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第一章第一章 整数整数 有理数有理数 实数实数 第一节第一节 整整 数数 一、一、 整数及其带余除法整数及其带余除法 定义定义 1 设设a，b是任意两个整数，是任意两个整数，b 0， 如果存在一个正数， 如果存在一个正数q， 使得， 使得abq=， 则称则称b整除整除a，记，记|b a. 性质性质 | , |c b b ac a | , |()c b c acmanb+，,m n是任意的整数是任意的整数. 定 理定 理1 设设a，b是 任 意 两 个 整 数 ，是 任 意 两 个 整 数 ，0b ， 则 存 在， 则 存 在, q r使 得使 得 0abqrrb=+的三个整数，的三个整数，4b = (2), ,a b c是满足是满足1abc的三个整数，的三个整数，2b = (E) 例例 1.4(条件充分性判断条件充分性判断)三个实数三个实数 123 xxx， ，的算术平均值为的算术平均值为 4 (1) 123 625xxx+，的算术平均值为的算术平均值为 4 (2) 212 xxx为 和的等差中项，且的等差中项，且 2 4x = (B) 第二节第二节 绝对值绝对值 1.绝对值的定义绝对值的定义 , ,0 a ao a a a = (C) 9 例例 2.5 (条件充分性判断条件充分性判断)方程方程12xx+=无根无根 (1)()1x ， (2)()10x ， (B) 例例 2.6 (条件充分性判断条件充分性判断) 2 ab ab = (1) 0a (C) 第四章第四章 方程与不等式方程与不等式 第一节第一节 一元二次方程一元二次方程 定义定义 1 形如形如 2 0(0)axbxca+=的方程称为一元二次方程的方程称为一元二次方程. 解法解法 因式分解法： 把方程化为形如因式分解法： 把方程化为形如 12 ()()0a xxxx=的形式， 则解为的形式， 则解为 12 ,xx xx= 配方法：如配方法：如 22 420(2)602626xxxxx= = 公式法：公式法： 2 1,2 4 2 bbac x a = 一元二次方程的判别式一元二次方程的判别式： 22 0(0),4abxcabac+= = 当当0 时，方程有两个不相等的实数根。时，方程有两个不相等的实数根。 当当0 =时，方程有两个相等的实数根。时，方程有两个相等的实数根。 当当0 ，方程，方程 2 3121kxxk+= 有两个相等的实根，有两个相等的实根，则则k = (A) 2 3 (B) 2 3 (C)3 或或4 (D) 4 (E)3 解题说明解题说明 A 条件条件(1)充分，但条件充分，但条件(2)不充分不充分 B 条件条件(2)充分，但条件充分，但条件(1)不充分不充分 C 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，但条件单独都不充分，但条件(1)和条件和条件(2)联合起来充分联合起来充分 D 条件条件(1)充分，条件充分，条件(2)也充分也充分 E 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，条件单独都不充分，条件(1)和条件和条件(2)联合起来也不充分联合起来也不充分 例例 1.8 方程方程 2 20xax+=与与 2 20xxa=有一公共实数解有一公共实数解 (1)3a = (2)2a = (A) 例例 1.9（充分性判断）方程（充分性判断）方程()() 2 4250xaxa+=有两个不等的负实根有两个不等的负实根 (1)6a (C) 例例 1.10（充分性判断）方（充分性判断）方程程 22 2(1)20xkxk+=的两个实根的两个实根 (1) 1 2 k (2) 1 2 k = (D) 例例 4.11（充分性判断）（充分性判断）方程方程 2 2(1)(3)0xaxa+=两根之差为两根之差为 1。 (1)9a = (2)3a = (D) 11 例例 1.12 （充分（充分性判断性判断） 一元二次方程一元二次方程 2 0xbxc+=的两根之差的绝对值为的两根之差的绝对值为 4， (1)4,0bc= (2) 2 416bc= (D) 第二节第二节 一元二一元二次次不等式不等式 求解一元二次不等式时借助二次函数图象最为简便，做法是先确定二次项求解一元二次不等式时借助二次函数图象最为简便，做法是先确定二次项 系数正负号，其次再研究判别式系数正负号，其次再研究判别式。二次函数，一元二次不等式及一元二次方程。二次函数，一元二次不等式及一元二次方程 三者之间的关系表：二次项系数是负数三者之间的关系表：二次项系数是负数(即即0a ，如果，如果a与与 2 axbxc+同号，则其解集在两根之外；如果同号，则其解集在两根之外；如果a与与 2 axbxc+异号，则其解集在异号，则其解集在 两根之间两根之间. .简言之：同号两根之外，异号两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间. . 