普通高等学校招生全国统一考试天津卷理.pdf

绝密绝密 启用前启用前 2016 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）数学（理工类） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟。第卷 1 至 3 页，第卷 4 至 6 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条 形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试 卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 2. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 参考公式： 如果事件A，B互斥，那么 如果事件A，B相互独立，那么 ()( )( )P ABP AP B. ()()()P ABP A P B. 圆柱的体积公式VSh. 圆锥的体积公式 1 3 VSh. 其中S表示圆柱的底面面积， 其中S表示圆锥的底面面积， h表示圆柱的高. h表示圆锥的高. 一一. 选择题：在每小题给出的四个选项中选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集1,2,3,4A，32,By yxAx，则AB （ ） （A） 1 （B） 4 （C）1,3 （D）1,4 （2） 设变量x，y满足约束条件 0, 2360, 3290, 2 xy x xy y 则目标函数25zxy的最小值为 （ ） （A）-4 （B）6 （C）10 （D）17 （3）在ABC中，若13AB ，3BC ，120C，则AC （ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 （4） 阅读右边的程序框图， 运行相应的程序， 则输出S的值为 （ ） （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 （5）设 n a是首项为正数的等比数列，公比为q，则“0q ”是 “对任意的正整数n， 212 0 nn aa ”的（ ） （A）充要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （6）已知双曲线 22 2 1 4 xy b 0b ，以原点为圆心，双曲线的实 半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于, , ,A B C D四点，四边形ABCD的面积 为2b，则双曲线的方程为（ ） （A） 22 3 1 44 xy （B） 22 4 1 43 xy （C） 22 1 44 xy （D） 22 1 412 xy （7）已知ABC是边长为 1 的等边三角形，点,D E分别是边AB，BC的中点，连接DE 并延长到点F，使得2DEEF，则AF BC的值为（ ） （A） 5 8 （B） 1 8 （C） 1 4 （D）11 8 （8）已知函数 2 0, log 433 , 11,0 a xaxax f x xx (0a ，且1)a 在R上单调递减， 且关于x的方程 2f xx恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（ ） （A） 2 0, 3 （B） 2 3 , 3 4 （C） 1 23 , 3 34 （D） 1 23 , 3 34 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2本卷共 12 小题，共 110 分。 二二. 填空题填空题：本大题共本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. （第4题图） 结束 输出 S 是 否 否 是 n 3 ? n = n + 1 S = S 6S = 2S S 6 ? n = 1 S = 4 开始 （9） 已知, a bR，i是虚数单位， 若复11ibia，则 a b 的值为_. （10） 8 2 1 x x 的展开式中 7 x的系数为_.（用数字作 答） （11） 已知一个四棱锥的底面是平行四边形， 该四棱锥的三视图如 图所示（单位：m） ，则该四棱锥的体积为_m3. （12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E， 22BEAE，BDED，则线段CE的长为_. （13） 已知 f x是定义在R上的偶函数， 且在区间,0上单调 递增.若实数a满足 1 22 a ff ，则a的取值范围是 _. （14）设抛物线 2 2, 2 xpt ypt （t为参数，0p ）的焦点为F，准线为l. 过抛物线上一点 A作l的垂线，垂足为B. 设 7 ,0 2 Cp ，AF与BC相交于点E. 若2CFAF，且 ACE的面积为3 2，则p的值为_. 三三. 解答题解答题：本本大大题共题共 6 小小题，题，共共 80 分分. 解答应写出解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤文字说明，证明过程或演算步骤. （15） （本小题满分本小题满分 13 分分） 已知函数 4tan sincos3 23 f xxxx . （）求 f x的定义域与最小正周期； （）讨论 f x在区间, 4 4 上的单调性. （第11题图） 俯视图 1 3 111 正视图侧视图 （第12题图） E D C BA （16） （本小题满分本小题满分 13 分分） 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分 别为 3，3，4. