《数学物理定解问题》PPT课件.ppt

第三篇 数学物理方 程 所谓数学物理方程，主要是指物理学和工程 科学与技术中导出的，反映物理量之间关系的偏 微分方程(和积分方程). 本篇主要介绍三类典型的二阶线性偏微分方 程：波动方程、热传导方程和稳定场方程及有关 定解问题的几种常见解法 基本概念 第九章 数学物理定解问题 偏微分方程作为一门数学分支，它是人们在对一些 物理问题，如弹性体的振动、电磁波的传播、热的传导 等物理现象进行研究后总结出来的. 人们通过研究这些物理现象，总结它们的物理规 律，并将物理规律转化为数学的形式，就得到了偏微 分方程. 由于偏微分方程是从物理问题中归结出来的，所 以也称之为数学物理方程，简称数理方程.在数学上 ，也称数理方程为泛定方程. 由于偏微分方程反映的是同一类物理现象的共同规 律，所以仅仅知道这种共同规律还不足以掌握和了解具 体问题的特殊性.就物理现象来说，各个具体问题的特 殊性就在于研究对象所处的特定条件，即初始条件和边 界条件.在数学上，初始条件和边界条件合称为定解条 件. 偏微分方程用来描述同一类物理现象的共性，是解 决问题的依据，定解条件则反映了具体问题的个性，指 出了问题的具体情况. 泛定方程和定解条件合为一体， 就称为数学物理定解问题.数学物理方程这一部分的任务 就是：在定解条件下，求解泛定方程. 9.1 数学物理方程的导出 9.2 定解条件 9.3 二阶线性偏微分方程的分类与化简 9.4 行波法和DAlembert公式 章节安排 第一节 数学物理方程的导出 一、 波动方程 假设有一根均匀且柔软的弦，沿水平方向紧绷，给它 一个很小的横向扰动，使弦在铅直平面内作微小横振 动，求弦上各点的振动情况，即弦上任意一点在任意 时刻的横向位移. 弦的振动是一种机械运动，机械运动的基本定律是质 点力学的 ，然而弦并不是质点，所以对整根弦 并不适用. 但是，如果我们把整根弦细分为许多极小 的小段，并将每个小段抽象为一个质点，这样我们就 可以应用质点力学的基本定律了。 1. 均匀弦的微小横振动 为了简化计算，我们假设弦的重量很轻，重力相对于弦 的张力来说可以忽略不计，从而将整根弦抽象为没有质量 的弦. 图9.1.1 均匀弦的微小横振动 由于B段是任选的，所以方程（7）适用于弦上各点，（7）式即为整 根弦的微小横振动方程，我们称之为弦的受迫振动方程 如果弦在振动过程中是自由的（即不受外力作用），从而得到 弦的自由振动方程 （8） 方程(7)与(8)的差别在于(7)的右端多了一个与未知函 数无关的项,这个项称为自由项.含有非零自由项的方程 称为非齐次方程,自由项恒等于零的方程称为齐次方程. 方程(7)为一维非齐次波动方程, 方程(8) 为一维齐次波 动方程 . 2杆的纵振动 假设有一根均匀且具有弹性的杆，杆的每单位长度上单位横截面积 所受纵向外力为 ，杆在此力的作用下做微小纵振动，求杆上各 点的振动情况. 图9.1.2 杆的纵振动 这就是杆的受迫纵振动方程 虽然杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同，但它们所 满足的偏微分方程的形式却是完全一样的，这是因为他们满足同 一类物理规律.我们将用来描述所有连续介质（弦、杆、膜、气体 、电磁场等）振动过程的方程统称为波动方程，换句话说，波动 方程可用来描述振动过程. 弦的横振动方程和杆的纵振动方程中的空间坐标是一维的，更一般 的，三维空间中的波动方程为 （11） 其中, （12） 为Laplace算符 二 热传导方程 假设有一块热的物体，如果体内各处的温度是不均匀的，那么 热量就会从温度高的地方向温度低的地方传递，这种现象就是热传 导.由于热量的传递过程总是表现为温度随着时间和点的位置的变化 而变化，所以，解决热传导问题就要归结为求物体内温度的分布. 热传导方程的推导方法和波动方程的推导方法是类似的，不 同之处只是在于具体的物理规律不同.