数字信号处理DSP刘兴钊习题答案完整版.pdf

1 习题详解 第 1 章 单项选择题（ 习题详解 第 1 章 单项选择题（1-11-10 题）题） 1-1 关于序列 x n的自相关 * xx k rnx k x kn = =+ ，错误的是 （D） （A）0 xx rE=，E是序列的能量 ； （B） * xn的自相关等于 x n的自相关； （C）x nm的自相关等于 x n的自相关，m 是任意整数； （D） xxxx rnrn=。 解： （A） * 0 0 xx k rx k xkE = =+= （B） x k共轭翻褶再左移n得到 * ( )xkn+ * * () x xn kk rnxk xnkx kn x kr n = =+=+= （C） * () () x n mx n kk rnxkm x knmx k x knrn = =+=+= （D） * xxxx kk rnx k xnkx kn x krn = = +=+= 若 x n是实序列则自相关偶对称 1-2 序列 11 5cos() 63 x nn = 的周期是 （A） （A）12 （B）11 （C）12/11 （D）6 解： 212 11 11 6 = ，所以周期 12 1-3 下列系统因果且稳定的是 （B） （A） 2 n T x nx n= （B） 1T x nx nu n=+ （C） 10 log T x nx n= （D） 5 5 n k n T x nx k + = = 1-4 下列系统线性且时不变的是 （B） （A） 0 n kn T x nx k = = （B） 0 0 n n k n n T x nx k + = = （C） 0.5x nT x n= （D） T x nxn= 1-5 有一系统输入为 x n，输出为 y n，满足关系 ( 2) y nx nu nu n=+，则系统是（A） （A）线性的 （B）时不变的 （C）因果的 （D）稳定的 解： 2 () 1212 1212 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( 1 ) 1( 1 ) 1 var ( ) 2 k A T ax nbx nax nbx nh n u n a x nh n u nb x nh n u naT x nbT x n linear B T x nx nh n u ny nx nh n u n timeiant C y nx nk u k = +=+ =+=+ = =+ 2 ( 2 .) , () k u n x nku nx nu nnoncausal D unstable = =+ 1-6 LTI 系统的单位脉冲响应如下，因果且稳定的是 （C） （A）2nunh n = （B） 1=nuanh n （C）)5 . 0cos( 10 nRnnh= （D） 22h nu nu n=+ 1-7 关于 LTI 系统，以下说法正确的是 （C） （A）IIR 不能实现； （B）IIR 是非因果系统； （C）IIR 不一定稳定； （D）IIR 不如 FIR 好。 1-8 有一系统，其输入 x n和输出 y n按图T1-1所示方框图关联。其中 h n是因果稳定的LTI 系统的单位脉冲响应。则整个系统不是 （B） (A)线性的 (B)时不变的 (C)稳定的 (D)因果的 0 jn e 图T1-1 解： () () 0 0 0 00 0 1212 12 00 () 00 , ,var ,( ), jn jn jn jn n jn y nx n eh n T ax nbx nax nbx neh n aT x nbT x nlinear T x nnx nn eh n y nnx nn eh ntimeiant if x nfinite then x n efinite then y = +=+ =+ = = () 00( 1) , 011 ., jnjn nfinitestable y nx n ehx nehcausal =+ 1-9 设LTI系统的单位脉冲响应 h n和输入序列 x n如图T1-2所示，则输出样本正确的是 （D） -2 -1 0 1 xn 2 -1 hn 1 2 1 0.5 0 1 2 图T1-2 3 （A） 21y = （B） 12y = （C）03y= （D）15.5y= 解： 2 2 02yxh= 1 1 0 2 11yxhxh=+= 00 0 1 1 2 23.5yxhxhxh=+= 11 00 1 1 2 2 35.5yxhxhxhxh=+= 1-10 关于LTI系统的实现，以下说法错误的是 （C） （A）FIR可以采用卷积和实现； （B）FIR可以采用有递归的差分方程实现； （C）IIR可以采用卷积和实现； （D）IIR可以采用有递归的差分方程实现。 