121212 ()()0()xxxxxxxxx的所有实数的所有实数 x 的集合是的集合是 )( ) 4,A+ ()( ) 4,B+ (C)(, 2 ()(), 1D (E) (), + 例例 2.4 一元二次不等式一元二次不等式() 22 3400xaxaa+的解集是的解集是 1 1 , 3 2 ，则，则a = (A)12 (B)6 (C)0 (D)12 (E)以上结论均不对以上结论均不对 12 解题说明解题说明 A 条件条件(1)充分，但条件充分，但条件(2)不充分不充分 B 条件条件(2)充分，但条件充分，但条件(1)不充分不充分 C 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，但条件单独都不充分，但条件(1)和条件和条件(2)联合起来充分联合起来充分 D 条件条件(1)充分，条件充分，条件(2)也充分也充分 E 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，条件单独都不充分，条件(1)和条件和条件(2)联合起来也不充分联合起来也不充分 例例 2.6(条件充分性判断条件充分性判断)不等式不等式 2 (3)2(3)10kxkxk+ 的最大的的最大的n是是 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 例例 2.6 三个不同的非零三个不同的非零数数, ,a b c成等差数列，又成等差数列，又, ,a b c成等比数列，则成等比数列，则 a b = (A) 2 (B) 4 (C) 4 (D) 2 (E) 3 解题说明解题说明 A 条件条件(1)充分，但条件充分，但条件(2)不充分不充分 B 条件条件(2)充分，但条件充分，但条件(1)不充分不充分 C 条条件件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，但条件单独都不充分，但条件(1)和条件和条件(2)联合起来充分联合起来充分 D 条件条件(1)充分，条件充分，条件(2)也充分也充分 E 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，条件单独都不充分，条件(1)和条件和条件(2)联合起来也不充分联合起来也不充分 例例 2.7 (条件充分性判断条件充分性判断)实数实数, ,a b c成等比数列成等比数列 (1)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程 2 20axbxc+=有两相等实根有两相等实根 (2)lg ,lg ,lgabc成等差数列成等差数列 (D) 16 例例 2.8 (条件充分性判断条件充分性判断) 22 1 3 ab ab + = + (1) 22 ,1,ab成等差数列成等差数列 (2) 11 ,1, ab 成等比数列成等比数列 (E) 例例 2.9 (条件充分性判断条件充分性判断), nn S T为等差数列前为等差数列前n项和项和,能确定能确定 11 11 a b 的值为的值为 58 49 (1) 12 3,2ab= (2) 35 27 n n Sn Tn = + (B) 例例 2.10 (条件充分性判断条件充分性判断) 6 126S = (1) 数列数列 n a的通项公式是的通项公式是()10 34 n an=+ ()nN (2) 数列数列 n a的通项公式的通项公式是是2n n a = ()nN (B) 例例 2.11 (条件充分性判断条件充分性判断) 258 2SSS+= (1)等比数列前等比数列前n项的和为项的和为 n S，且公比，且公比 3 4 2 q = (2)等比数列前等比数列前n项的和为项的和为 n S，且公比，且公比 3 1 2 q = (A) 例例 2.12(条件充分性判断条件充分性判断) 已知数列已知数列 n a中，中， 13 10aa+=，则，则 4 a的值一定的值一定 是是 1. (1) 数列数列 n a是等差数列，且是等差数列，且 46 2aa+= (2) 数列数列 n a是等比数列，且是等比数列，且 46 5 4 aa+= (B) 例例 2.13 (条件充分性判断条件充分性判断)各项均为正数的等比数列各项均为正数的等比数列 n a的前的前n项和为项和为 n S， 则则 4 30 n S= (1) 2 n S = (2) 3 14 n S= (C) 第六章第六章 应用题应用题 这一部分问题主要是综合了初等数学的基础知识，并结合一些具体的问题这一部分问题主要是综合了初等数学的基础知识，并结合一些具体的问题 背景，因此，具有一定的难度，成为背景，因此，具有一定的难度，成为 MBA 考试的一个热点问题，希望考生充分考试的一个热点问题，希望考生充分 注意。以下我们从历年的真题中来感受命题的基本思路和解题的基本方法和思注意。以下我们从历年的真题中来感受命题的基本思路和解题的基本方法和思 路。路。 例例 1.1 一种货币贬值一种货币贬值 15%，一年后又增值百分之几，才能保持原币值？，一年后又增值百分之几，才能保持原币值？ (A) 15% (B)15.25% (C) 16.78% (D) 17.17% (E) 17.65% 17 例例 1.2 甲， 乙， 丙三名工人加工完成一批零件， 甲工人完成了总件数的甲， 乙， 丙三名工人加工完成一批零件， 甲工人完成了总件数的 34%， 乙，丙两工人完成的件数之比是乙，丙两工人完成的件数之比是 6:5，已知丙工人完成了，已知丙工人完成了 45 件，则甲工人完成件，则甲工人完成 了了 (A)48 件件 (B)51 件件 (C)60 件件 (D)63 件件 (E)132 件件 例例 1.3 一商店把某商品按标价的九折出售，仍一商店把某商品按标价的九折出售，仍可可获利获利 20%，若该商品的进，若该商品的进 价为每件价为每件 21 元，则该商品每件的标价为元，则该商品每件的标价为 (A)26 元元 (B)28 元元 (C)30 元元 (D)32 元元 (E) 48 元元 例例 1.4 一公司向银行借款一公司向银行借款 34 万元，欲按万元，欲按 1 1 1 : 2 3 9 的比例分配给下属甲，乙，的比例分配给下属甲，乙， 丙三车间进行技术改造，则甲车间应得丙三车间进行技术改造，则甲车间应得 (A)4 万元万元 (B)万元万元 (C)12 万元万元 (D)18 万元万元 (E) 28 万元万元 例例 1.5 装一台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件装一台机器需要甲，乙，丙三种部件各一件，现库中存有这三种部件 共共 270 件，分别用甲，乙，丙库存件数的件，分别用甲，乙，丙库存件数的 3/5, 3/4, 2/3 装配若干机器，那么原来装配若干机器，那么原来 库存有甲种部件的件数是库存有甲种部件的件数是 (A)80 (B)90 (C)100 (D)110 (E)以上均不对以上均不对 例例 1.6 某工厂生产某种新型产品，一月份每件产品销售的某工厂生产某种新型产品，一月份每件产品销售的利润是出厂价的利润是出厂价的 25%(利润利润=出厂价出厂价成本成本)，二月份每件产品出厂价降低了，二月份每件产品出厂价降低了 10%，成本不变，销，成本不变，销 售件数比一月份增加售件数比一月份增加 80%，则利润增长，则利润增长 (A)6% (B)8% (C) 15.5% (D)25.5% (E)以上均不对以上均不对 例例 1.7 某公司二月份产值为某公司二月份产值为 36 万元，比一月份产值增加了万元，比一月份产值增加了 11 万元，比三月万元，比三月 份产值减少了份产值减少了 7.2 万元，第二季度产值为第一季度的万元，第二季度产值为第一季度的 1.4 倍，该公司上半年产值倍，该公司上半年产值 的月平均值为的月平均值为 (A)40.51 万元万元 (B)41.68 万元万元 (C)48.25 万元万元 (D)50.16 万元万元 (E)52.16 万元万元 例例 1.8 某电子产品一月份按原定价的某电子产品一月份按原定价的 80%出售，能获利出售，能获利 20%，二月份由于，二月份由于 进价降低，按同样原定价的进价降低，按同样原定价的 75%出售，却能获利出售，却能获利 25%,那么二月份进价是一月份那么二月份进价是一月份 进价的百分之进价的百分之( ) (A)92 (B)90 (C) 85 (D)80 (E)75 例例 1.9 一项工程由甲，乙两队一起做一项工程由甲，乙两队一起做 30 天可以完成，甲单独做天可以完成，甲单独做 24 天后，乙天后，乙 队加入，两队一起做队加入，两队一起做 10 天后，甲队调走，乙队继续做了天后，甲队调走，乙队继续做了 17 天才完成，若这项天才完成，若这项 工程由甲队单独做需工程由甲队单独做需 (A)60 天天 (B)70 天天 (C) 80 天天 (D)90 天天 (E)100 天天 18 例例 1.10 甲，乙两项工程分别由一，二工程队负责完成，晴天时，一队完成甲，乙两项工程分别由一，二工程队负责完成，晴天时，一队完成 甲工程需要甲工程需要 12 天，二队完成乙工程需要天，二队完成乙工程需要 15 天，雨天时，一队的效率是晴天时天，雨天时，一队的效率是晴天时 的的 60%，二队的效率是晴天时的，二队的效率是晴天时的 80%，结果两队同时开工并同时完成各自的工，结果两队同时开工并同时完成各自的工 程，那么，在这段工期内，雨天的天数为程，那么，在这段工期内，雨天的天数为 (A)8 天天 (B)10 天天 (C) 12 天天 (D)15 天天 (E)以上均不对以上均不对 例例 1.12 甲，乙两汽车从相距甲，乙两汽车从相距 695 公里的两地出发，相向而行，乙车比甲车公里的两地出发，相向而行，乙车比甲车 迟迟 2 个个小时出发，甲车每小时行驶小时出发，甲车每小时行驶 55 公里，若乙车出发后公里，若乙车出发后 5 小时与甲相遇，则小时与甲相遇，则 乙车每小时行驶乙车每小时行驶 (A)55 公里公里 (B)58 公里公里 (C) 60 公里公里 (D)62 公里公里 (E)65 公里公里 例例 1.13 甲，乙两人同时从同一地点出发相背而行，甲，乙两人同时从同一地点出发相背而行，1 小时后分别到达各自小时后分别到达各自 的终点的终点 A 和和 B，若从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达，若从原地出发，互换彼此的目的地，则甲在乙到达 A 之后之后 35 分钟到达分钟到达 B，则甲的速度和乙的速度之比是，则甲的速度和乙的速度之比是 (A)3/5 (B)54/3 (C) 4/5 (D)3/4 (E)以上均不对以上均不对 例例 1.14 一支部队一支部队排成长度为排成长度为 800 米的队列行军，速度为米的队列行军，速度为 80 米米/ 分钟，在队分钟，在队 首的通讯员以首的通讯员以 3 倍于行军的速度跑步到队尾，花倍于行军的速度跑步到队尾，花 1 分钟传达首长命令后，立即分钟传达首长命令后，立即 