这里要用到的是热学方面的 两个基本规律：能量守恒定律和热传导的Fourier定律 首先简单介绍一下Fourier定律 （13） （14） 即 负号表示热流方向与温度的变化方向相反 现在我们来研究三维各向同性介质中的热传导方程 图9.1.3 热传导 根据能量守恒定律, 并得热传导方程 如果介质内没有热源 ，则热传导方程简化为 （17） 与热传导类似，由于物质浓度的不均匀而导致粒子扩散的输运过 程也可以通过方程（16）或（17）来描述，我们称这一类方程为 热传导方程或输运方程。 从物理的观点来看，输运方程是用来描述输运过程的，当我们研 究热的传导、粒子的扩散、粘性液体的流动等物理现象时，就会 得到输运方程. 三 稳定场方程 在热传导问题中，在一定条件下，当物体的温度达到稳恒状态 （不随时间的变化而变化）时 ，温度分布所满足的热传导 方程就会转化为Poisson（泊松）方程 或者Laplace方程 （18） （19） Poisson方程和Laplace方程统称为稳定场方程. 稳定场方程可以用 来描述一切稳定的物理状态，如稳定的电场和磁场、不可压缩液 体的位流、稳定热场等等. 最后指出，量子力学中描述微观粒子运动的薛定谔方程 （20） 也是一种线性偏微分方程，其中表示波函数，表示势能.不过我 们无法推导薛定谔方程，它的正确性是从它所推断出的结论与实 验结果符合得较好而被证实的.注意，它的左端有一个虚数，因 此它的性质与经典的热传导方程有很大区别. 第二节 定解条件 上一节中推导出的偏微分方程，可以用来描述具 有某种共同物理规律的一类物理现象，但并不能惟 一地、确定地描写某一个具体的物理过程.为了完全 描写一个具有确定解的物理问题，在数学上就要构 成一个定解问题，即除了微分方程，还必须有初始 条件和边界条件. 一初始条件 初始条件应该完全描写初始时刻介质内部及边界上任 意一点的状态分布情况. 振动问题 从物理的角度考虑，对于波动方程，应该给出 初始时刻的“位移”和“速度”；从数学的角度看，由于 波动方程关于时间的偏导是二阶的，因此需要列出 两个初始条件： 例1 有一根长为 的两端固定且紧绷的弦，用手将弦的中点横向拨 开距离 ，如图9.2.1所示，然后轻轻放手任其振动，试写出初始 条件. 图9.2.1 解：显然，弦的振动满足波动方程，初始时刻就是轻轻放手的那个瞬间， 初始条件就是放手瞬间弦的位移和速度.由于是轻轻地放手，所以初速度为 零，即 初始位移为 而不能写成 输运问题 对于热传导方程，由于方程中只出现了未知函数关于时间的一阶 偏导数，所以只需要给出初始温度 一个条件即可 稳定问题 对于稳定场方程，由于方程中不出现关于时间的偏导数，与时间 无关，因此不需要初始条件 二边界条件 我们知道，超距作用在物理学中是不存在的，研究对象总是通过 边界与外界相接触，所以外界对研究对象的作用只能通过边界来 进行，对于具体的物理问题，我们就必须清楚边界所处的物理状 态，即边界条件. 边界条件应该完全描写边界上各点在任意时刻（ ）的状态分 布情况. 常见的线性边界条件通常分为三类： 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 第一类边界条件 直接给出所研究的物理量在边界上的数值的边界条件称为第一类边界 条件，即 （1） （2） （3） 第二类边界条件 直接给出所研究的物理量在边界外法线方向的方向导数的边 界条件称为第二类边界条件，即 （4） 其中， 表示外法线方向 图9.2.2 （5） （7） （6） （8） （9） 第三类边界条件 第三类边界条件既不直接给出所研究物理量在边界的函数值 ，也不直接给出所研究物理量在边界外法线方向的方向导数的函 数值，而是给出二者的线性组合在边界上的值，即 （10） （11） （12） 其他条件 现实世界中的物质系统一般都是有限的，存在着边界 ，比如任意一根弦都是有限长的，存在两个端点.但是，当 我们着重讨论靠近某一端的那段弦时，在不太长的时间里 ，另一端的影响还没来得及传到，不妨认为另一端并不存 在，或者说在无限远处，这样，有限长的弦就抽象成半无 界的弦了，自然不需要提出另一端的边界条件.