实、数学原理等） 和默会知识（如数学思想方法、解决问题的策 略等），这是比较科学的；数学知识、技能类 化（系统化、概括化）的结果就成为数学能力 ；一个人数学素养的高低，主要体现在是否能 “数学地看问题”和“数学地思维”。 M. Kline 在西方文化中的数学中 指出，数学是一种精神，一种理性精神， 正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使 人类的物质、道德和社会生活，试图回答 人类自身存在提出的问题，努力去理解和 控制自然，尽力去探索和确立已经获得知 识的最深刻和最完善的内涵 数学的理性精神被看成西方文明的核心 数学教育方法的核心是学生的再 创造. 教师不应该把数学当作一个已 经完成了的形式理论来教，不应该将 各种定义、规则、算法灌输给学生， 而是应该创造合适的条件，让学生在 学习数学的过程中，用自己的体验， 用自己的思维方式，重新创造有关的 数学知识. Freudenthal 应用 对数学价值的认识 u数学思想对于人类进步和社会发展的重要影响 u数学是探索自然现象、社会现象基本规律的工 具和语言 u纯粹数学的重要作用 u向被教育者提供参与社会生活与建设必要的数 学基础知识和基本技能 教育上的启示 u向被教育者提供必要的智能训练和思维工具， 提高思维水平 u向被教育者展示并使其认识数学在人类社会发展 中的独特而重要作用 u向被教育者提供提出问题、思考问题、解决问题 的机会 传统观念：上课就是不折不扣执行教案 或者事先设定的教学思路的过程，教学 活动是教师主导的独角戏，而且主要是 完成知识传授而不需顾及学生情感的独 角戏. 新的教育理念：教学过程是展示学生展示学生的过 程，是让学生展示让学生展示的过程.焕发出生命活 力的课堂才是理想的课堂. 一、关注学生主动建构 改进学生学习方式是数学教育改革的核心改进学生学习方式是数学教育改革的核心 我国的数学教育比较强调教师的传授，强 调经过学生艰苦努力，反复的练习而达到对知 识的理解，而对学生的自主探究、合作交流等 重视不够，学生学得比较被动所以，把发挥 学生主动性，变被动学习为主动学习主动学习，重视学 生亲身实践实践，给学生提供探索探索的空间，使学习 过程成为学生在自己已有经验基础上的主动建主动建 构构过程等作为改革的重点，有现实意义 学生的学习活动不应只限于接受、记忆、 模仿和练习，新课程倡导自主探索、动手 实践、合作交流、阅读自学等学习方式 这些方式有助于发挥学生学习的主动性， 使学生的学习过程成为在教师引导下的“ 再创造”过程. 这有利于激发学生的学习 兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立 思考、积极探索的习惯， 体验知识的发现 和创造历程，发展他们的创新意识. 积比 当前，强调学生对研究过程的参与以及对科学 概念、科学方法、科学态度的全面掌握为目标 的探究教学已成为一种基本教学模式然而， 改进学生学习方式并不等于排斥接受学习实 际上，接受学习并不一定就是被动的“举一 反三”“融会贯通”“触类旁通”等都是能动 的接受学习的写照学习方式的被动或主动， 关键并不在于它是“接受的”还是“发现的” ，而在于教学活动中学生主体的思维参与程度 ，能否为学生创设更多的主动建构的机会 现代教育理论研究认为: 教育现代化等于“ 情感化”加上“技术化”. 改革课堂教学、提高课堂教学质量,让学生积极参 与教学过程的关键是教师教育观念的转变,是教学方法 的情感化. 师生之间的情感交流,师生间心理距离的接近,师 生之间、学生之间的相互激励作用,无疑会大大提高课 堂教学的效率.从某种意义上讲,良好的师生关系与和 谐的学习氛围已成为比讲课本身更重要的学习因素. 相互尊重相互尊重 平等对话平等对话 选择微笑选择微笑 学会倾听学会倾听 善待挫折善待挫折 宽容失败宽容失败 鼓励探索鼓励探索 因势利导因势利导 二、发展以学生为主体的教学 所有教学都归结为两个字：所有教学都归结为两个字：主动. . 学生学生 主动学习是最终的目标主动学习是最终的目标. . 学生是自己活动中学生是自己活动中 的主体，他们必须通过自主活动来认识事物、的主体，他们必须通过自主活动来认识事物、 掌握知识，使自己的身心获得发展教师必须掌握知识，使自己的身心获得发展教师必须 为学生主动学习提供空间，为学生主动学习提供空间，教师就是为学生设 计一个主动思维的舞台，创设主动建构的情境 ，而不只是提供主动获取知识的机会. . 