填空题（填空题（1-111-15 题）题） 1-11 用 n的移位加权和表示图T1-3所示序列 x n= 2 12nnn+。 xn 图T1-3 1-12 设 y nx nh n=，则23x nh n=5y n（用 y n表示） 。 1-13有限长序列 x n的非零区间是09n和3039n， y n的非零区间是1019n， 则 nx ny n=的非零区间是1028n和4058n。 1-14已知回声系统的输入输出关系 0 nnxanxny+=，系统的单位脉冲响应 h n= 0 nann+，单位阶跃响应 s n= 0 u nau nn+。 1-15 线性常系数差分方程为 1 12 4 y ny ny nx n+= ，设输入是 x nn=，初始条件是 0y n =，0n ，求系统的单位阶跃响应； （c）证明：如果系统稳定，则单位阶跃响应有界。 解： （a） * ( 1)* 1h nnh nu nu nh ns ns n= （b）图解法或解析法 1 0 1 1 1 0, 1 1 0, 1 ,0 1 1 ,0 1 k k n n k k k k n s na uk u nk a ns na a ns na a a n a s n n a = = = = = = = （c） ,| |, | | n nkkn stableh ns nh nu nh k u nkh kh n = (B) 0 | | za （C） 3 ( ) (21)(2) z X z zz = ,2z （D） 3 ( ) (21)(2) z X z zz = , 1 2 2 z，则5xn 的 z 变换和 ROC 是 （D） （A） 5 (1/ ),1/z Xzza （B） 5 (1/ ),1/z Xzza （C） 5 (1/ ),1/z Xzza 。 2-10 不需求出( )X z，直接写出下列序列 z 变换的 ROC。 14 （a） 1,105 0, n x n = 其它 的 ROC 是0 | z。 解： 2 2 000 1 ( )2 2 ,| 1 1 nnk nkknk X znkznk zzz z = = 2-13 11 ( )(1 2 )(1 3)(1)X zzzz =+的反变换为 x n=2 1 3 8 1 3 2nnnn+。 2-14 已 知 序 列 x n的z变 换 是( )X z， 其 零 点 和 极 点 分 别 是 ,0,1,.,1,0,1,.,1 kk c kNdkM=和。则序列 ( 1) n y nx n= 的 z 变换( )Y z= ()Xz (用( )X z表示)，零点是,0,1,.,1 k c kN=，极点是,0,1,.,1 k dkM=-。 解：()( )( 1) () n nn nn Y zx n zx nzXz = = 2-15 某序列 x n的 z 变换为 1 1 51 ( ) 1 1 3 1 2 X z z z =+ ， 收敛域包括单位圆。 则其0x的值为 5 。 解： 1 1 1 0 1 51 ( ),1/2 | 3 1 1 3 1 2 51 0limlim5 1 1 3 1 2 zz X zz z z x z z =+。 （b） ()() 11 12 12 11 121 12 ( ) 2543 111 1234 zz zz X z zzzz + + = + 零点：1，-2；极点：4/3，3/4；3/4 | 4/3z，右边序列。 2-19 利用 z 变换的性质求下列序列的 z 变换，并画出零极点图和收敛域。 (a) () 0.3 0.5 n j N x neRn = (b) ,0 2,12 0, nnN x nNn NnN =+ 其他 解： （a) () () () 0.31 0.3 0.31 0.3120.312/ 0.32/0.32/ 10.5 ( ),0.5 1 0.5 0.510.5 0.50.5,0,1,.1 10 N j j j N jjkjjk N jk Njjk N ez X zze ez ezeeze zeeekN Nz = = = = = 极点： 零点：， 第一个零点与极点抵消，还有阶极点 所以： ()0.32/ 0(1),0.5,1,.1 jk N zNzekN =极点阶 零点 所以ROC | | 0z (b) 22 1 121 2/ 111 1,( ),| 0 11 0(22,(2,1,2,.1 NN NN N jk N zz x nRnRnX zzz zzz zNzekN = =极点阶)零点阶) 16 2-20 利用 z 变换的性质求下列序列的 z 变换及 ROC。 (a) (1/2)2 n x nnu n= （b） 0 cos() x nnn u n=，其中 0 为常数； （c） (1/4) n x nn=。 