2015年考研数学真题答案数一.pdf

2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 1 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题 :18 小题，每小题4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 . 1、设函数( )f x在（-,+）连续，其 2 阶导函数( )fx的图形如下图所示，则曲线( )yfx的 拐点个数为（） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【答案】 (C) 【考点】拐点的定义 【难易度】 【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导 数异号，因此，由( )fx的图形可知，曲线( )yfx存在两个拐点，故选(C). 2、设 211 23 xx yexe 是二阶常系数非齐次线性微分方程 x yaybyce的一个特解， 则（） （A）3,1,1.abc（B）3,2,1.abc （C）3,2,1.abc（D）3,2,1.abc 【答案】 (A) 【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】 【详解】 2 11 , 23 xx ee为齐次方程的解，所以2、 1 为特征方程 2 +0ab的根，从而 123,1 22,ab再将特解 x yxe代入方程32 x yyyce得：1.c 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 2 3、若级数 1 n n a 条件收敛，则3x与3x依次为幂级数 1 1 n n n nax 的： （A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点 【答案】 (B) 【考点】级数的敛散性 【难易度】 【 详 解 】 因 为 1 n n a 条 件 收 敛 ， 故2x为 幂 级 数 1 1 n n n ax 的 条 件 收 敛 点 ， 进 而 得 1 1 n n n ax 的收敛半径为1，收敛区间为0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 1 n n n nax 的收敛区间仍为0,2， 因而3x与3x依次为幂级数 1 1 n n n nax 的收敛 点、发散点 . 4、设 D 是第一象限中曲线21,41xyxy与直线 ,3yx yx围成的平面区域， 函数( , )fx y 在 D 上连续，则( , ) D f x y dxdy （A） 1 2sin 2 1 42sin2 ( cos , sin )df rrrdr （B） 1 sin 22 1 42sin 2 ( cos , sin )df rrrdr （C） 1 3sin 2 1 42sin 2 ( cos , sin )df rrdr （D ） 1 sin 23 1 42sin2 ( cos , sin )df rrdr 【答案】 (D) 【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】 【详解】由yx得， 4 ；由3yx得， 3 由21xy得， 21 2cos sin1, sin 2 rr 由41xy得， 2 1 4cos sin1, 2sin 2 rr 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 3 所以 1 sin 23 1 42sin2 ( , )( cos , sin ) D f x y dxdydf rrrdr 5、设矩阵 2 111 12 14 Aa a ， 2 1 bd d ，若集合1,2，则线性方程组Axb有无穷多个 解的充分必要条件为 （A）,ad（ B ）,ad （C）,ad（ D ）,ad 【答案】 (D) 【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】 【详解】 22 11111111 ,120111 14001212 A badad adaadd Axb有无穷多解()(, )3R AR A b 1a或2a且1d或2d 6、设二次型 123 (,)f x x x在正交变换xPy下的标准形为 222 123 2yyy，其中 123 ( ,)Pe e e，若 132 (,)Qee e，则 123 (,)f x xx在正交变换xQy下的标准形为 （A） 222 1232yyy （B） 222 1232yyy （C） 222 123 2yyy（D） 222 123 2yyy 【答案】 (A) 【考点】二次型 【难易度】 【详解】由xPy，故 222 123 ()2 TTT fx AxyP AP yyyy且： 200 010 001 T P AP 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 4 100200 001,()010 010001 TTT QPPC Q AQCP AP C 所以 222 123 ()2 TTT fx AxyQ AA yyyy ，故选 (A) 