知识不知识不 是目标，而是通过知识的获得过程，使学生形是目标，而是通过知识的获得过程，使学生形 成科学的思维方式，使学生获得研究方法成科学的思维方式，使学生获得研究方法. . 现代教育正在从“知识中心”向“ 人本中心”转化，它使教育更关心学生 个性充分、自由、自主、全面的发展. 教师要给学生提供的是学习资源、学习 方法和学习氛围，帮学生搭建知识的“ 脚手架” ，让学生主动、积极地攀向 知识的高峰，真正成为学习的主人！ 教师应该具备真正的学生意识 (是否 按照学生思维来思考教学 )、童年意识( 是否把学生提出的稚嫩问题和“天真” 想法当作宝贵的教学资源 ) 教师应该知道敬畏生命，并以“给知识给知识 注入生命，知识因此而鲜活，给生命融入注入生命，知识因此而鲜活，给生命融入 知识，生命因此而厚重知识，生命因此而厚重” 这样的座右铭来 激励自己。 教师也是教学过程中的主体，因为教师是 教学过程的认识者、组织者，他对教学过程所 涉及的各种因素(如教学内容、学生)进行认识 ，这是一个科学探索的过程，是体现教师创造 性的过程课堂教学对教师而言，“不只是为 学生成长所作的付出，不只是别人交付任务的 完成，它同时也是自己生命价值和自身发展的 体现” 教学过程中教师的主导是他发挥主 体作用的一种具体表现形式 课堂教学过程中，“双主体”观 更能客观地反映师生关系：学生是学 的主体，主要表现在思维的自主；教 师是教的主体，是整个教学活动的设 计者、组织者和引导者 主导主导 主体主体 主线主线 理想教师应该是 一个胸怀理想、充满激情和诗意的教师 一个自信、自强，不断挑战自我的教师 一个善于合作、具有人格魅力的教师 一个充满爱心、受学生尊敬的教师 一个追求卓越、富有创新精神的教师 一个关注人类命运、具有社会责任感的教师 一个坚韧、刚强、不向挫折弯腰的教师 一名理想的教师，应该不断地追求成一名理想的教师，应该不断地追求成 功，设计成功，更重要的是撞击成功功，设计成功，更重要的是撞击成功 定位、设计、操作、反思 三、关于课堂教学的四个环节 1定位：课标教材学情目标 2设计：目标过程方法手段 （教学情境、新授课、习题课、复习课） 良好的教学情境能促进学生主动学习教学 情境是一堂课的起点，对课堂教学的成败起着十 分重要的作用 u重视课堂教学情境设计 情境设计应贴近学生生活，切忌舍近就远生搬硬套 情境设计应紧扣教学目标，切忌喧宾夺主随意编造 情境设计应讲究教学效益，切忌故弄玄虚花里胡哨 情境设计应根据实际需要，切忌乱用媒体追求新潮 情境设计应注重整体贯通，切忌有头无尾穿鞋戴帽 新课程倡导教学设计的特点有效教学的保证 它不是对课堂情景进行面面俱到的预设，它只 描述大体的轮廓，它只明确需要努力实现的三维 目标，它给各种不确定性的出现留下足够的空间 并把这些不可预测的事件作为课堂进一步展 开的契机 它是教师构思教学的过程，它凝聚着教师对教学 的理解、感悟和教育的理想、追求，闪烁着教师的 教学智慧和创造精神一句话，它是教师教学过程 中的创造性劳动 它是课前构思与实际教学之间的反复对话，是一 次次实践之后的对比、反思和提升，它一直处于自我 校正、自我完善的动态发展之中至少，它的重要意 义并不体现在课前的一纸空文，而是展现于具体的教 学过程、情境和环节之中，完成于教学之后 它始终充满悬念，因而可能不断产生令人激动的 亮点惟其如此，它才能与教学现实实现融合，并因 此而丰富自己，获得旺盛的生命力，才有可能凝炼为 可供愉悦对话的文本 加强校本教研，重视集体备课下的再创造 设计好一个初始问题就从根本上设计好了一节课， 因为学生解决初始问题的活动是按照一定的规律展开， 可以说，在初始问题确定以后，课的大体发展方向和框 架就已经确定了它是会按照自身的逻辑展开的 教师在设计好初始问题(以及提出问题的方案)，准 备好概略性解决方案(不止一个)和几种适应学生状况的 思维模式以后，再重点地弄清关键部分的细节，就可以 去上课了当然，在上课时你可能会遇到不少意外的情 况,但是只要坚持过程性教学原则，不回避问题和矛盾， 只要熟悉并应用数学文化的规范，就一定会上好课 而且会出乎意料的精彩、自然和富有创造性 3操作：二次创造 实践检验 反馈评价 教学机智 (1) 教学情境 (2) 师生互动 (3) 因势利导 (4) 评价小结 反思是教师职业成长的发动机 反思的作用： 一是通过强调教师对自己的教学实践的考察， 立足于对自己的行为表现及其行为之依据的回顾、 诊断、自我监控和自我调适达到对不良的行为、方 