2015年数学一真题解析.pdf

版权所有版权所有翻印必究翻印必究 1中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966 2012015 5 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学（一）试题数学（一）试题 一一、 选择题选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求只有一个选项符合题目要求 的的,请将所选项前的字母填在请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. (1)设函数( )f x在, 内连续，其中二阶导数( )fx的图形如图所示，则曲线 ( )yf x的拐点的个数为() (A)0(B)1(C)2(D)3 【答案】 （C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数 异号。因此，由( )fx的图形可得，曲线( )yf x存在两个拐点.故选（C）. (2)设 2 11 () 23 xx yexe是二阶常系数非齐次线性微分方程 x yaybyce的一个 特解，则() (A)3,2,1 abc (B)3,2,1 abc (C)3,2,1 abc (D)3,2,1abc 【答案】 （A） 【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程的系数，此 类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是 根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】由题意可知， 2 1 2 x e、 1 3 x e为二阶常系数齐次微分方程0yayby的解，所以 2,1 为特征方程 2 0rarb的根，从而(1 2)3a ，1 22b ，从而原方程变为 32 x yyyce，再将特解 x yxe代入得1c .故选（A） 2 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 (3) 若级数 1 n n a条件收敛，则3x与3x依次为幂级数 1 (1) n n n nax的 () (A) 收敛点，收敛点 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】 （B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a 条件收敛，即2x 为幂级数 1 (1)n n n ax 的条件收敛点，所以 1 (1)n n n ax 的 收敛半径为 1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1)n n n nax 的收敛区间 还是(0,2).因而3x 与3x 依次为幂级数 1 (1)n n n nax 的收敛点，发散点.故选（B）. (4)设D是第一象限由曲线21xy ，41xy 与直线yx，3yx围成的平面区域， 函数,fx y在D上连续，则, D fx y dxdy () (A) 1 3sin2 1 42sin2 cos , sindf rrrdr (B) 1 sin23 1 42sin2 cos , sindf rrrdr (C) 1 3sin2 1 42sin2 cos , sindf rrdr (D) 1 sin23 1 42sin2 cos , sindf rrdr 【答案】 （B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出 D 的图形， y o 版权所有版权所有翻印必究翻印必究 3中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966 所以( , ) D f x y dxdy 1 sin23 1 42sin2 ( cos , sin )df rrrdr ，故选（B） (5) 设矩阵 2 111 12 14 Aa a ， 2 1 bd d ，若集合 1,2 ，则线性方程组Axb有无 穷多解的充分必要条件为() (A),ad (B),ad (C),ad (D),ad 【答案】D 【解析】 22 11111111 ( , )120111 1400(1)(2)(1)(2) A badad adaadd ， 由 ( )( , )3r Ar A b ，故 1a 或 2a ，同时 1d 或 2d 。故选（D） (6)设二次型 123 ,f x x x在正交变换为xPy下的标准形为 222 123 2yyy，其中 123 ,Pe e e，若 132 ,Qee e，则 123 ,f x x x在正交变换xQy下的标准形 为() (A) 222 123 2yyy (B) 222 123 2yyy (C) 222 123 2yyy (D) 222 123 2yyy 【答案】(A) 【解析】由x Py ，故 222 123 ()2 TTT fx AxyP AP yyyy .且 4 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 200 010 001 T P AP . 100 001 010 QPPC 200 ()010 001 TTT Q AQCP AP C 所以 222 123 ()2 TTT fx AxyQ AQ yyyy 。选（A） (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则() (A) P ABP A P B(B) P ABP A P B (C) 2 P A P B P AB(D) 2 P A P B P AB 【答案】(C) 【解析】由于,ABA ABB，按概率的基本性质，我们有()( )P ABP A且()( )P ABP B， 从而 ( )( ) () 2 P AP B P AB ，选(C) . (8)设随机变量,X Y不相关，且2,1,3EXEYDX，则2 E X XY() (A)3(B)3(C)5(D)5 【答案】(D) 【解析】 22 (2)(2)()()2 ()E X XYE XXYXE XE XYE X 2 ()()()( )2 ()D XEXE XE YE X 2 322 1 2 25 ，选(D) . 