7、若,A B为任意两个随机事件，则 （A）()( )( )P ABP A P B（B）()() ( )P ABP A P B （C） ( )( ) () 2 P AP B P AB（ D） ( )() () 2 P AP B P AB 【答案】 (C) 【考点】 【难易度】 【详解】)()(),()(ABPBPABPAP )(2)()(ABPBPAP ( )( ) () 2 P AP B P AB 故选（ C） 8、设随机变量X, Y不相关，且2,1,3,EXEYDX则2EXXY （A）-3 （B）3 （C）-5 （D）5 【答案】 (D) 【考点】 【难易度】 【详解】 22 2 222 25 EXXYEXXYXE XE XYEX DXEXEX E YEX 二、填空题：914 小题 , 每小题 4 分, 共 24 分. 请将答案写在答题纸 指定位置上 . 9、 2 0 ln cos lim x x x 【答案】 1 2 【考点】极限的计算 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 5 【难易度】 【详解】 2 2222 0000 1 lncosln(1 cos1)cos11 2 limlimlimlim 2 xxxx x xxx xxxx 10、 2 - 2 sin () 1cos x x dx x 【答案】 2 4 【考点】积分的计算 【难易度】 【详解】 2 22 0- 2 sin ()2 1cos4 x x dxxdx x 11、若函数( ,)zz x y由方程 +cos2 z exyz xx确定，则 (0,1) dz. 【答案】 【考点】隐函数求导 【难易度】 【详解】令( , , )cos2 z F x y zexyzxx，则1 sin x Fyzx， y Fxz， z Fxy， 又当0,1xy时，0z，所以 (0,1) 1 x z Fz xF ， (0,1) 0 y z F z yF ，因而 (0,1) dzdx 12、设是由平面 1xyz 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 (23 )xyz dxdydz 【答案】 1 4 【考点】三重积分的计算 【难易度】 【详解】由轮换对称性，得 x+2y+3z ()dxdydz W =6zdxdydz W = 6zdz 0 1 dxdy Dz 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 6 其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为 1 2 1- z() 2 .所以 x+2y+3z ()dxdydz W = 6zdxdydz W = 6z 1 2 1- z() 2 dz= 0 1 3z 3 - 2z 2 +z ()dz=0 1 1 4 13、 n 阶行列式 2002 -1202 0022 00-12 【答案】 1 22 n 【考点】行列式的计算 【难易度】 【详解】按第一行展开得 =2 n+1 - 2 14、设二维随机变量(,)X Y服从正态分布(1,0,1,1,0)N，则(0)P XYY. 【答案】 1 2 【考点】 【难易度】 【详解】(, ) (1,0,1,1,0)X YN，(1,1), (0,1),XNYN且,X Y独立 1(0,1)XN ， 0(1)0P XYYPXY 10,0100P XYP XY， 11111 22222 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 7 三、解答题：1523 小题 , 共 94 分. 请将解答写在答题纸 指定位置上 . 解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 15、 （本题满分10 分） 设函数( )ln(1)sinf xxaxbxx， 3 ( )g xkx，若( )f x与( )g x在0x是等价无穷小， 求a，b，k值。 【考点】等价无穷小量，极限的计算 【难易度】 【详解】( )ln(1)sinf xxaxbxx 233 33 233! xxx xa xxbx xx 233 1 23 aa a xb xxx 3 ( )( )f xg xkx与是等价无穷小 1+01 1 0 22 1 33 aa a bb a kk 16、 （本题满分10 分） 设函数在( )f x定义域I上的导数大于零， 若对任意的 0 xI， 曲线( )yfx在点 00 (,()xf x处 的切线与直线 0 xx及 x 轴所围成的区域的面积为4，且(0)2f，求( )f x的表达式 . 【考点】微分方程 【难易度】 【详解】如下图： 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 8 0 xx处的切线方程为l： 000 ()()()yfxxxf x l与x轴的交点为：0y时， 0 0 0 () () f x xx fx ，则 0 0 0 () () f x ABxx fx ， 因 此 ， 0 00 0 11() ()()4 22() f x SABf xf x fx . 即 满 足 微 分 方 程 ： 2 1 8 y y ， 解 得 ： 11 8 xc y . 