如果我们着 重讨论不靠近两端的那段弦，在不太长的时间里，两端的 影响都还没来得及传到，不妨认为两端不存在或者说两端 都在无限远处，这样，有限长的弦就抽象成无界的弦了， 当然不需要提出边界条件.这就是无界条件和半无界条件. 一般来说，由泛定方程和定解条件构成的定解问题 一定可以求出特解，但是必须指出的是：如果我们所研 究的系统是由不同特性的几种介质组成的，那么在定解 条件中除了初始条件和边界条件外，在两种介质的交界 面（或交界线、交界点）上还应当有衔接条件. （15） （16） 在某些情况下，出于物理上的合理性等原因，要求解为单值、有 限等条件，提出所谓的自然边界条件，如Euler方程 的通解为 三定解问题的适定性 由物理模型建立的定解问题能否反映客观规律性， 这需要依靠实践的检验.然而，从数学上可以由以下三 个方面加以论证： 第一，定解问题的解是否存在，即解的存在性问题 ； 第二，定解问题的解是否只有一个，即解的惟一性 问题； 第三，当定解条件发生微小变化时，定解问题的解 的变化是否也是微小的，即解的稳定性问题. 解的存在性和惟一性很容易理解，下面简单介绍一下 解的稳定性问题.解的稳定性问题主要是讨论当定解条件 发生微小变化时，相应的解该如何变化.我们在研究物理 现象时,定解条件是通过测量得到的,而测量就不免有误差 .如果定解条件的微小误差导致解的极大变化,那么我们所 考虑的定解问题就不能正确地反映实际的物理问题,因而 求得的解是无意义的.相反地，如果定解问题的解是稳定 的,那么,只要定解条件的误差在一定的范围之内,我们所 得到的解就必然近似于所要求的解. 定解问题的解的存在性、惟一性和稳定性统称为定 解问题的适定性.如果一个定解问题的解是存在的惟一的 而且稳定的,我们就说,该定解问题是适定的. 第三节 二阶线性偏微分方程的分类与化简 一二阶线性偏微分方程 在数理方程的建立过程中，我们主要讨论了三类典型的偏微 分方程：波动方程、热传导方程和稳定场方程这三类方程描写 了不同的物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现 出各自不同的特点，但是从形式上它们都属于二级线性偏微分方 程. （1） 二叠加原理 线性偏微分方程（9.3.1）具有一个非常重要的特征，我们称之 为叠加原理，即若 是线性偏微分方程 （2） （3） 的解。 （4） 需要注意的是，叠加原理仅适用于线性问题，对非线性问题并不适 用. 第四节 行波法和DAlembert公式 我们在解常微分方程时，总是首先求出方程的通解， 然后再利用附加条件确定通解中的常数系数，从而得到 方程的确定解，这就是所谓的通解法.现在我们利用通解 法来尝试求解无限长的弦的自由横振动问题. 一DAlembert（达朗贝尔）公式 例1 设有一根无限长的弦作自由横振动，弦上各点的初始位移为 初速度为，求弦上各点的振动情况 解： 列出定解问题 弦的自由横振动属于波动，因此可 以用齐次波动方程来描述.由于弦是无限长的，在有限的时间 内，当弦的两个端点的影响还没来得及传到时，不妨认为没 有边界条件.因此，可以列出下面的定解问题 简化泛定方程 泛定方程（1）为即 （3） 作变量代换：令 ，即 则在此变换下有 （4） 从而（1）简化为 （5） 求泛定方程的通解 方程（5）很容易求解：先对 积分，有 求泛定方程的通解 方程（5）很容易求解：先对 积分，有 （6） （7） 利用初始条件确定待定函数和 为了使通解（7）满足初始条件（2），将（7）式代入（2）式，得 对上式中的第二式从到 于是 代入通解即得原定解问题的解 （8） 我们称（8）式为DAlembert公式 二 通解的物理意义 和 为了说明DAlembert公式解的物理意义，首先需要弄清楚 的含义. 图9.4.1 DAlembert公式解的物理意义 先考察第一项 可以看作是左右行波的叠加,故DAlembert解法也称为行波法 零，试求弦上各点的振动情况 例2 在无限长弦的自由横振动中，若初始位移为 ，初速度为 解：根据D