以同样的速度跑回到队首，在其往返全过程中通讯员所花费的时间为以同样的速度跑回到队首，在其往返全过程中通讯员所花费的时间为( )分钟分钟 (A)6.5 (B)7.5 (C) 8 (D)8.5 (E)10 例例 1.15 一辆大巴车从甲城以均速一辆大巴车从甲城以均速v行驶，可按预定时间到达乙城，但在距行驶，可按预定时间到达乙城，但在距 乙城还有乙城还有 150 公里处，因故停留半小时，因此需要平均每小时增加公里处，因故停留半小时，因此需要平均每小时增加 10 公里公里才能才能 按预定时间到达乙城，则大巴车原来的速度按预定时间到达乙城，则大巴车原来的速度v (A)45 公里公里/小时小时 (B)50 公里公里/小时小时 (C)55 公里公里/小时小时 (D)60 公里公里/小时小时 (E)以上答案均不对以上答案均不对 例例 1.16 王女士以一笔资金分别投入股市和基金， 但因故需抽回一部分资金，王女士以一笔资金分别投入股市和基金， 但因故需抽回一部分资金， 若从股市中抽回若从股市中抽回 10%，从基金中抽回，从基金中抽回 55,则其总投资额减少则其总投资额减少 8%，若从股市和基，若从股市和基 金的投资额中各抽回金的投资额中各抽回 15%和和 10%，则其总投资额减少，则其总投资额减少 130 万元，其总投资额为万元，其总投资额为 ( )万元万元 (A)1000 (B)1500 (C) 2000 (D)2500 (E)3000 例例 1.17 某电镀厂两次改进操作方法，使用锌量比原来节约某电镀厂两次改进操作方法，使用锌量比原来节约 15%，则平均每，则平均每 次节约次节约 (A)42.5% (B)7.5% (C)( ) 10.85100% (D)(10.85) 100%+ (E)以上均不对以上均不对 例例 1.18 若用浓度为若用浓度为 30%和和 20%的甲， 乙两种食盐溶液配成浓度为的甲， 乙两种食盐溶液配成浓度为 24%的食的食 19 盐溶液盐溶液 500 克，则甲，乙克，则甲，乙两种溶液应各取两种溶液应各取 ( ) (A)180 克和克和 320 克克 (B)185 克和克和 3150 克克 (C)190 克和克和 310 克克 (D)195 克和克和 305 克克 (E)200 克和克和 300 克克 例例 1.19 某投资者以某投资者以 2 万元购买甲，乙两种股票，甲股票的价格为万元购买甲，乙两种股票，甲股票的价格为 8 元元/股，股， 乙股票的价格为乙股票的价格为 4 元元/股，它们的投资额之比为股，它们的投资额之比为 4：1，在甲，乙股票价格分别为，在甲，乙股票价格分别为 10 元元/股和股和 3 元元/股时，该投资者全部抛出这两种股票，他共获利股时，该投资者全部抛出这两种股票，他共获利 ( ) (A)3000 元元 (B)3889 元元 (C) 4000 元元 (D)5000 元元 (E)2300 元元 例例 1.20 若某人以若某人以 1000元购买元购买 A,B,C 三种商品， 且所付金额之比是三种商品， 且所付金额之比是 1:1.5:2.5， 则他购买则他购买 A,B,C 三种商品的金额分别是三种商品的金额分别是( ) 元元 (A)100，300，600 (B)150，225，400 (C)150，300，550 (D)200，300，500 (E)200，250，550 例例 1.23 银行的一年期定期存款利率为银行的一年期定期存款利率为 10%，某人于，某人于 1991 年年 1 月月 1 日存入日存入 10000 元，元，1994 年年 1 月月 1 日取出，若按复利计算，他取出的本金和利息共计是日取出，若按复利计算，他取出的本金和利息共计是 (A)10300 元元 (B)10303 元元 (C)13000 元元 (D)13310 元元 (E)14641 元元 例例 1.24 容器内装满铁质或木质的黑球与白球，其中容器内装满铁质或木质的黑球与白球，其中 30%是黑球，是黑球，60%的白的白 球是铁质的，则容器中木质白球的百分比是球是铁质的，则容器中木质白球的百分比是 (A)28% (B)30% (C)40% (D) 42% (E) 70% 例例 1.25 某商品打九折会使销售量增加某商品打九折会使销售量增加 20%，则这一折扣会使销售额增加的，则这一折扣会使销售额增加的 百分比是百分比是 (A)18% (B)10% (C)8% (D) 5% (E) 2% 例例 1.26 某工厂人员由技术人员，行政某工厂人员由技术人员，行政人员和工人组成，共有男职工人员和工人组成，共有男职工 420 人，人， 是女职工的是女职工的 1 13倍，其中行政人员占全体职工的倍，其中行政人员占全体职工的 20%，技术人员比工人少，技术人员比工人少 1 25 ， 那么该工厂有工人那么该工厂有工人 (A)200 人人 (B)250 人人 (C)300 人人 (D)350 人人 (E) 400 人人 例例 1.27 两地相距两地相距 351 公里，汽车已行驶了全称的公里，汽车已行驶了全称的 1 9 ，试问再行驶多少公里，试问再行驶多少公里， 剩下的路程是行驶的路程的剩下的路程是行驶的路程的 5 倍倍 (A)19.5 公里公里 (B) 21 公里公里 (C) 21.5 公里公里 (D) 22 公里公里 (E) 44 公里公里 例例 1.28 某人以某人以 6 公里公里/ 小时的平均速度上山， 