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. （）设A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ，求事件A发生的概率； （）设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和 数学期望. （17） （本小题满分本小题满分 13 分分） 如图， 正方形ABCD的中心为O， 四边形OBEF为矩形， 平面OBEF 平面ABCD， 点G为AB的中点，2ABBE. （）求证：/EG平面ADF； （）求二面角OEFC的正弦值； （）设H为线段AF上的点，且 2 3 AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正 弦值. O H G F E D C B A （18） （本小题满分本小题满分 13 分分） 已知 n a是各项均为正数的等差数列，公差为d. 对任意的 * nN， n b是 n a和 1n a 的等比中项. （）设 22 1nnn cbb ， * nN，求证：数列 n c是等差数列； （）设 1 ad， 2 2 1 1 n k nk k Tb ， * nN，求证： 2 1 11 2 n k k Td . （19） （本小题满分本小题满分 14 分分） 设椭圆 22 2 1 3 xy a （3a ） 的右焦点为F， 右顶点为A. 已知 113e OFOAFA ， 其中O为原点，e为椭圆的离心率. （）求椭圆的方程； （）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上） ，垂直于l的直线与l交于点 M，与y轴交于点H. 若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围. （20） （本小题满分本小题满分 14 分分） 已知函数 3 1f xxaxb，xR，其中, a bR. （）求 f x的单调区间； （） 若 f x存在极值点 0 x， 且 10 f xf x， 其中 01 xx， 求证： 10 23xx； （）设0a ，函数 g xf x，求证： g x在区间0,2上的最大值不小于 1 4 . 参考答案及解析 一一选择题选择题：本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算. 每小题每小题 5 分，满分分，满分 40 分分. （1）D （2）B （3）A （4）B （5）C （6）D （7）B （8）C 二二. 填空题填空题：本本题考查基本知识和基本运算题考查基本知识和基本运算.每小题每小题 5 分，共分，共 30 分分. （9）2 （10）-56 （11）2 （12） 2 3 3 （13） 1 3 , 2 2 （14）6 第第卷卷 一一 选择题选择题： 本题考查基本知识和基本运算本题考查基本知识和基本运算. 每小题每小题 5 分， 满分分， 满分 40 分分. （1）解：因为1,4,7,10B ，所以1,4AB . （2）解：作出可行域，如图 依题意可知，目标函数25zxy过点3,0时取得最小值 6. （3） 解： 由余弦定理得 222 2cosABCACBCA CBC， 即 2 9313ACAC， 故 2 340ACAC，解得1AC . （4）解：依题意得 n S 1 16 2 10 3 4 所以，输出S的值为 4. （5）解：当0q 时，由 1 0a ，知 21 0 n a ， 2 0 n a 因为 21221 1 nnn aaaq ，所以当1q 时才有 212 0 nn aa ，故充分性不成立. 反之，若 212 0 nn aa ，则由 21 0 n a 知1q ，故必要性成立， 所以， “0q ”是“对任意的正整数n， 212 0 nn aa ”的必要不充分条件. （6）解：易知圆的方程为 22 4xy，双曲线的一条渐近线方程为 2 b yx. 不妨设四边形ABCD位于第一象限的点为 0 0, 2 bx D x ，则 O y x 2x + 5y = 0 3x + 2y - 9= 0 2x + 3y - 6= 0 2 x y + 2= 0 3 有四边形ABCD的面积 2 0 22Sbxb， 故 0 1x ，1, 2 b D ， 代入 22 4xy得 2 12b ， 所以，双曲线的方程为 22 1 412 xy . （7）解：因为 1 cos60 2 AB ACABAC， 2 2 1ABAB， 2 2 1ACAC， 所以 AF BCADDFACAB 13 24 ABACACAB 22113 244 ABAB ACAC 1 8 . （8）解：因为 f x在R上单调递减，所以 0 01 3 4 2 1 3 a a a ，解得 1 3 3 4 a. 0x 时 ， 对 方 程 2 4332xaxax， 即 2 42320xaxa， 2 424 3241 43aaaa . 使 2f xx恰有两个不相等的实数解还需满足： 430 032 a fa 或0 ，解得 2 3 a 或 3 4 a . 综上，a的取值范围是 1 23 , 3 34 . 第第卷卷 二二. 填空题填空题：本本题考查基本知识和基本运算题考查基本知识和基本运算.每小题每小题 5 分，共分，共 30 分分. （9）解：因为1111ibibb i ，11ibia， 所以 1 10 ba b ，解得 2, 1, a b 故2 a b . （10）解：因为 8 216 3 188 1 1 k k k kkk k TCxC x x ， 所以1637k，3k ，展开中 7 x的系数为 3 3 8 156C . （11）解：因为四棱锥的底面积122S ，高3h ，所以体积 1 2 3 VShm3. （12）解 1：连接AC，BC，AD. 