二、填空题：二、填空题：914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上. (9) 2 0 lncos lim_. x x x 版权所有版权所有翻印必究翻印必究 5中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966 【答案】 1 2 【分析】此题考查 0 0 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一： 2 000 sin ln(cos )tan1 cos limlimlim. 222 xxx x xx x xxx 方法二： 2 2222 0000 1 ln(cos )ln(1 cos1)cos11 2 limlimlimlim. 2 xxxx x xxx xxxx (10) 2 2 sin ()d_. 1 cos x xx x 【答案】 2 4 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 【解析】 2 22 0 2 sin 2. 1 cos4 x x dxxdx x (11)若函数( , )zz x y由方程cos2 x exyzxx确定，则 (0,1) d_.z 【答案】dx 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令( , , )cos2 z F x y zexyzxx，则 ( , , )1 sin ,( , , ) z xyz F x y zyzx Fxz F x y zexy 又当0,1xy时1 z e ，即0z . 所以 (0,1)(0,1) (0,1,0) (0,1,0) 1,0 (0,1,0)(0,1,0) y x zz F Fzz xFyF ，因而 (0,1) .dzdx (12) 设是 由 平 面1xyz与 三 个 坐 标 平 面 平 面 所 围 成 的 空 间 区 域 ， 则 (23 )_.xyz dxdydz 【答案】 1 4 【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得 6 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 1 0 (23 )66 z D xyz dxdydzzdxdydzzdzdxdy ， 其中 z D为平面zz截空间区域所得的截面，其面积为 2 1 (1) 2 z.所以 11 232 00 11 (23 )66(1)3(2). 24 xyz dxdydzzdxdydzzzdzzzz dz (13)n阶行列式 2002 1202 _. 0022 0012 【答案】 1 22 n 【解析】按第一行展开得 11 11 2002 1202 2( 1)2( 1)22 0022 0012 nn nnn DDD 221 22 2(22)2222222 nn nn DD 1 22 n (14)设二维随机变量( , )x y服从正态分布(1,0;1,1,0)N，则0_.P XYY 【答案】 1 2 【解析】由题设知，(1,1),(0,1)XNYN，而且XY、相互独立，从而 0(1)010,010,0P XYYPXYP XYP XY 11111 1 01 0 22222 P XP YP XP Y. 三、解答题：三、解答题：1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤程或演算步骤. 版权所有版权所有翻印必究翻印必究 7中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966 (15)(本题满分 10 分) 设函数 ln(1)sinf xxaxbxx， 3 ( ) g xkx，若 fx与 g x在 0x是等价无穷小，求, ,a b k的值. 【答案】,.abk 11 1 23 【解析】法一：原式 3 0 ln 1sin lim1 x xaxbxx kx 233 33 3 0 236 lim1 x xxx xa xo xbx xo x kx 2343 3 0 1 236 lim1 x aab a xbxxxo x kx 即10,0,1 23 aa ab k 11 1, 23 abk 法二： 3 0 ln 1sin lim1 x xaxbxx kx 2 0 1sincos 1 lim1 3 x a bxbxx x kx 因为分子的极限为 0，则1a 2 0 1 2 cossin 1 lim1 6 x bxbxx x kx ，分子的极限为 0， 1 2 b 0 2 2 sinsincos 13 lim1 6 x bxbxbxx x k ， 1 3 k 11 1, 23 abk (16)(本题满分 10 分) 设函数 fx在定义域 I 上的导数大于零， 若对任意的 0 xI， 由线 =y fx在 点 00 ,x f x处的切线与直线 0 xx及x轴所围成区域的面积恒为 4，且 02f，求 fx的表 8 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 达式. 【答案】f x x 8 ( ) 4 . 