上山后立即以小时的平均速度上山， 上山后立即以 12 公里公里/小时的小时的 平均速度原路返回，那么此人在往返过程中的每小时平均所走的公里数为平均速度原路返回，那么此人在往返过程中的每小时平均所走的公里数为 (A)9 (B)8 (C)7 (D) 6 (E) 以上均不对以上均不对 例例 1.29 A，B 两地相距两地相距 15 公里，甲中午公里，甲中午 12 时从时从 A 第出发，步行前往第出发，步行前往 B 地，地， 20 分钟后乙从分钟后乙从 B 地出发骑车前往地出发骑车前往 A 地，到达地，到达 A 地后乙停留了地后乙停留了 40 分钟后骑车从分钟后骑车从 原路返回，结果甲，乙同时到原路返回，结果甲，乙同时到达达 B 地，若乙骑车比甲出行每小时快地，若乙骑车比甲出行每小时快 10 公里，则公里，则 两人同时到达两人同时到达 B 地的时间是地的时间是 20 (A)下午下午 2 时时 (B) 下午下午 2 时半时半 (C) 下午下午 3 时时 (D) 下午下午 3 时半时半 (E) 下午下午 4 点点 例例 1.30 甲，乙两仓库储存的粮食重量之比为甲，乙两仓库储存的粮食重量之比为 4:3，现从甲库中调出，现从甲库中调出 10 万吨万吨 粮食，则甲，乙两仓库库存粮吨数之比为粮食，则甲，乙两仓库库存粮吨数之比为 7:6，甲仓库原有粮食的吨数为，甲仓库原有粮食的吨数为 (A)70 (B)78 (C)80 (D) 85 (E) 以上均不对以上均不对 例例 1.31 甲，乙两队修一条公路，甲单甲，乙两队修一条公路，甲单独施工需要独施工需要 40 天完成，乙单独施工天完成，乙单独施工 需要需要 24 天完成，现在两队同时从两端开始施工，在距离公路中点天完成，现在两队同时从两端开始施工，在距离公路中点 7.5 公里处会公里处会 合完工，则公路长度为合完工，则公路长度为 (A)60 公里公里 (B)70 公里公里 (C)80 公里公里 (D) 90 公里公里 (E) 100 公里公里 例例 1.32 甲，乙，丙三人进行百米赛跑，甲，乙，丙三人进行百米赛跑，(假设他们的速度不变假设他们的速度不变)，当甲到达终，当甲到达终 点时，乙距离终点还有点时，乙距离终点还有 10 米，丙距离终点还有米，丙距离终点还有 16 米，则当乙到达终点时，丙米，则当乙到达终点时，丙 离终点还差离终点还差( )米米 (A)22/3 (B)20/3 (C)15/3 (D) 10/3 (E) 以上均不对以上均不对 例例 1.33 某地水费的收费标准如下：每户每月使用不超过某地水费的收费标准如下：每户每月使用不超过 5 吨，按吨，按 4 元元/吨收吨收 费，若超过费，若超过 5 吨则按更高的标准收费，吨则按更高的标准收费，9 月份张家的用水量比李家多月份张家的用水量比李家多 50%，两，两 家的水费分别为家的水费分别为 90 元和元和 55 元，则超过元，则超过 5 吨的收费标准是吨的收费标准是 (A)5 元元/吨吨 (B) 5.5 元元/吨吨 (C) 6 元元/吨吨 (D) 6.5 元元/吨吨 (E)7 元元/吨吨 例例 1.34 某产品有一等品，二等品和不合格品三种，若在一批产品中一等品某产品有一等品，二等品和不合格品三种，若在一批产品中一等品 件数和二等品件数的比是件数和二等品件数的比是 5:3，二等品件数和不合格件数的比是，二等品件数和不合格件数的比是 4:1，则该产品，则该产品 的不合格率约为的不合格率约为 (A) 7.2% (B)8% (C)8.6% (D)9.2% (E) 10% 例例 1.35 完成某项任务，甲单独做需要完成某项任务，甲单独做需要 4 天，乙单独做需要天，乙单独做需要 6 天，丙单独做天，丙单独做 需要需要 8 天，现甲，乙，丙三人依次一日一轮换地工作，则完成该项任务共需的天，现甲，乙，丙三人依次一日一轮换地工作，则完成该项任务共需的 天数为天数为 (A) 2 6 3 (B) 1 5 3 (C) 6 (D) 2 4 3 (E) 4 例例 1.36 将价值将价值 200 元的甲原料与价值元的甲原料与价值 480 元的乙原料配成一种新原料，若元的乙原料配成一种新原料，若 新原料每千克的售价分别比甲，乙原料每千克的售价少新原料每千克的售价分别比甲，乙原料每千克的售价少 3 元和多元和多 1 元，则新原元，则新原 料的售价是料的售价是 (A)15 元元 (B)16 元元 (C)17 元元 (D)18 元元 (E) 19 元元 解题说明解题说明 A 条件条件(1)充分，但条件充分，但条件(2)不充分不充分 B 条件条件(2)充分，但条件充分，但条件(1)不充分不充分 C 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，但条件单独都不充分，但条件(1)和条件和条件(2)联合起来充分联合起来充分 D 条件条件(1)充分，条充分，条件件(2)也充分也充分 21 E 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，条件单独都不充分，条件(1)和条件和条件(2)联合起来也不充分联合起来也不充分 例例 1.37 某城区某城区 2001 年绿地面积较上年增加了年绿地面积较上年增加了 20%，人口却负增长，结果，人口却负增长，结果 人均绿地面积比上年增长了人均绿地面积比上年增长了 21%。 (1)2001 年人口较上年下降了年人口较上年下降了 0.826% (2)2001 年人口较上年下降了年人口较上年下降了 10% (A) 例例 1.38 A 公司公司 2003 年年 6 月份的产值是月份的产值是 1 月份产值的月份产值的a倍。倍。 (1)在在 2003 年上半年，年上半年，A 公司月产值的平均值比率为公司月产值的平均值比率为 5 a (2)在在 2003 年上半年，年上半年，A 公司月产值的平均值比率为公司月产值的平均值比率为 6 1a (E) 例例 1.39 1 满杯酒容积为满杯酒容积为 1/8 升升 (1)瓶中有瓶中有 3/4 升酒，再倒入升酒，再倒入 1 满杯酒课使瓶中的酒增至满杯酒课使瓶中的酒增至 7/8 升升 (2)瓶中有瓶中有 3/4 升酒，再从瓶中倒出升酒，再从瓶中倒出 2 满杯酒可使瓶中的酒减至满杯酒可使瓶中的酒减至 1/2 升升 (D) 例例 1.40 管径相同的三条不同管道甲，乙，丙同时向某基地容积为管径相同的三条不同管道甲，乙，丙同时向某基地容积为 1000 立方立方 平米的油罐供油，丙管道的供油速度比甲管道供油速度大平米的油罐供油，丙管道的供油速度比甲管道供油速度大 (1)甲，乙同时供油甲，乙同时供油 10 天可灌满油罐。天可灌满油罐。 (2)乙，丙同时供油乙，丙同时供油 5 天课灌满油罐。天课灌满油罐。 (C) 例例 1.41 本学期，某大学的本学期，某大学的a个学生，或者付个学生，或者付x元的全额学费或者付半额学元的全额学费或者付半额学 费，付全额的和学生所付的学费占这费，付全额的和学生所付的学费占这a个学生所付学费总额的比率是个学生所付学费总额的比率是 1/3. (1)在这在这a个学生中，个学生中，20%的人付全额学费。的人付全额学费。 (2)这这a个学生本学期共付个学生本学期共付 9120 元学费。元学费。 (A) 例例 1.42 一件含有一件含有 25 张一类贺卡和张一类贺卡和 30 张二类贺卡的邮包的总重量张二类贺卡的邮包的总重量(不计包装不计包装 重量重量)为为 700 克。克。 (1)一类贺卡重量是二类贺卡重量的一类贺卡重量是二类贺卡重量的 3 倍倍 (2)一张一类贺卡与两张二类贺卡的总重量是一张一类贺卡与两张二类贺卡的总重量是 100/3 克克 (C) 第七章第七章 平面几何与立体几何平面几何与立体几何 第一节第一节 三角形三角形 一、一、三角形的性质三角形的性质 22 三角形的任何两边的和一定大于第三边三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，任意两边的差一定小于第三边。，任意两边的差一定小于第三边。 三角形内角和等于三角形内角和等于 180 度度 三角形共有三角形共有三三心：三角形的内心、外心、重心、垂心心：三角形的内心、外心、重心、垂心 内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。 外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。外心：三条中垂线的交点，也是三角形外接圆的圆心。 重心：三条中线的交点。重心：三条中线的交点。 垂心：三条高所在直线的交点。垂心：三条高所在直线的交点。 二、二、直角三角形直角三角形 两直角边平方的和等于斜边的平方两直角边平方的和等于斜边的平方; 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; 直角三角形中直角三角形中,30 度的内角所对的直角边等于斜边的一半度的内角所对的直角边等于斜边的一半; 直角三角形中直角三角形中,若一直角边等于斜边的一半若一直角边等于斜边的一半,则这条边所对的内角为则这条边所对的内角为 30 度度; 两个直角边的乘积等斜边与其高的乘积两个直角边的乘积等斜边与其高的乘积. 三、三、等腰直角三角形等腰直角三角形 等腰三角形的两个底角相等。等腰三角形的两个底角相等。 等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 等腰三角形的两底角的平分线相等。等腰三角形的两底角的平分线相等。 等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 等腰等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高 等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它 的对称轴，正三角形有三条对称轴。的对称轴，正三角形有三条对称轴。 四、四、等边三角形等边三角形 性质：性质： 顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； 等边三角形的各角都相等，并且都等于等边三角形的各角都相等，并且都等于 60。 判定：判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形. 