解： （a） 1 2 1 1 2 2 21 1 1 (1/2) ,| 1/2 1 (1/2) (1/4) (1/2)2 1 (1/2) 1 1 (1/4)1 4 ( ),1/2 1 (1/2)2 1 1 2 z n z n u nz z z u n z z dz X zzzz dzz z = = (b) 设 0 cos() y nn u n=,则 1 0 12 0 1cos 1 2cos z Y z zz = + 而 x nny n=，所以 () 123 00 2 12 0 cos2cos( ) ( ) 1 2cos zzzdY z X zz dz zz + = = + ,1z （c） 11 ( )( ) 41 44 nnn x nnnu nnun= i 1 1 111 ( ) , 1 44 1 4 1 41,4 1 4 zn zn u nz z unz z = （b） 33 1 ( ), 1 X zza a z = （c） 1 5 1 1 2 ( ),1 1 z X zz z = 解： （a） 2 11 0 1111 ( ), () )2 2 112 nnk k X zx nau na u nank azaz = =+=+= + （b） 3 0 3 k k x nank = = （c） 00 1 5 1 5 2 kk x nnknk = = 2-22 用长除法求以下 z 反变换。 (a) 1/3 3 1 ( ),2 1 1 2 X zz z = （b） 1 1 1 1 3 ( ), 1 1 3 z X zx n z = + 为右边序列 （c） 1 1 2 ( ),2 (1 2) z X zz z = 解 （a）参照 2-21（b）解答，或用长除法 /3 0 1 ,0,3,6,.1 3 2 2 0, n k k n x nnk = = = 其它 （b）方法 1： 1 1111 12 3333 nnn x nu nu nu nn = = 方法 2：长除法 18 （c）根据收敛域判断是因果序列，因而( )X z分子分母应按 z 的降幂或 1 z的升幂排列，进行 长除： 12345 121 4123280 1 44 zzzzz zzz + + 123 23 44 44 zzz zz + 234 34 41616 1216 zzz zz + 345 45 124848 3248 zzz zz + 567 67 32128128 80128 zzz zz + ? 所以 4 011223341 1 ( )1 22 23 24 22n n n X zzzzznz = = + + + += ? 由此得到 1 21 n x nnu n = 2-23 序列 1 1 2 n x nu n = , 2 31 n x nun= ，利用 z 变换求以下序列。 （a） 12 31y nx nx n=+ （b） 12 k y nx k x kn = =+ 解： （a） 19 11 1 22 1 3 12 1 1 3 2 11 11 111 ( ),| 1 22 1 2 1 31( ),| 3 1 3 1 3,|,1,| 3 1 21 3 1 2 1/56/5 ( ) 11 1 31 3 11 22 1 1 5 2 n n x nu nXzz z x nunXzz z zz x nzx nz z z zz Y zz zz zz y n = = =+因果，所以零点：极点：， （a） 3 ( )( ),30 3 -1,4;0 2,3/ 41/ 2 ,-1/ 2 ;:|3/ 4 Y zzX zzz jj ROCz = = 新增零点（ 阶），新增极点（ 阶），与原来的零点抵消掉1阶 所以零点：（ 阶）极点： （ 阶）， (b) 20 ( )(1/ ), 0,-1,;4/3 2 ,-2 ;:|4/3 Y zXz jj ROCz = 零点极点变成原来的共轭 零点：极点：， (e) ( )( /0.2), 0,-0.2,;3/ 201/10 ,-1/10 ;:|3/ 20 Y zX z jj ROCz = 零点极点变成原来的0.2倍 零点：极点：， *2-25 已知 x n是因果序列，其 z 变换为( )X z，收敛域为|za，且( )X z在1z =处没有零 点。考虑序列 0 n m y nx m = =，用( )X z表示其 z 变换( )Y z，并写出收敛域。 解： 0 n m y nx mx nu n = = ，所以( )( ) 1 z Y zX z z = ，z=1 新增了一个极点，所以 max(1,|)za 解法 2： 000 ( )( )( ) nn n mnm y nx mx m z = = ZZ 由于是因果序列的累加，故有 n0。