因为BDDE，所以DBEDEB. 因为ACEDBE，AECDEB，所以1ACAE，2 2BC . 易知EBCEDA，所以 BCBE ADDE ，即 2 22 ADBD ，所以2ADBD. ABD中由勾股定理得3BD ，所以3DE . 由相交弦定理得2CE DEAE EB，故 2 3 3 CE . 解 2：连接AC，BC. 因为1ACAE，3AB ，所以2 2BC . 在ABC中，cos 1 3 AC BAC AB . 在ACE中，由余弦定理得 222 4 2co 3 sCEACAEACEAAEC， 所以 2 3 3 CE . 解 3：连接AC，BC. 因为1ACAE，3AB ，所以2 2BC . 所以 22112 3 24 333 CECACBCACB. （13）解：依题意得 1 1 2 222 a ，故 1 1 2 a ，解得 13 22 a. （14）解：依题意得抛物线方程为 2 2ypx. 因为2CFAF，AFAB，所以32 A pxp， A xp，2 A yp. 因为2CFAF，AFAB，EFCEAB，所以2 EFCF AFAB . （第12题图） E D C BA 因为3 2 ACE S，所以9 2 ACF S，故 3 9 2 2 A p y，解得6p . 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 6 道大题，满分道大题，满分 80 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ） （15） （本小题满分本小题满分 13 分分） 已知函数 4tan sincos3 23 f xxxx . （）求 f x的定义域与最小正周期； （）讨论 f x在区间, 4 4 上的单调性. （15）本小题主要考查两角和与差的正弦公式和余弦公式、二倍角的正弦公式和余弦公式， 三角函数的定义域、最小正周期、单调性等基础知识. 考查运算求解能力. 满分 13 分. （）解： f x的定义域为, 2 kkZx x . 4tan cos cos3 3 f xxxx 4sin cos3 3 xx 13 4sincossin3 22 xxx 2 2sin cos2 3sin3xxx sin23 1cos2xx sin23cos2xx 2sin 2 3 x . 所以， f x的最小正周期 2 2 T . （） 解： 令2 3 zx ， 函数2sinyz的单调递增区间是2,2 22 kk ，kZ. 由22 32 2 2 xkk ，得 5 2121 xkk ，kZ. 设, 4 4 A ， 5 , 1212 xBxkkZk ，易知, 12 4 AB . 所以当, 4 4 x 时， f x在区间, 12 4 上单调递增，在区间, 412 上 单调递减. （16） （本小题满分本小题满分 13 分分） 某小组共 10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为 1，2，3 的人数分 别为 3，3，4. 现从这 10 人中随机选出 2 人作为该组代表参加座谈会. （）设A为事件“选出的 2 人参加义工活动次数之和为 4” ，求事件A发生的概率； （）设X为选出的 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和 数学期望. （16）本小题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与 数学期望等基础知识. 考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 满分 13 分. （）解：解：由已知，有 112 343 2 10 1 3 C CC P A C . 所以，事件A发生的概率为 1 3 . （）解：解：随机变量X的所有可能值为 0，1， 2. 222 334 2 10 4 0 15 CCC P X C ， 1111 3334 2 10 7 1 15 C CC C P X C ， 11 34 2 10 4 2 15 C C P X C . 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 4 15 7 15 4 15 随机变量X的数学期望 474 0121 151515 E X. （17） （本小题满分本小题满分 13 分分） 如图， 正方形ABCD的中心为O， 四边形OBEF为矩形， 平面OBEF 平面ABCD， 点G为AB的中点，2ABBE. （）求证：/EG平面ADF； （）求二面角OEFC的正弦值； （）设H为线段AF上的点，且 2 3 AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正 弦值. （17）本小题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识. 考查用空间向量解决立体几何问题的方法. 考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证 能力. 满分 13 分. 依题意，OF 平面ABCD， 如图， 以O为原点， 分别以AD， BA，OF的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标 系 ， 依 题 意 可 得0, 0, 0O，1,1,0A ，1, 1,0B ， 1, 1,0C，1,1,0D，1, 1,2E ，0,0,2F，1,0,0G . （）证明证明：依题意，2,0,0AD ，1, 1,2AF . 设 1 , ,nx y z为平面ADF的法向量，则 1 1 0, 0, nAD nAF 即 20, 20. x xyz 不妨设1z ，可得 1 0,2,1n ，又0,1, 2EG ，可得 1 0EG n， 又因为直线EG 平面ADF，所以/EG平面ADF. 