法和策略的优化和改善，提高教学能力和水平，并 加深对教学活动规律的认识理解，从而适应不断发 展变化着的教育要求 二是赋于教师新的角色定位：教师成为研究者 ，使教师工作获得尊严和生命力，表现出与其他专 业如律师、医师相当的学术地位 4反思 成长经验反思 如果一个教师仅仅满足于获得经验而不对经 验进行深入的思考，那么，他永远只能停留在一 个新手型教师的水准上 对课堂上遇到的问题进行调查研究； 每天记录自己在教学工作中获得的经验、心得， 并与指导老师共同分析； 与专家型教师相互观摩彼此的课，然后与对方交 换看法 教学反思是青年教师成长的捷径之一 教学案例教学案例 v提高数学素养 课堂教学总的要求： v提供知识背景 v创设问题情境 v展示思维过程 v培养数学能力 参数方程 点距点距 回顾反 思 问题情境 学生活动 意义建构 数学理论数学运用 提出问题体验数学感知数学 建立数学理解数学应用数学 内容组织主要形式 l问题情境：包括实例、情景、问题、叙述 等 意图：提出问题 l学生活动：包括观察、操作、归纳、猜想 、验证、 推理、建立模型、提出方法等个 体活动，也包括讨论、合作、交流、互动 等小组活动； 意图：体验数学 l意义建构：包括经历过程、感受意义、形 成表象、自我表征等. 意图：感知数学 l数学理论：包括概念定义、定理叙述、模 型描述、算法程序等 意图：建立数学 l数学运用：包括辨别、解释、解决简单问 题、解决复杂问题等 意图：运用数学 l回顾反思：包括回顾、总结、联系、整合 、拓广、创新、凝缩（由过程到对象）等 意图：理解数学 案例1 函数的概念 问题1： 在初中我们是如何认识函数这个概念的？ ( (一一) )问题情境问题情境 教师提出本节课的研究课题：教师提出本节课的研究课题： 在初中，我们把函数看成是刻画和描述两在初中，我们把函数看成是刻画和描述两 个变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将个变量之间依赖关系的数学模型，今天我们将 进一步学习有关函数的知识进一步学习有关函数的知识. . (二)学生活动 1让学生就问题1略加讨论，作为讨论的一 部分，教师出示教材中的三个例子，并提出 问题2 2问题2：在上面的例子中，是否确定了函 数关系？为什么？ 通过对问题2的讨论，帮助学生回忆初中 所学的函数概念，再引导学生回答问题1 函数的传统定义：变量的观点函数的传统定义：变量的观点 f (t)， t0，24 10 O 2 4 6 8 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 / 0C t /h 2 (三)建构数学 1建构 问题3：如何用集合的观点来理解函数的 概念？ 问题4：如何用集合的语言来阐述上面3 个例子中的共同特点？ 结论：函数是建立在两个非空数集之间 的单值对应 2 2反思反思 （1 1）结论是否正确地概括了上面例子的共同）结论是否正确地概括了上面例子的共同 特征特征? ? （2 2）比较上述认识和初中函数概念是否有本）比较上述认识和初中函数概念是否有本 质上的差异？质上的差异？ （3 3）一次函数、二次函数、反比例函数等是）一次函数、二次函数、反比例函数等是 否也具有上述特征？否也具有上述特征？ （4 4）进一步，你能举出一些）进一步，你能举出一些“ “函数函数” ”的例子吗的例子吗 ？它们具有上述特征吗？它们具有上述特征吗？ （作为例子，可以讨论课本P24练习） 一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某 种对应法则 f，对于集合A中的每一个元素 x，在集合 B中都有惟一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从 A 到 B的一个函数(function)，通常记为 yf (x)，x A 其中，所有的输入值 x 组成的集合A叫做函数yf (x) 的定义域(domain) 问题5：如何用集合的观点来表述函数的概念？如何用集合的观点来表述函数的概念？ 给出函数的定义指出对应法则和定义域是构成一个 函数的要素 (四)数学理论 函数的近代定义：集合语言、对应的观点函数的近代定义：集合语言、对应的观点 (五)数学运用 1定义的直接应用 例1（课本P23例1） 例2（课本P23例2） 2已知函数确定函数的值域 例3（课本P23例3） (注意把握难度) (六)总结反思 问题6：“初中的”函数定义和今天的定 义有什么区别？ 