五、两个三角形相似五、两个三角形相似 性质性质 相似三角形对应边成比例，对应角相等相似三角形对应边成比例，对应角相等 相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形对应边的比叫做相似比 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 相似三角形对应线段相似三角形对应线段(角平分线、中线、高角平分线、中线、高)等于对应边之比等于对应边之比 判定判定 三边对应成比例三边对应成比例，则这两个三角形相似则这两个三角形相似 两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似 两角对应相等两角对应相等，则两三角形相似则两三角形相似 六、六、全等三角形全等三角形 定义定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 性质性质。 全等三角形对应角全等三角形对应角(边边)相等。相等。 全等三角形的对应线段全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等。相等、周长相等、面积相等。 23 判定判定 SAS ASA AAS SSS 任意三角形的面积任意三角形的面积 11 sin 22 SbhabC= 例例 1.1 在在ABC中，三边长分别为中，三边长分别为 3，12k，8，则实数，则实数k的取值范围是的取值范围是 (A) 52k (C) 2k (B) acb+ (C) abc 例例 1.3 一个三角形三边之长分别为一个三角形三边之长分别为 6,8,10，那么最长边的高是，那么最长边的高是 (A) 4 (B)4.5 (C)4.8 (D)5 (E) 6 例例 1.4 等腰直角三角形的面积是等腰直角三角形的面积是 10，则其斜边长是，则其斜边长是 (A) 15 (B)20 (C)2 5 (D)2 10 (E) 4 5 例例 1.5 直角三角形的一个内角是直角三角形的一个内角是 30，面积是，面积是10 3，则其斜边长是，则其斜边长是 (A) 10 (B)2 10 (C)3 10 (D)3 5 (E) 4 5 例例 1.6 等腰直角三角形的斜边为等腰直角三角形的斜边为 5，则他的直角边长为，则他的直角边长为 (A) 5 2 (B) 5 2 (C) 5 2 (D)5 2 (E) 2 5 解题说明解题说明 A 条件条件(1)充分，但条件充分，但条件(2)不充分不充分 B 条件条件(2)充分，但条件充分，但条件(1)不充分不充分 C 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，但条件单独都不充分，但条件(1)和条件和条件(2)联合起来充分联合起来充分 D 条件条件(1)充分，条件充分，条件(2)也充分也充分 E 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，条件单独都不充分，条件(1)和条件和条件(2)联合起来也不充分联合起来也不充分 例例 1.7 ABC为直角三角形为直角三角形 (1) ABC的三边长之比为的三边长之比为1:2 :3 (2) ABC的三边长之比为的三边长之比为3:4:5 (D) 第二节第二节 四边形四边形 一、平四边形一、平四边形 24 定义定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。 性质性质 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等。 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等。 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的邻角互补 夹在两条夹在两条平行线平行线间的平行间的平行线段线段相等。相等。 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线对角线互相平分。互相平分。 判定判定 如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。如果一个四边形的两组对边分别相等，那么这个四边形是平行四边形。 如果一个如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形。 如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。如果一个四边形的两条对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形。 如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。如果一个四边形的两组对角分别相等，那么这个四边形是平行四边形。 如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。如果一个四边形的两组对边分别平行，那么这个四边形是平行四边形。 二、二、梯形梯形 定义定义 一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(trapezium)(一一 组对边平行且不相等的四边形叫做梯形组对边平行且不相等的四边形叫做梯形)。 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形(isosceles trapezium)。 