又因(0)2y，所以 1 2 c，故 8 4 y x . 17、 （本题满分10 分） 已知函数xyyxyxf),(，曲线3: 22 xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向 导数 . 【考点】方向导数，条件极值 【难易度】 【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.， 故 xyyxgradf1 ,1),( 故),(yxf在曲线C上的最大方向导数为 2 2 )1 (1xy，其中yx,满足3 22 xyyx， 即就求函数 22 )1()1 (xyz在约束条件03 22 xyyx下的最值 . 构造拉格朗日函数),(yxF )3()1()1 ( 2222 xyyxxy 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 9 令 03 02)1 (2 02)1(2 22 xyyx F xyy y F yxx x F 可得)1, 1(),1 ,1 ()2, 1(),2,2( , 其中)2, 1(9) 1,2(,0)1, 1(,4)1 , 1(zzzz 综上根据题意可知),(yxf在曲线C上的最大方向导数为3. 18、 （本题满分10 分） ()设函数( ), ( )u x v x可导，利用导数定义证明 ( ) ( )=( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x ()设函数 12 ( ),( ).( ) n u x uxux可导， 12 ( )( )( ).( ), n f xu x uxux写出( )f x的求导公式 . 【考点】导数定义 【难易度】 【详解】 0 0 ( ) lim ( )()( ) lim ( )( ) x x u xxv xxu xv x u xv x x u xxu xv xxu xv xxv x x uxv xu xv x 12 1212 12123 121212 ( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )( )( ) n nn nn nnn fxu xuxux uxuxuxu xuxux uxuxuxuxuxuxux uxuxuxuxuxuxu xuxu ( )x 19、 （本题满分10 分） 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 10 已知曲线 L的方程为 22 2, , zxy zx 起点为(0,2,0)A，终点为(0,2,0)B，计算曲线积 分 2222 ()()() L Iyz dxzxy dyxydz 【考点】曲线积分的计算 【难易度】 【详解】曲线L的参数方程为 cos , 2 sin , cos , x y z 从 2 到 2 2222 ()()() L Iyz dxzxy dyxydz 22 2 2 23 2 2 22 22 0 2 ( 2 sincos )sin2sin2cos(cos2sin)sin 1 2sinsin2sinsin 2 12 2sin2 2sin2 2 2 22 d d dd 20、 （本题满分11 分） 设 向 量 组 123 ,是3维 向 量 空 间 3 的 一 个 基 ， 113 22k， 22 2， 313 (1)k。 （）证明向量组 123 ,是 3 的一个基； （）当k 为何值时，存在非零向量在基 123 ,与基 123 ,下的坐标相同，并求出所有 的。 【考点】线性无关，基下的坐标 【难易度】 【详解】（） 123 (,) 123 201 (,)020 201kk 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 11 因为 201 21 020240 21 201 kk kk ， 所以 123 ,线性无关， 123 ,是 3 的一个基。 （）设 201 020 201 P kk ，P为从基 123 ,到基 123 ,的过渡矩阵，又设在基 123 ,下的坐标为 123 (,) T xx xx，则在基 123 ,下的坐标为 1 P x， 由 1 xP x，得Pxx，即()0PE x 由 101 11 0100 2 20 PEk kk kk ，得0k，并解得 1 0, 1 xcc 为任意常数。 从而 13, ccc为任意常数。 21、 （本题满分11 分） 设矩阵 02-3 -133 1-2 A a 相似于矩阵 1-20 00 031 Bb. （）求,a b的值 . （）求可逆矩阵P，使得 1 PAP为对角阵 . 【考点】相似矩阵，相似对角化 【难易度】 【详解】由 023 133 12 A a 相似于 120 00 031 Bb 2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 12 则 0311 023120 , 13300 12031 ab b a 解得4,5ab 2 23 ( )|133(1) (5)0 124 A fEA 当 12 1, 123123 ()123000 123000 EA 特征向量 12 23 1 ,0 01 ， 当 3 523123101 5,()123121011 121523000 EA 则特征向量 3