问题7：你认为对一个函数来说，最重要 的是什么？ (一)问题情境 1情境：第2.1.1开头的第三个问题； 2问题：说出气温在哪些时间段内是升高的或下降的？ 你在图象中，读到哪些信息？ 怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气 温逐步升高”这一特征？ 10 O 2 4 6 8 1 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 / 0C t /h 2 案例2 函数的单调性 （1） y x O y2x1， xR y(x1)21， xR （2） y x O 1 12 ( (二二) )学生活动学生活动 问题1：观察下列函数的图象（如图1），指出 图象变化的趋势 6 5 4 3 2 1 -1 x y y= 1 x O 问题2：你能明确说出“图象呈逐渐上升趋 势” 的意思吗？ 在某一区间内， 当x的值增大时，函数值y也增大 图象在该区间内呈上升趋势 当x的值增大时，函数值y反而减小 图象在该区间内呈下降趋势 函数的这种性质称为函数的单调性 (三)建构数学 问题3：如何用数学语言来准确地表述函数的 单 调性呢？ 怎样表述在区间（0，+）上当x的值增 大时，函数y的值也增大？ 能不能说，由于x1时，y3；x2时 ，y5就说随着x的增大，函数值y也随着 增大? 能不能说，由于x1，2，3，4，5，时 ，相应地 y3，5，7，9，就说随着x的增 大，函数值 y 也随着增大？ 如果有n个正数x10，这表明此函数图象 在区间(2, 3)上穿过x轴一次，可得出方程在区 间(2,3)上有惟一解. 问题3不解方程，如何求方程x2-2x-1=0的 一个正的近似解（精确到0.1）? 思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 由于2.375与2.4375的近似值都为 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。 数离形时少直观，形离数时难入微！ 2 - 3 + x y 1 2 03 y=x2-2x-1 -1 2 - 3 + 2.5 + 2.25 - 2.375 - 2 - 3 + 2.25 - 2.5 + 2.375 - 2.4375 + 2 - 2.5 + 3 + 232.5 2 - 3 + 2.5 + 2.25 - 22.5 2.25 由于2.375与2.4375的近似值都为 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。 1简述上述求方程近似解的过程 x1(2,3) f(2)0 x1(2,2.5) f(2)0 x1(2.25,2.5) f(2.25)0 x1(2.375,2.5) f(2.375)0 x1(2.375,2.4375) f(2.375)0 f(2.5)=0.250 f(2.25)= -0.43750 通过自己的语言表达，有助于对概念、方法的理解 ! 2.375与2.4375的近似值都是2.4, x12.4 解：设f (x)=x2-2x-1，x1为其正的零点 对于在区间a,b上连续不断，且f(a)f(b)0 f (x)在(0,2)内有惟一零点， 方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0. 由f (1)= -10 得：x0(1,2) 由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10 得：x0(1.25,1.5) 由f (1.375)= -0.0310 得：x0(1.375,1.5) 由 f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0 得： x0(1.375,1.4375) 1.375与1.4375的近似值都是1.4, x01.4 1. 利用y=f(x)的图象,或函数赋值法(即验证f(a)f(b)0), 判断近似解所在的区间(a, b). ； 2“二分”解所在的区间, 即取区间(a, b)的中点 3计算f (x1)： (1)若f (x1)0，则x0x1； (2)若f (a)f(x1)0，则令bx1 (此时x0(a, x1); (3)若f (a)f(x1)0，则令ax1 (此时x0(x1,b). ； 4判断是否达到给定的精确度，若达到，则得出近似 解；若未达到，则重复步骤24 问题6: 能否给出二分法求解方程f(x)=0 (或g(x)=h(x)近似解的基本步骤？ 