改变求和次序，可得 1 000 ( )( )( ) 1 m nnn n mmn mm z x mx mzx m z = = Z 1 0 1 ( ) 1 n m m x m z z = = 1 1 ( )( ),max(|,1) 11 z x nX zza zz = Z *2-26 利用序列的线性加权性质求解本题。 （a）证明 2 dd ( ) dd Z n x nzzX z zz = ； （b）求 2 n x nn a u n=的 z 变换； （c）求 2 (1)1x nnu n=的 z 变换； （d）求 2 (1) ( 3) ( 4)x nnu nu nu nu n=+的 z 变换。 证明： （a） 2 ddd ( ) ddd Z n x nZ n nx nzZ nx nzzX z zzz = = 2 2 2 dd ( )( ) dd zX zzX z zz =+ （b） 21 ROC 改成| |za （c） | 1z （d） （c）和（d）中大写 Z 改成小写 z *2-27 设因果序列 g n的 z 变换为 112 ( )sin()(123)G zzzz =+，求出11g的值。 解： 124 357911 124 ( )sin()(123) ()(123) 3!5!7!9!11! n n G zzzz zzzzz zzz g n z =+ =+ = ? 22 123 11 11!9!7! g= + MATLAB 上机题（2-282-30） MATLAB 上机题（2-282-30） 2-28 已知 z 变换 1 12 1 1 2 ( ) 123 z X z zz = + ，ROC 包括单位圆。 （a）求零点和极点； （b）画出零点和极点图； （c）画出( )X z在单位圆上的函数值（包括幅度和相位） 。 提示：可以调用的函数有 tf2zp（） 、zplane（）和 freqz（）等。 解： B=1,- 0.5; A=1,2,3; z,p,k=tf2zp(B,A); figure; zplane(B,A); figure; freqz(B,A); 输出：z = 0.5000；p =-1.0000 + 1.4142i， -1.0000 - 1.4142i；k = 1 23 2-29 已知因果序列 x n的 z 变换 11 11 ( ),| 0.5 1 0.51 0.2 X zz zz = ，画出序列 x n的前 20 个样本。 提示：可以调用的函数有 impz（）等。 解：B1=1; A1=1 -0.5; B2=1; A2=1,-0.2; x1,n1=impz(B1,A1,20); x2,n2= impz(B2,A2,20); x=x1-x2; stem(n1,x); 2-30 将以下 z 变换分解成部分分式形式 1 12 1 1 11 2 ( ), 31 42 1 48 z X zz zz = 的反变换 xn= 3 1 3 k k ank = + 。 解： （a） ()(1 0.5)(12)1 0.521 2 12 0.5 1 jjjjj X eeeee x nnnn = + = + （b） ()()() 2244 ()sin(2 )sin( 4 )cos( ) 222 111 442211 222 jjjjjj j eeeeee X e jj x nnnnnnn jj + =+=+ =+ 27 （c） 33 33 33336699 33 3369 3 1 1 (),| 1|, 1 1 1 36912 3 j j j jjjj j k k X eaROCza a e a e a ea ea ea e a e x nanananan ank = = + 和 11 11 ( ),3 (1 0.2)(1 3)5 X zz zz = （D） 1 5 z 4-2 下列 LTI 系统是 IIR 系统的是 （D） （A）差分方程为 1 5y ny nx nx n=+； （B）单位脉冲响应为 210 nn h na u na u n=+； （C）系统函数为 0.610.610.810.81 ( )(1 0.3)(1 0.3)(1 1.2)(1 1.2) jjjj H zezezezez = （D）系统函数的零点极点图如图 T4-1 所示。 图 T4-1 图 T4-2 4-3 若一个 LTI 系统的系统函数有如图 T4-2 所示的零极点，并且系统是因果的，则关于其逆 系统，正确的说法是（提示：零点极点个数相同） （C） （A）因果稳定 (B)因果不稳定 (C)稳定非因果 (D)非因果，不稳定 解：无穷远还又一个零点。逆系统的 ROC 是圆外部，但不包括无穷远，非因果 4-4 已知二阶差分系统的差分方程 2 12y nx nx nx n=+，该系统是 （B） （A）低通滤波器 （B）高通滤波器 （C）带通滤波器 （D）带阻滤波器 解：z=1 有零点，采用几何法判断是高通。 