张英伯Cliffordtheoremrv.ppt

五点共圆问题 与 Clifford 链定理 北京师范大学 张英伯，叶彩娟 2007年4月 一、引子 l在世纪之交的2000年5月，当时的国家主 席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地 出了一道“五点共圆”的几何题。 l江泽民先生随后给数学家和数学教育家张 景中院士打电话征询答案，并亲函濠江中 学参考。与此同时，濠江中学的四位数学 老师也各自独立地作出了解答，他们的数 学功底令人敬佩。 l这个图形就是五点共圆问题。当时的表述 是：给出一个不规则的五角星，做所得五 个小三角形的外接圆，每相邻的两个小三 角形的外接圆交于两个点，其中之一是所 得五边形的顶点。在五边形五顶点外的交 点共有五个，证明这五点共圆。 l2003年春天，我去德国访问。有一天我的 老板，代数学家 Claus Ringel 问我，你 知道“江问题”吗？正当我在脑子里紧张 地搜索江姓数学家的名单时，老板得意地 笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！” l那天Claus 刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议 上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问 题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus 随 手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。 l2006 年底，澳门的一个研讨班邀请我去做报告， 报告刚好在濠江中学举行。濠江中学校方与我们会 面时介绍了当年江泽民主席的视察。我一下子想起 三年前与 Claus 的对话，就临时改变报告题目， 凭记忆谈了推广的五点共圆问题。报告之后，研讨 班的组织者力主并多次敦促将这一问题的证明写成 文章。 l回到学校，正赶上本科生准备毕业论文，一 个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕 士，来我这里要题目，我说你试着找找五点 共圆问题的推广吧。 l感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息 摆在了每一个人的面前。 l经过一个礼拜的搜索，女孩子终于找到了一 位日本数学家冈洁的传记，在传记的最后一 页的最后一个脚注中，提到 Clifford 定理 将五点共圆问题推广到了任意的正整数。 l有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去搜 索 Clifford 所有文章的目录，找到了他关于这 个问题的文章：On Miquels Theorem. 遗憾的 是年代过于久远，我们的北京图书馆，中科院图 书文献中心都没有收藏。 l再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大 英图书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还 是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文 章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了 回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无 可奉告。 lWilliam Kingdon Clifford（1845-79）， 英国的几何代数学家，34岁辞世。 l他建立了Clifford代数，这是一种交换环 上的有限维结合代数，可以看作是复数域 和 Hamilton四元数除环的推广，他将这种 代数应用于运动几何。他还研究了非欧氏 空间中的运动，引入了平行线的定义，并 对微分几何做出贡献，创建了Klein- Clifford 空间。 l直到今天，Clifford代数仍然是数学物理 、几何、分析领域中的热门话题。 l在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数 学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希 尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成 了几何基础一书。当几何基础引起广泛 讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角 形、直线和圆相关的点等问题被重新发现并研究 。 l1838年，Miquel证明了关于四圆共点的一个定理 。在这个定理的基础上，Clifford于1871年建立 了Clifford链定理，这是数学史上非常著名的一 个有趣而又奇妙的定理。 。 l那个年代的许多欧美数学家都研究并论证过这个 定理，一方面寻找它的多种证明方法，另一方面 研究这些点圆和其它一些著名的点圆之间的关系 ，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的 引伸。在当时的数学杂志上，不断地发表与 Clifford链定理相关的研究成果。 l我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究 领域，因此对当时的一些研究都比较陌生。 l由于没有见到Clifford的原文，本文所讲的证明 ，是基于英国几何学家 F. Morley于1900年发表 在美国数学会 Transaction上的一篇文章“On the metric geometry of the plane n-line”。 二、Clifford 链定理的表述 n=3 n=2 任选平面内两两相交， 且不共点的三条直线， 则其中每两条为一组可以确定一个点 ，共有三个点， 那么这三个点确定一个圆。 任选平面内两条相交直线， 则这两条直线确定一个点。 n=4 n=4 l任选平面内两两相交， l且任意三条直线都不共点的四条直线， l则其中每三条为一组可以确定一个圆， 共有四个这样的圆， l则这四个圆共点。 l此点被称为 Wallace 点。 n=5 l任取平面内两两相交， l且任意三条直线都不共点的五条直线， l则其中每四条作为一组可确定如上所述 l的一个 Wallace 点，共有五个这样的点， l那么这五个点共圆， l此圆被称为 Miquel 圆 l（即五点共圆问题）。 