练习1： 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01) 画y=x3+3x-1的图象比较困难， 变形为x3=1-3x，画两个函数的图象如何？ 知识拓展 介绍如何利用excel来 帮助研究方程的近似解？ x y 10 y=1-3x y=x3 1 有惟一解x0(0,1) excel 练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能 用二分法求其零点的是 （ ） C x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 问题7:根据练习2，请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么？ 1. 函数y=f (x)在a,b上连续不断 2. y=f (x)满足 f (a)f (b)0，则在(a,b)内必有零点. 思考题 从上海到美国旧金山的海底电缆有 15个接点，现在某接点发生故障，需及时 修理，为了尽快断定故障发生点，一般至 少需要检查几个接点？ 1 2 34 5 6 78 9 10 11 12 13 14 15 回顾反思(理解数学) 课堂小结 1.理解二分法是一种求方程近似解的常用 方法 2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近 似解，体会程序化的思想即算法思想 3.进一步认识数学来源于生活，又应用于 生活 4.感悟重要的数学思想：等价转化、函数 与方程、数形结合、分类讨论以及无限 逼近的思想. 另一案例 案例4 点到直线的距离 （课堂教学实录） 点P(2,5)到直线 l 的距离 d =_. 则直线 l 的方程为_. 已知直线 l 经过点R (2, 1) 和 S (-1, 5), 3x 4y+14=0 则l1的方程为_. 过点 P (2, 5) 作直线 l1l， 设l、l1交于Q , 由 4x+3y 11=0 3x 4y+14=0 4x+3y 11=0 得: 3(x-2) -4(y-5)=0 导入 问题 已知：点P (x0 , y0) 和直线 l: Ax+By+C=0 求点P到直线l 的距离. 分析1 过点P作l1l ，垂足为Q，则 |PQ| 就是点P 到 直线l 的距离. 依题意 l1: B x-Ay-Bx0+Ay0=0 Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0 Q(x, y)满足: 结论 点P (x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为 : A(x-x0)+B( y-y0)= -Ax0-By0-C - B(x-x0)A( y-y0)=0 - Ax+By+C=0 B x-Ay-Bx0+Ay0=0 Q(x, y)满足: 换个换个角度思考角度思考 重新构造方程重新构造方程 2+2： (A2+B2)(x-x0)2+( y-y0)2=(Ax0+By0+C)2 设而不求，整体代入 分析2 设M(x, y)是直线 l 上的一个动点, 则P到直线 l 的距离就是 |PM| 的最小值. 动画 刚才你在计算时画图了吗? |PS|=3，|PR|=4，|RS|=5 充分挖掘充分挖掘 潜在的几何条件潜在的几何条件 若直线 l 经过点R (2, 1) 和 S (-1, 5), 则直线 l 的方程为 4x+3y-11=0 . 过点P(2,5)垂直于l 的方程为3x4y+14=0， 点P(2,5)到直线 l 的距离 d = . 回忆前面的练习 分析3当A.B0 时, 直线 l 与x 轴、y 轴都相交.过P分别 作x 轴、y 轴的平行线,交直线l 于S 、R两点, 则RtPRS 中斜边RS上的高PQ的长就是P到直线 l 的距离. 由P (x0 , y0)及l: Ax+By+C=0 设S(x1, y0),R(x0, y2),则 得: Ax1+By0+C=0 Ax0+By2+C=0 当A=0或B=0 时仍适用 1. 当P(x0 ,y0)在直线 l: Ax+By+C=0上时, d=0. 2. 当A=0或B=0时,公式也适用. 但可以直接求距离. 