同济理论力学有关自由度.ppt

约束、自由度与广义坐标 一、问题的提出 物体系统根据其与外界环境之间的关系，可分成自由系 统与非自由系统。 研究约束质点系的力学问题，必须阐明约束，自由度与 广义坐标的概念。 二、约束 1.约束概念 约束就是限制物体任意运动的条件。 刚体静力学研究约束, 是探究约束的原因-约束力 运动学研究约束,是探究约束的结果-运动的限制 2.约束方程 (1) 坐标 确定一个自由质点在空间的位置需要三个独立参数， 这些参数或代表长度或代表角度，统称坐标。 (2)位形 对于由n个质点组成的自由质点系，则需要3n个独立 坐标，这3n个的坐标集合称为质点系的位形。 (3)约束方程 约束可以通过联系坐标、坐标的时间导数以及时间t 之间的关系的数学方程组加以描述，这些数学方程组称之 为约束方程。 3. 约束分类与约束方程一般形式 n个质点组成的质点系，约束方程的一般形式为： (r=1,s)约束方程的个数为：s 约束方程中不含: 时为几何约束, 反之为运动约束。 约束方程的特例: 约束方程中不含: 不显含时间t时为定常约束, 反之为 非定常约束。 约束方程中以等号表示时:为双面（固执）约束, 反之 为单面（非固执）约束。 几何约束 x y O A z x y z M 曲面上的质点： 单摆: 运动约束 几何约束 运动约束 纯滚动的圆轮： 定常几何约束 x y O A z 单摆: 非定常几何约束 单摆 OA为刚性杆： x y O A z OA为柔绳： 双面约束：在约束方程中用严格的 等号表示的约束。 单面约束：在约束方程含有不等号 表示的约束。 完 整 约 束 1.位移约束-全部几何约束 2.运动约束可积分-纯滚动的圆轮; 非 完 整 约 束 运动约束不可积分-如碰撞系统, 摩擦系统等. 静力学问题中的约束都是定常几何约束。 本教材动力学研究：定常、双面、完整约束。 三、广义坐标、自由度 自由度：唯一确定质点系空间位置的独立参变量个数 平面质点 : 空间质点 : 广义坐标：用以确定质点系位置的独立参变量 i=1,2, n n个质点， 一般地： 自由度为k，取广义坐标： 1.基本概念 自由度数定义为质点系解除约束时的坐标数减去约束方程数 与自由度相对应的独立坐标就是广义坐标 2.自由刚体的自由度 最简单的刚体由4个质点用6根刚杆组成几何不变体( 形如四面体)，则自由刚体的自由度为： 此后每增加一个质点就增加3根刚杆。 连接质点的刚杆数为： 每一根刚杆相当于一个约束，所以约束数为： 自由度数为： n4 3.自由刚体的广义坐标 基点的直角坐标和欧拉角 或卡尔丹角 自由刚体的广义坐标。 组成的6个独立参变量就是 它们被用于描述刚体的位形。 4.受约束刚体的自由度 设刚体数为m，则 k = 6m -S 4、约束刚体的自由度与广义坐标 约 束刚体的自由度与广义坐标根据其运动 形式不同有所减小，下表给出刚体在不同的运 动形式时的广义坐标数。 刚体约束情况自由度广义坐标 刚体上一轴被约束 （定轴转动） 1 刚体上一点被约束 （定点运动） 3 刚体被限制作平面平行运 动（自由的平面运动） 3 刚体被限制作平行移动（ 平移） 3 广义坐标 自由度 本例为质点与刚体 五 总 结 (1)检查刚体(质点)数目 n。 (2)检查各刚体的运动形式。 (3)列写出约束方程。 (4