【解析】设 f x在点 00 ,xf x处的切线方程为： 000 ,yf xfxxx 令0y ，得到 0 0 0 fx xx fx ， 故由题意， 00 1 4 2 fxxx，即 0 0 0 1 4 2 fx fx fx ，可以转化为一阶微分方程， 即 2 8 y y ，可分离变量得到通解为： 11 8 xC y ， 已知 02y，得到 1 2 C ，因此 111 82 x y ； 即 8 4 fx x . (17)(本题满分 10 分) 已知函数,fx yxyxy，曲线 C： 22 3xyxy ，求,fx y在曲线 C 上的最大方向导数. 【答案】3 【解析】因为,f x y沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模. ,1,1 xy fx yy fx yx ， 故,1,1gradf x yyx，模为 22 11yx， 此题目转化为对函数 22 ,11g x yyx在约束条件 22 :3C xyxy下的最大值.即 为条件极值问题. 为了计算简单，可以转化为对 22 ( , )11d x yyx在约束条件 22 :3C xyxy下的最大 值. 构造函数： 22 22 , ,113F x yyxxyxy 版权所有版权所有翻印必究翻印必究 9中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966 22 2 120 2 120 30 x y Fxxy Fyyx Fxyxy ，得到 1234 1,1 ,1, 1 ,2, 1 ,1,2MMMM . 1234 8,0,9,9d Md Md Md M 所以最大值为93. (18)(本题满分 10 分) （I）设函数( )( )u x ,v x可导，利用导数定义证明u x v xu x v xu x v x ( )( )( )( )( ) ( ) （II）设函数( )( )( ) 12n u x ,ux ,ux可导， n f xu x u xu x 12 ( )( ) ( )( )，写出( )f x的求导公式. 【解析】 （I） 0 () ()( ) ( ) ( ) ( )lim h u xh v xhu x v x u x v x h 0 () ()() ( )() ( )( ) ( ) lim h u xh v xhu xh v xu xh v xu x v x h 00 ()( )()( ) lim ()lim( ) hh v xhv xu xhu x u xhv x hh ( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x （II）由题意得 12 ( )( )( )( ) n fxu x uxux 121212 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) nnn ux uxuxu x uxuxu x uxux (19)(本题满分 10 分) 已知曲线 L 的方程为 22 2, , zxy zx 起点为 0,2,0A，终点为 0,2,0B，计算曲线 积分 2222 dd()d L Iyzxzxyyxyz . 【答案】 2 2 【解析】由题意假设参数方程 cos 2sin cos x y z ， : 22 2 2 2 ( 2sincos )sin2sincos(1 sin)sin d 10 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 22 2 2 2sinsincos(1 sin)sind 2 2 0 2 2 2sind 2 (20) (本题满 11 分) 设向量组1,23 , 内 3 R的一个基， 113 =2+2k， 22 =2， 313 =+1k. （I）证明向量组 1 2 3 为 3 R的一个基; （II）当 k 为何值时，存在非 0 向量在基1,23 , 与基 1 2 3 下的坐标相同，并求所有的. 【答案】 【解析】(I)证明： 12313213 123 ,2+2,2,+1 201 ,020 201 kk kk 201 21 020240 21 201 kk kk 故 123 , 为 3 R的一个基. （II）由题意知， 112233112233, 0kkkkkk 即 111222333 0,0,1,2,3 i kkkki 11312223133 11322313 2+22+10 +2+0 kkkkk kkkkk 有非零解 即 13213 +2,+0kk 即 101 0100 20kk ，得 k=0 112231 213 0 0,0 kkk kkk 版权所有版权所有翻印必究翻印必究 11中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料报名专线：报名专线：400-6300-966400-6300-966 11131 ,0kkk (21) (本题满分 11 分) 设矩阵 023 133 12a A相似于矩阵 120 00 031 b B =. (I) 求, a b的值； （II）求可逆矩阵P，使 1 P AP为对角矩阵 【解析】(I)( )( )311ABtr Atr Bab 023120 13300 12031 ABb a 14 235 aba abb (II) 023100123 133010123 123001123 AEC 1231 1231123 1231 C C的特征值 123 0,4 0时(0)0EC x的基础解系为 12 (2,1,0) ;( 3,0,1) TT 5时(4)0EC x的基础解系为 3 ( 1, 1,1) T A 的特征值1:1,1,5 AC 令 123 231 ( ,)101 011 P， 12 中公考研学员专用资料中公考研学员专用资料 版权所有 翻印必究 1 1 1 5 P AP (22) (本题满分 11 分) 设随机变量X的概率密度为 2ln2,0, 0,0. x x f x x 对X进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记Y为观测次数. (I)求Y的概率分布; (II)求EY 【解析】(I) 记p为观测值大于 3 的概率，则 3 1 322 8 ()ln x pP Xdx ， 从而 1222 1 17 11 88 nn