结论 点P (x0 , y0)到直线 l: Ax+By+C=0的距离为: 另有分析4，有兴趣的可课后探索（见后） 例1.求点 P ( -1, 2 ) 到下列直线的距离: 2 x + y 10 =0 3 x =2 解: 因为直线3x=2平行于y轴, 所以 练习2 A(-2,3)到直线 3x+4y+3=0的距离为_. B(-3,5)到直线 2y+8=0的距离为_. 9 0 练习1 求原点到下列直线的距离： (1) 3x+2y-26=0 (2) y=x 例2. 求平行线 2x -7y +8=0 和 2x -7y -6=0 的距离. 解: 在直线 2x -7y -6=0 上取 P( 3, 0), 则 P( 3, 0)到 直线 2x -7y +8 =0 的距离就是两平行线间的距离. 猜想猜想 两条平行线 A x+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0的距离公式是什么? 例4. 边长为4 的正方形中心为Q (1,-1), 一边的斜率为 , 求正方形各边所在直线的方程. 例3. 在抛物线 y=4x2 上求一点P, 使P到直线 l: y=4x-5 的 距离最短,并求出这个最短距离. 解:依题意设 P(x,4x2), 则P到直线l: 4x- y-5=0的距离为 作业：P54 / 13、14、15、16. R tan2= tan2= (90) 如图RtPR中, |PQ|=|PR|cos分析4 = 或= 180( 是倾斜角) 课后探索 教师提供知识背景，创设问题情境，让学生 从不同的角度分析比较, 寻求计算点到直线距离 的方法, 从按常规思路“求交点算距离”、到观察 动画从变化的角度构造函数求“极值”，再挖掘几 何条件“形数结合”，在直角三角形中求解。通过 特殊到一般的运算, 由具体到抽象，探索得到点 到直线的距离公式 。教师参与讨论并适时点拨， 师生互动，学生在获取知识的同时，得到一次有 益的思维训练，有利于能力的提高。 解斜三角形中，用向量方法推导正弦定理的思考 从三角形中最基本的向量关系式入手： 案例5 向量方法推导正弦定理 变化1 变化2 变化3 参数方程的意义 普通高中课程标准实验教科书 选修 4-4 （新课导入片断） 案例6 参数方程的意义 坐标系的思想是17世纪著名哲学家、数学家 笛卡儿在以前的一些朴素的的思想和零星的问题 中比较系统地提出来的笛卡儿的工作标志着数 学的发展进入了一个新的时代，为牛顿莱布尼 兹创立微积分和近代数学的发展奠定了基础实 际上，坐标系不仅仅是解析几何的基础，也是研 究其他几何问题、函数问题、方程问题等等的基 础坐标系的思想是现代数学最重要的基本思想 之一，它是联系几何与代数的桥梁，充分地反映 了数形结合的思想，它可以给出几何问题的代数 表示，也可以给出代数问题的几何背景 T：现在我们这样建立平面直角坐标系，每一个同学 对应着第一象限的一个格点，第一排同学的纵坐标 是1, 第一列同学的横坐标是1，相邻两个同学的间距 是1个单位下面，我就按坐标来提问首先请 (1,2) 同学回答你对应的点到原点的距离是多少? S(1,2): T: 请(3,3)同学计算经过你和第一位同学对应的点的直 线斜率. S(3,3): T: (5,4)同学, 你对应的点在刚才两点所确定的直线上 吗? 为什么? S(5,4): 在! 因为刚才两点确定的直线 l: 即 x -2y +3=0 经过点 (5,4). T: 完全正确! 下面大家猜猜我该提问谁了? (学生先茫然，后议论纷纷) T: 回想一下,我第1 次喊的是(1,2), 第2 次喊的是(3,3), 第3 次喊的是(5,4), 那么第4 次该论到谁呢? 如果猜出 来了, 大家都向她瞧! (逐渐地,有人把目光投向(7,5)同学, 接着她自己站起来了). T: 为什么是你呢? S(7,5): 因为点 (7,5) 在直线 x -2y +3 =0 上. T: 该直线上不止一个整点，为什么轮到(7,5)呢? S(6,1): 横坐标是连续的奇数, 纵坐标是从2开始的自然数. T：很好！再想一想，为什么第4次轮到(7,5)? 照此规律 ，我第8次又该喊谁呢? 请考虑一下横坐标和纵坐标分 别与我喊的序号有什么关系? S(4,3)：纵坐标是序号加1, 横坐标是第“序号”个奇数. T: 能用数学语言来表示吗? S(2,4)：设序号为n, 则 x=2n-1, y=n+1. 也就是说 x，y分 别是 n 的函数. S(2,6)：因为前几个同学对应的点的横、纵坐标分别是 公差为 2 和 1 的等差数列. 