4-5 已知 LTI 系统 1 的差分方程是 0.5 1y nx ny n=+，其频率响应为 1( ) j H e ，LTI 系统 2 的频率响应满足 21 ()() jj HeHe =，则系统 2 是 （B） （A）低通滤波器 （B）高通滤波器 （C）带通滤波器 （D）带阻滤波器 解：就系统极点在0.5z =,新系统 21 ( )()HzHz=,极点在0.5z = ，几何法确定是高通。 4-6 下列系统函数代表的不是全通系统的是 （D） （A） 1 1 1 2 ( ) 1 0.5 z H z z = （B） 2 2 9 ( ) 1 9 z H z z = 40 （C） 2 ( )H zz= （D） 2 1 4 ( ) 1 0.5 z H z z = 解： （C）是理想延迟系统 4-7 以下系统函数中是最小相位系统的是 （C） （A） 11 1 11 (1 3)(1 0.5) ( ) (1 0.2)(1 0.2) zz H z zz + = + （B） 11 2 11 1(1)1 (1) ( ) (1 0.6)(10.6) j zj z Hz zz + = + （C） 1 3 11 (1 0.2) ( ) (10.5)(10.5) z Hz jzjz = + （D） 11 4 11 (1 0.2) ( ) (1 0.5)(1 0.5) zz Hz zz = + 解： （C）1+j 在单位圆以外； （D）有零点在无穷远。 4-8 以下说法错误的是 （B） (A)最小相位系统的级联也是最小相位系统；(B)最小相位系统的并联也是最小相位系统； （C）最小相位系统的逆系统也是最小相位系统； （D）全通系统的级联也是全通系统。 4-9 以下说法错误的是 （B） （A）广义线性相位系统级联是广义线性相位系统； （B）广义线性相位系统并联是广义线性相位系统； （C）零相位系统级联一定是线性相位系统； （D）零相位系统并联一定是线性相位系统。 4-10 可以采用四类线性相位 FIR 系统中任意一种实现的选频滤波器是 （C） （A）低通 （B）高通 （C）带通 (D)带阻 填空题（4-11 题4-20 题） 填空题（4-11 题4-20 题） 4-11 已知 LTI 系统的输入和输出的 z 变换分别为 1 11 ( ), 1 4 1 4 X zz z = ， 如果另一个系统稳定，且只有一个极点，则其系统函数 2( ) Hz= 1 1 ,| 2 0.5 z z ，带通 （ ）， 1 6 1/6,|/6 1 ()()*()1/4 | /2 ,/6 |/2, 2 0,|/2 jjj lplp H eHeHe 非理想低通 4-24 某因果 LTI 系统的系统函数为 2 11 ( ),| 1/2 11 11 23 z H zz zz = ， 已知输入信号为 x nu n=，用两种方法求4y。 （a）递推法； （b）z 变换法。 解： （a）递推法 1 20 25/6 1 1/6 2 0010201, 315/6 211/6, 425/6 3 1/6 21 55/36 1/685/36 yy y nx ny ny n yyyxyxy yxyy = =+ =+= =+= += 因果， 初始条件 ， （b）z变换法求卷积 () 2 1 11 111 1293 ( )( )( ) 1111 1 11111 2323 12(1/2) 9(1/3) 3 485/36 nn z Y zX z H z z zzzzz y nu nu nu n y =+ = + = 4-25 考虑一个 LTI 系统，其输入是 0.5 1 n x nu nun=+ ，输出是 0.75 n y nu n=。 (a)求该系统的系统函数，画出 H(z)的零极点图并指出收敛域； (b)求系统的单位脉冲响应； (c)写出表征该系统的差分方程； (d)判断该系统的稳定性和因果性。 解： （a） () 1 1 1 11 1 1 1 1 11 2 ( ),1/2 | 1 11 1 111 22 1 ( ),| 3/4 3 1 4 23 ( )( )/( ),3/4 | 3 1 4 z X zz z zzz Y zz z zz H zY zX zz z =+= + = = = 当时， 即当时间足够长为M时，FIR系统输出所需要的以前的输入权重为0时，系统输出与 当输入是非因果信号时相同。 （b）相同 （c）方法1：求卷积再取极限 () 1 0 lim lim lim( 1) 2 1 1cos() 2 lim( 1)( 1)lim( 1) 2 111 222 k n k nnn k n n k n nkn nn k j y nx nh nu nk j jn jjj = + = = = + 方法2：求输入为无限长非因果序列时的输出，用特征函数法 () cos 2 ( )|()| 22 11 | 1/221/22 11cos() 1/2 21/22 1 2 j nj n j nj n jj j nj n jj j nj n ee x nn ee y nH eH e ee jeje een j jj = = + = =+ =+ =+= + + *4-30 考虑一个实序列 ,04 0x nnx n=在之外， 它的傅里叶变换是() j X e 。 