由此可得0MN n，又因为直线MN 平面ABCD，所以/MN平面ABCD. （）解：解：易证，1,1,0OA 为平面OEF的一个法向量. 依题意1,1,0EF ， 1,1,2CF . 设 2 , ,nx y z为平面CEF的法向量，则 2 2 0, 0, nEF nCF 即 0, 20. xy xyz 不妨令1x，可得 2 1,1,1n. O H G F E D C B A z y x O H G F E D C B A 因此有 2 2 2 , 6 cos 3 OA n OA n OAn ，于是 2 , 3 sin 3 OA n. 所以，二面角OEFC的正弦值为 3 3 . （）解：解：由 2 3 AHHF，得 2 5 AHAF. 因为1, 1, 2AF ，所以 222 4 , 555 5 AHAF ，进而有 3 3 4 , , 5 5 5 H ，从而 2 8 4 , , 5 5 5 BH ，因此 2 2 2 , 7 cos 21 BH n BH n BHn . 所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为 7 21 . （18） （本小题满分本小题满分 13 分分） 已知 n a是各项均为正数的等差数列，公差为d. 对任意的 * nN， n b是 n a和 1n a 的等比中项. （）设 22 1nnn cbb ， * nN，求证：数列 n c是等差数列； （）设 1 ad， 2 2 1 1 n k nk k Tb ， * nN，求证： 2 1 11 2 n k k Td . （18）本小题主要考查等差数列及其前n项和公式、等比中项等基础知识. 考查数列求和的 基本方法、推理论证和运算求解能力. 满分 13 分. （18） （）证明：由题意得 2 1nnn ba a ，有 22 11211 2 nnnnnnnn cbbaaa ada ， 因此 2 121 22 nnnn ccd aad ，所以 n c是等差数列. （）证明： 2222 2132 22 124nnn Tbbbbbb 242 2 n d aaa 22 2 2 n n aa d 2 21d n n. 所以 2222 111 111111111 1 2121212 nnn kkk k Tdk kdkkdnd . （19） （本小题满分本小题满分 14 分分） 设椭圆 22 2 1 3 xy a （3a ） 的右焦点为F， 右顶点为A. 已知 113e OFOAFA ， 其中O为原点，e为椭圆的离心率. （）求椭圆的方程； （）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上） ，垂直于l的直线与l交于点 M，与y轴交于点H. 若BFHF，且MOAMAO，求直线l的斜率的取值范围. （19） 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线方程、 一元二次不等式等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质. 考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能 力. 满分 14 分. （19） 解：（） 设,0F c.由 113e OFOAFA ， 即 113c caa ac ， 可得 222 3acc， 又 222 3acb，所以 2 1c ，因此 2 4a . 所以，椭圆的方程为 22 1 43 xy . （）设直线l的斜率为k0k ，则直线l的方程为2yk x.设, BB B xy， 由方程组 22 1, 43 2 xy yk x 消去y，整理得 2222 431616120kxk xk. 解得2x ，或 2 2 86 43 k x k ，由题意得 2 2 86 43 B k x k ，从而 2 12 43 B k y k . 由（）知，1,0F，设0, H Hy，有1, H FHy ， 2 22 9412 , 43 43 kk BF kk . 由BFHF，得0BF HF，所以 2 22 4912 0 4343 H kky kk ，解得 2 94 12 H k y k . 因此直线MH的方程为 2 194 12 k yx kk . 设, MM M xy，由方程组 2 2 , 194 12 yk x k yx kk 消去y，解得 2 2 209 121 M k x k . 在MAO中，MOAMAOMAMO， 即 2 222 2 MMMM yxxy， 化简得 1 M x，即 2 2 209 121 1 k k ，解得 6 4 k ，或 6 4 k . 所以，直线l的斜率的取值范围为 6 4 , 6 4 . （20） （本小题满分本小题满分 14 分分） 已知函数 3 1f xxaxb，xR，其中, a bR. （）求 f x的单调区间； （） 若 f x存在极值点 0 x， 且 10 f xf x， 其中 01 xx， 求证： 10 23xx； （）设0a ，函数 g xf x，求证： g x在区间0,2上的最大值不 小于 1 4 . （20）本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方 法. 考查分类讨论思想和化归思想. 考查综合分析问题和解决问题的能力. 满分 14 分. （）解：由 3 1f xxaxb，可得 2 31fxxa. 下面分两种情况讨论： （1）当0a 时， 2 310fxxa恒成立， f x的单调递增区间为, . （2）当0a 时，令 0fx，解得 3 1 3 a x ，或 3 1 3 a x . 当x变化时， fx， f x的变化情况如下表： x 3 ,1 3 a 3 1 3 a