在刚才的讨论中,我们发现x与y的关系不明 显, 但它们都是变数n的函数, 而变数n 既沟通 了x与y 的联系,又刻画了动点的运动规律, 功不 可没! 我们还不难发现, 当变数n在正整数集合 中取值时, 点(x,y) 的轨迹是直线 x-2y +3 =0 上 孤立的点列; 当 n 在实数集合中取值时, 点 (x,y) 的轨迹是直线 x -2y +3 = 0 . 也就是说，直线l : x -2y +3 = 0上任意一点 的坐标都是某个变数t 的函数: 并且对于每一个实数t, 由方程组(1)所确定的点 M (x,y) 都在直线l 上. 方程组 表示直线 . 我们把它叫做直线的参数方程, t 叫做参变数 ,简称为参数. ( x -2y +3 = 0 叫做普通方程) 结论 T：直线的参数方程，你还能写出别的曲线的参数方程吗？ 单位圆上的点能用一个变量来表示吗？ 你能写出单位圆的参数方程吗？ x cos ysin 你能写出单位圆的方程吗？ 单位圆的参数方程 x2y21 抛 以C (a, b)为圆心，r 为半径的圆呢？ 例1求椭圆的参数方程 例2求炮弹运行轨迹的参数方程(略) 参数的作用：沟通动点坐标的联系, 刻画动点运动的规律. 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点M的坐标x和y都可以表示为某个变量 t 的函数 ，反过来，对于t 的每个允 许的值，由方程组(1)所确定的点M(x, y)都在曲 线C上，那么，方程组(1)叫做曲线C的参数方程 ，变量t 是参变数，简称为参数 xf (t) yg(t) (1) 相对参数方程而言，原先的方程称为普通方程 xt cos yt sin (是参数)参数方程 与 xt cos yt sin (t是参数) 表示的曲线一样吗？ 思考2 通过本节课的学习，你有什么收 获或体会？ 小结 思考1 试画方程 表示的曲线 这个参数方程能化成普通方程吗？ 画 参数方程是学生第一次接触的新概念,如 何从学生原有的认知结构出发,创设情景,让 学生参与概念的产生和发展过程, 从中领悟 参数的作用以及建立参数方程的可能性和必 要性,就显得十分重要.本节课概念引入的设 计贴近学生实际,从学生熟悉的知识出发,引 导学生积极思维去探索未知问题的规律,认识 概念的内涵,留下了较深刻的印象, 取得较好 的效果. 世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所感觉，而有些变化 却让人们发出感叹与惊呼例如 苏州市2004年4月20日最高气温为33.4，而此前的两天，4月 19日和4月18日最高气温分别为24.4和18.6，短短两天时间， 气温“陡增”14.8，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！” 但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气温3.5与4月18 日最高气温18.6进行比较，我们发现两者温差为 15.1，甚至超 过了14.8而人们却不会发出上述感叹 这是什么原因呢？ 原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢” 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？ 这样的数学模型有哪些应用？ 只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状 态，而且也表明过程：运动 恩格斯 案例7 导数及其应用 203034 2 10 20 30 A(1, 3.5) B(32, 18.6) 0 C(34, 33.4) T() t(天) 图4-1-1 210 如何量化陡峭程度呢？ 容易看出B，C之间的曲线较A，B之间的曲线更加“陡 峭”陡峭的程度反映了气温变化的快与慢 1.1.1平均变化率 在本章引言的案例中， “气温陡增”的数学意义是什 么呢？为了弄清这个问题，我们先来观察下面的气温曲 线图（以3月18日作为第一天） 例1 婴儿从出生到第12个月的 体重变化(如图)，试分别计算 从出生到第3个月与第6个月 到第12个月该婴儿体重的平 均变化率 甲 乙 图4-1-3 例2 水经过虹吸管从容器甲中 流向容器乙(如图)，t秒钟后容 器甲中水的体积为 V (t)=5e0.1t(单位cm3) ， 计算第一个10秒内V 的平均变 化率 3. 