给出下面信 息，确定并画出序列 x n。 （a）群延迟()2 j grd X e =； （b） 21 ()20 2 j X ed = ； 48 （c）序列 y nx nu n=，且 2 1 ()4 2 jj Y eed = ； （D）()0 j X e = =。 解：根据（a） ，对称中心在 2； 根据（b） ， 222 2 02 12 220xxx+=； 根据（c，24210yxxx=+ 根据（d） ，2 或 3 类广义线性相位，因为 M=4，所以 3 类，奇对称，所以 x2=0。 解出 1 3 0 -3 -13 1 0 -1 -3,n=0,1,2,3,4x n =或。 *4-31 希尔伯特变换器希尔伯特变换器的频率响应是 /2 /2 ,0 () ,0 j j j je H e je = 。 解： 22 ,|,|/()|,|/ () 0,|0,|/0,|/ j Tj Tj ccT eff cc eTeTH eT Hj TTT = = 56 5-135-13 考虑图 5.4-1 的系统， 已知( ) c x t带限到 5kHz，离散时间系统是一个截止频率为/8 弧度 /秒的理想低通滤波器。 (a)为了避免在 C/D 转换中发生混叠，T 的最大取值是 1/10000 s ； (b 若 1/T=10kHz，等效连续时间滤波器的截止频率是 625 Hz； (c) 若 1/T=20kHz，等效连续时间滤波器的截止频率是 1250 Hz ； （d）要想使等效连续时间滤波器的截止频率是 2.5kHz，1/T= 40 kHz。 解：(a) 1/2 5TkHz，则 max 1 10000 Ts=。 (b) 1 10kHz T =， 1 2625/625 810000 ccc Trad sfHz = = =， (c) 1 20kHz T =， 1 21250/1250 820000 ccc Trad sfHz = = =， (d) 2500 c fHz= 22500/ c rad s =， T= ， 8 c T =， 81 40 c kHz T = 5-145-14 在图 5.4-1 的的系统中，输入信号带限为()0,/ c XjT = 。已知等效连续时间系 统是积分器，即输出( ) c y t与输入( ) c x t的关系是( )( ) t cc y txd =。 （a）写出等效连续时间系统的频率响应() eff Hj = 1 ,0/ ( ),0 T j ，() c Xj如 57 图T5-1所示。对下列各种情况画出( ) r y t的傅里叶变换。 (a) 4 1/10T = (b) 4 1/2 10T = () c Xj 3 25 10 1 3 25 10 图 T5-1 解：(a) (b) 5-17 5-17 考虑图 5.3-5，已知采样周期 T，连续时间信号( ) a x t的傅里叶变换如图 T5-2 所示。 （a）画出抗混叠低通滤波器的频率响应() a Hj； （b）画出( ) c x t和 x n的傅里叶变换。 () a Xj 22 0 TT 图 T5-2 图 T5-3 解： （a） 1 | () 0 | a T Hj T = ， ， （b） 58 () c Xj 0 TT )( j eX 202 - 5-185-18 考虑图 5.4-1 所示系统。其中离散时间滤波器的频率响应() j H e 如图 T5-3 所示，采样 频率和重构频率1/T16kHz。 （a）画出整个系统的频率响应() eff Hj； （b）确定( ) c x t的最高频率的最大取值，以使等效连续时间系统是一个理想低通滤波器。 解： （a）截止频率22000/弧度 秒的低通滤波器 （b） x n的频谱混迭高于/4， 3 7 2,/214 10/ 44 NN TTrad s = *5-22*5-22 图 T5-5 所示系统中，()0,| 25000, n c k Xjy nx k = = =。 C/D hn T )(txcny nx 图 T5-5 （a）将 y 用)( j eX表示； (b)确定 T 的最大取值，使 |( ) nc y nx t dt = =。 解： （a） 0 0 ()| jnj k yx k eX e = = = （b） 0 0 0 |( )( )()| ()( 0), 5000,1/5000 jt nccc j c y nx t dtx t edtXj X eXj T = = = 即要求频率为0处不能混叠 1 T *5-23*5-23 考虑图 5.4-1 的系统。