直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 性质性质 等腰梯形两腰相等、两底平行；等腰梯形两腰相等、两底平行； 等腰梯形在同一底上的两个内角相等；等腰梯形在同一底上的两个内角相等； 等腰梯形的对角线相等等腰梯形的对角线相等(可能垂直可能垂直)； 等腰梯形是等腰梯形是轴对称图形轴对称图形，它只有一条，它只有一条对称轴对称轴，一底的垂直平分线是它的对，一底的垂直平分线是它的对 称轴。称轴。 判定判定 两腰相等的梯形是等腰梯形。两腰相等的梯形是等腰梯形。 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。梯形。 对角线相等的梯形是等腰梯形。对角线相等的梯形是等腰梯形。 平行四边形平行四边形的面积的面积 sinSbhab= 梯形梯形的面积的面积 S中位线高中位线高 1 2 (上底下底上底下底)高高 例例 2.1 ABCD 是边长为是边长为a的正方形，点的正方形，点 P 在在 BC 上移动，则上移动，则PAD的面积为的面积为 25 (A) 2 1 2 a (B) 2 1 3 a (C) 2 2 3 a (D) 2 3 4 a (E) 2 1 4 a 例例 2.2 平行四边形的一个角比他的邻角的平行四边形的一个角比他的邻角的 2 倍还大倍还大 15，则相邻两个内角，则相邻两个内角 为为 (A) 30,70 (B) 40,95 (C) 55,125 (D) 50 ,115 (E) 45,105 例例 2.3 在梯形在梯形ABCD中，中，60 ,45AB = AA， ，8,6CDAD=，则，则BC 的长为的长为 (A) 3 3 (B) 3 6 (C) 6 3 (D) 6 6 (E) 6 解题说明解题说明 A 条件条件(1)充分，但条件充分，但条件(2)不充分不充分 B 条件条件(2)充分，但条件充分，但条件(1)不充分不充分 C 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，但条件单独都不充分，但条件(1)和条件和条件(2)联合起来充分联合起来充分 D 条件条件(1)充分，条件充分，条件(2)也充分也充分 E 条件条件(1)和条件和条件(2)单独都不充分，条件单独都不充分，条件(1)和条件和条件(2)联合起来也不充分联合起来也不充分 例例 2.4 长于宽之比为长于宽之比为 2:1 的矩形的面积增大原来的的矩形的面积增大原来的 2 倍。倍。 (1) 宽增大，长不变，使之成为正方形宽增大，长不变，使之成为正方形. (2) 宽增大为原来的宽增大为原来的 2 倍，长缩小为原来的一半倍，长缩小为原来的一半 (A) 例例 2.5 在矩形在矩形 ABCD 中，中， BE=DF,能确定原矩形的面积与四边形能确定原矩形的面积与四边形 AECF 的面的面 积之比为积之比为 3:2 (1) BE:EA=1:2 (2) AB=6,BC=3,CE=13 (D) 第三节第三节 圆圆 圆是一种圆是一种几何图形几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时， 它的另一个端点的轨迹叫做圆。根据定义，通常用它的另一个端点的轨迹叫做圆。根据定义，通常用圆规圆规来画圆。来画圆。 1 在同一平面内， 到定点的距离等于定长的点的在同一平面内， 到定点的距离等于定长的点的集合集合叫做圆叫做圆(circle)。 这个定。 这个定 点叫做圆的点叫做圆的圆心圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。图形一周的长度，就是圆的周长。 2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做做半径半径，字母表示为，字母表示为 r(radius)。 3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径直径，字母表示为，字母表示为 d(diameter)。 直径所在的直线是圆的对称轴。直径所在的直线是圆的对称轴。 26 4 连接圆上任意两点的线段叫做连接圆上任意两点的线段叫做弦弦(chord).最长的弦是直径。最长的弦是直径。 5 圆上任意两点间的部分叫做圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称，简称弧弧(arc).大于半圆的弧称为大于半圆的弧称为优弧优弧， 优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆，劣弧用两个字母表示。半圆 既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于 180 度的弧，劣弧是小于度的弧，劣弧是小于 180 度的弧。度的弧。 6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形扇形(sector)。 7 由由弦弦和它所对的一段弧围成的图形叫做和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形弓形。 8 顶点在圆心上的角叫做顶点在圆心上的角叫做圆心角圆心角(central angle)。