5 8. 6 11 612 t(月) W(kg) 图4-1-2 3 6. 5 例3 已知函数f (x) = x2，分别计算函数f (x)在区间 1, 3, 1, 2, 1, 1.1, 1, 1.001上的平均变化率 例4 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = 2x，分别计 算在区间3，1， 0，5上函数 f (x)及g (x)的平 均变化率 思考 从例4的求解中，你能发现一次函数ykxb 在区间 m, n 上的平均变化率有什么特点吗？ 1.1.2 瞬时变化率导数 如何精确地刻画曲线上一点处的变化趋势呢？ P 放大 再放大 P P 如果将点 P 附近的曲线放大后进行观察我们发 现，曲线在点 P 附近看上去有点像是直线 如果将点P附近的图形放大再放大，我们发现，曲 线在点P附近的曲线看上去几乎成了直线事实上，如 果继续放大，可以发现点P附近的曲线将接近（逼近） 一条确定的直线 l，该直线 l 是经过点P的所有直线中最 逼近曲线的一条直线 1曲线上一点处的切线 因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲 线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线，即 在很小范围内以直代曲 P 放大 再放大 P P P 放大 再放大 P P 既然点P附近的曲线被看作直线l，从而可用直线l的 斜率刻画曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势” 怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l 呢？ 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线 的割线随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越 逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P 处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线 利用这种割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切 线的斜率 例1 已知f(x) = x2，求f (x)在x = 2处的切线斜率 2瞬时速度与瞬时加速度 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比，称为平 均速度平均速度是物体运动快慢程度的量化，但它是针 对某一时间段而言的在变速运动中，每一时刻的速度都 是不同的，那么如何精确刻画每一时刻的速度呢？ 例2 10米高台跳水，运动员从腾空到入水的过程中，不同时刻 的速度是不同的假设t秒后运动员相对于水面的高度为 H(t) = 4.9t2 + 6.5t + 10， 试确定t = 2秒时运动员的速度为多少？ 例3 设一辆轿车在高速公路上作匀加速直线运动，假设t秒时的 速度为v(t) = t2 + 3求t = t0秒时轿车的加速度 3导数 前面的实际问题都涉及了一个相同的数学模型 导数： 设函数y = f (x)在区间(a, b)上有定义，x0(a, b)， 当x无限趋近于0时，比值 则称f (x)在点 x = x0 处可导，并称该常数A为函数f (x) 在点x = x0处的导数（derivative），记作 f (x0) 若f (x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f (x)在 各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自 变量x的函数，该函数称为的导函数，记作f (x) 二 项 式 定 理 （课 堂 教 学 实 录） 案例8 二项式定理 有 n 个口袋，每个口袋都同样装有一红一黑两 个小球，现依次从这些口袋中各取出一个小球，共有 _种不同的取法； “无黑” (全红) 的取法有_种； “恰有2个黑球”的取法有_种； “恰有r 个黑球”(rn) 的取法有_种； “全是黑球”的取法有_种.