输入信号( ) c x t的傅里叶变换()0,| cN Xj = 。离散时间系 统的频率响应为 1, () 0, jc H e 在之外为零 ， y nx nh n=。 采 用 DFT 求 y n在 区 间 11MnL 的值，则 DFT 的最小点数是 （C） （A）M （B）M-1 （C）L （D）L+M-1 解：循环卷积是线性卷积的周期性延拓取主周期。本题只需线性卷积的中间段，两头允许混叠， 即允许求 L 点的循环卷积，其中间 M-1 到 L-1 点是没有混叠的线性卷积。 6-10 利用短时 DFT 分析信号频谱，分别采用矩形窗和汉宁窗（采用相同窗长和 DFT 点数） ，正 确的说法是 （A） （A） 前者较后者频率分辨率高； （B）前者较后者时间分辨率高； （C）前者较后者旁瓣相对幅度小； （D） 前者较后者频域取样更密。 填空题（6-11 题-6-25 题） 填空题（6-11 题-6-25 题） 6-11 已知42 323 174+=nnnnnnx，其 6 点 DFT 是kX， ) 1 , 0(3=kkXkY，则kY的 2 点 IDFT ny= 189+nn。 解 1：Yk是 6 点序列的 2 点频域取样，则重构后是原序列以 2 为周期的混迭。 解 2： 67 6666 6666 2222 1234 36912 3 4732 3 4732 432(7)432(7) kkkk kkkk kkkk X kWWWW Y kXkWWWW WWWW =+ =+ =+ +=+ + 6-12 X k是序列 1,03x nnn=+的 4 点 DFT，不直接计算 X k写出下列值。 （a）0X= 10 ； （b）2X= -2 ； （c） = 3 0 k kX= 4 ； （d） 3 2/4 0 jk k eX k = = 16 ； （e） = 3 0 2 )( k kX= 104 ； （f） = 3 0 2 | | k kX= 120 。 解：利用 DFT、IDFT 定义，循环卷积，PASWAL 定理 （a） 33 0 4 00 0 123410 n nn Xx n Wx n = = + += （b） 33 2 4 00 2 ( 1)1 2342 nn nn Xx n Wx n = = + = （c）404 0 3 0 3 0 = = xWkXkX k N kk （d） 333 2/413 44 000 4 316 jkkk kkk eX kX k WX k Wx = = （e）时域循环卷积在 n=0 点的取值。采用线性卷积混叠求循环卷积 33 220 40 00 04 ( )( )4 (4) | 4( * | * |) 4( 0 0)4(0 03 12 21 3) 4(14*23*32*4)104 k n kk nn X kX kWx nx n x nx nx nx n xxxxxxxxx = = = = =+ =+ =+= （f）PASWAL 定理120| |4| | 3 0 2 3 0 2 = =nk nxkX 6-13 一个长度为 8 的序列 7x nn在0之外为零，其 8 点 DFT 为 246 12sin3cos4sin 888 kkk X k = + ，则nx= 132231 123567 22 nnnnnnn jjjj +。 解： 68 ()()() 224433 888888 82233 8888888 7263 88888 246 12sin3cos4sin 888 132 1 2 132 1 2 11332 1 22 kkkkkk jjjjjj kkkkkkk kkkk kkk X k eeeeee jj WWWWWWW jj WWWWW jjj = + = + = + = + 5 8 2 132231 123567 22 kk W j x nnnnnnnn jjjj + =+ 6-14 一个 40 点长的有限长序列nx，)( j eX是它的傅里叶变换，现希望用一个 N 点的 DFT 求出4/3/, 2/和=处的)( j eX，则 DFT 点数 N 可取的最小值为 24 。 解：频域取样。N是4、6、8的最小公倍数。时域以24为周期混叠取主周期，得到24点序列， 再作24点DFT。 6-15 序列 01, 1,0,1,.1x nnNx nx Nn nN= =在之外为零 且，N 是偶数，其 N 点 DFT 是 /2X kX N=，则 0 。 解： 1 0 111 (/2) 000 /2 1/2 1 0/20/2 /2 1 1 00 , /2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1( 1) 1 ( 1) ( 1) N kn N n NNN Nnj nn N