n=6 l任取平面上两两相交的六条直线， 且任意三条直线都不共点， l则其中每五条为一组可以确定一个 Miquel 圆，共有六个这样的圆， l则这六个圆共点。 n=7 l任取平面内两两相交， l且任意三条直线都不共点的七条直线， l则其中每六条作为一组可确定如上所述 l的一个点，共有七个这样的点， l那么这七个点共圆。 一般地， l任取平面内两两相交，且任意三条直线都 不共点的2n条直线，则其中每2n-1条直线 可确定一个圆，共确定 2n 个圆，那么这 2n 个圆交于一点，称为 2n 条直线的 Clifford 点； l 任取平面内两两相交，且任意三条直线都 不共点的 2n+1条直线，则其中每 2n 条直 线可确定一个 Clifford 点，共确定 2n+1个 点，那么这 2n+1 个点共圆，称为 2n+1 条 直线的 Clifford 圆。 三、直线方程 l用平面几何的方法归纳地证明 Clifford 定理 几乎是不可能的，我们已经看到 n=7 的情况 图形有多么复杂，实际上五点共圆问题已经 够复杂了。那么用平面解析几何呢？用复平 面呢？这样就可以充分借助现代数学的工具 。让我们来试一试。 l现在考虑复平面 C, 建立原点，实轴和虚轴。 l用 分别表示两个确定的复数，其中 的模为1，也就是说， 在单位圆上。其次 ，用 分别表示两个复变量，其中 的模为1，也就是说 在单位圆上运动。 l考察公式 l当 在单位圆周上运动时， 跑过原点 0 和点 连线的垂直平分线。 l事实上， 而 因为 和 的模都是1，故 l另一方面，当 趋近于 时， 的模趋近于 无穷大；并且 是 的连续函数。所以我们 得到了一条直线。 l从上述分析可以看出，直线与 的幅角的取值无 关。我们不妨取 l事实上，利用单位圆周上的点 t 作参数，根据复变 函数中的分式线性函数理论， l表示一条直线。 四、特征常数 l如果我们有两条直线： ， l则 . 两式相减，得到两条直 线的交点： . 再设 . 称 为n=2时的特征常数。 l如果我们有三条直线： 令 l上面的式子中，求和号表示对数组 (1 2 3) 进行轮换，分别取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). 叫做 n=3 时的特征常数。 l建立一个圆方程，圆心在 ，半径为 ： l当 时， l当 时， l当 时， l所以我们的圆经过三条直线中每两条的交 点，这就是三点共圆。 l定义 4.1. 关于 n 条直线 的 特征常数 定义为： l其中求和号表示对 (12- - -n) 进行轮换。 l引理4.2. l证明： l引理证毕。 l特征常数有如下的共轭性质。取定正整数 n，令 l将 的复共轭记作 ，令 ，则 l引理4.3. l引理4.4. 设 是 n 个变元的初 等对称多项式，记 的共轭元为 。 如果 n 个变元均取模为 1 的复数，则 l证明：设 ， l则 l引理证毕。 五、n=4 和 n=5 时的证明 l设我们有四条直线 l根据第四节的讨论，三条直线确定的圆方程为： l或 l其中 是一个变元的初等对称多项式。根据引 理4.2, 去掉四条直线中的第 条后的圆方程是 ： l根据引理4.3,方程 是自共轭的，即它 的共轭方程 与自身相等， 我们有 ： l即 在单位圆上。又因为 的任意性，方程等 价于： l其中 是 n= 4 时的特征常数。消去 , l 即 l是四条直线的 Clifford 点。 l当 n=5 时，我们有五条直线： l去掉其中的任意一条，所得到的四条直线确定一 个 Cliford 点。 l根据引理4.2，我们可以从n=5 时的特征常数得到 n=4 时的特征常数，比如去掉第 条直线，得方 程： l因为 是一个变元的初等对称多项式， l分别导出了两个变元的初等对称多项式 和 l上述方程变为： l 根据引理4.3，第二个方程是自共轭的，保证了 t 在单位圆上。 l从方程组中消去 ，并用 t 代替 ，或考察 以 和 （以 t 代之）为未知数的线性方程 组，Cramer 法则给出 x 和 t 应该满足的关系： l或 l这就是五条直线的 Clifford 圆。 六、Clifford 链定理 l定理6.1. 2p 条直线的 Clifford 点由下述行列式给 出： l而 2p+1 条直线的 Clifford 圆由下述方程确定： l证明： 设 p=1 在2x1 时得到两条直线的交点： l设 P=2 ， 是一个变元的初等对称多项式。在 2x2-1 时得到三条直线的 Clifford 圆满足的方程： l在2x2 的情况得到四条直线的 Clifford 点满足的方 程 l设p=3, 是两个变元的初等对称多项式。在 2x3-1 时得到五条直线的 Clifford 圆方程： l现在设 2p-1条直线的 Clifford 圆满足的方程是 ： l其中 是 p-1个变元的初等对称 多项式。则该假设当 p=2，p=3 时都是正确的。 我们来计算 2p 条直线的情况。 l根据引理4.2, 关于 2p-1 条直线的特征常数可以 用关于 2p 条直线的特征常数去掉某条直线，例 如第 条表示出来： l由于 的任意性，考察下述 p 个方程： l其中第 1+i 与第 p-i+1 个方程是共轭的。为方便 起见，我们仅验证第 2 与第 p 个方程的共轭性。 l记 是关于模为 1 的复数 l 的初等对称多项式。则 l根据引理 4.3, 第二个方程的共轭方程为 l将两端同乘以 ，根据引理 4.4 得： l将第 p 个方程的两端同乘以 ，并颠倒次序 ，我们有方程： l易见这两个方程共轭， 故 ， 在单位圆上 。 l在关于 2p 的 p 个方程中消去 ， 即得所求公式，定理的第一部分证毕。 l我们来考察 2p+1 的情况。根据引理 4.2, 2p 条 直线的特征常数可以通过 2p+1 条直线的特征常 数表示出来。故 2p 条直线的 Clifford 点满足的 方程诱导出下述 p 个方程： l关于 p-1 个变元的初等对称多项式 l与 诱导出 p 个变元的初等对称多项式 l原方程变为： l运用引理 4.3，与 2p 的情况类似可验，方程组中 的第 i+1 个方程与第 p-i+1 个方程是共轭的， t 在单位圆上。 l在关于 2p+1 的 p 个方程中消去 ， 即得所求公式。定理的第二部分证毕。 lClifford 定理的正确性从数学归纳法得到。 l当然，特征常数 a 需要满足一定的条件，使得直 线两两相交，且没有三条直线交于一点。下面列出 的第二篇参考文献就专门讨论了这个问题。 l我教过多年的线性代数，从来没有想到用矩阵、行 列式和对称多项式能够如此巧妙地解决这样复杂的 平面几何问题。伟大的数学家高斯曾经说过：“数 学中的一些美丽定理