计算方法公选课课件(第一章).ppt

周次 日期 计划 4 3.29 讲课 7 4.19 讲课 8 4.26 讲课 10 5.10 讲课 11 5.17 讲课 12 5.24 讲课 13 5.31 讲课 14 6.7 讲课 15 6.14 讲课 16 6.21 讲课 17 6.28 考试 1.误差的实例和基本概念。 2.插值法。 3.数据拟合的最小二乘法。 4.解线性方程组的直接法。 5.解线性方程组的迭代法。 6.数值积分与数值微分。 7.非线性方程的解法。 8.非线性方程组的解法。 9.矩阵特征值和特征向量的计算。 10.常微分方程初值问题的数值解法。 第一章 误差的实例和基本概念 一、误差的一个实例 例题:建立定积分 (1-1) 的递推关系式,并计算其值。 解：根据定积分的性质容易得到 (1-2) (1-3) 由（1-2）可得到两个等价的公式 (1- 4) (1- 5) 我们先用（1-3）和（1-4）建立递推关系(A) ： 根据递推关系(A)计算结果如下： 很容易看出，定积分 具有下列几个特性： 几个特性： 现在我们采取一种新的计算方案，考虑到 （取 n=21） 就粗略地取 (1-6) 我们再用（1-6）和（1-5）建立了递推关系 (B) 根据递推关系(B)计算结果如下： 对于方案(A) 有 准确的理论递推式为 实际运算的递推式为 两式相减得 同样的分析方法对于方案 (B)有: 准确的理论递推式为 实际运算的递推式为 两式相减得 二、误差的分类 1、模型误差 用数学模型来描述具体的物理现象要作许多简 化，因此，数学模型本身就包含着误差，这种误差 叫做“模型误差”。 2、观测误差 数学模型中通常总要用到一些观测数据，这种 观测数据不会是绝对准确的，因此，观测数据本身 也包含着误差，这种误差叫做“观测误差”。 3、截断误差 在解实际问题时，数学模型往往很复杂，因而 不易获得分析解，这就需要建立一套行之有效的近 似方法或数值方法。模型的准确解与数值方法求得 的准确解之差称为“方法误差”，或叫做“截断误 差”。 4、舍入误差 实际的计算，总是只能对有限位数字进行，这 就需要对后面的数字进行舍入处理，这种舍入所产 生的误差叫做“舍入误差”。 在计算方法中，主要讨论截断误差和舍入误差 。 三、误差、误差限和有效数字 若用x*来表示准确值x的一个近似值，则此 近似值x*和准确值x的差称为误差，用e*来表示 ： 定义1.1 如果 就叫做近似值 的“误差限”，误差限一定是一个正 数。 定义1.2 若用x*来表示x的近似值，并将x* 表示成 （1-7 ） 若其误差限 便说近似值x*具有n位有效数字，这里p是一个 整数， ,每个都是从09中的一个数 字，而且假定 。 四、相对误差和相对误差限 定义1.3 记 为近似数x*的相对误差。在实际计算中，由于准 确值x总是不知道的，所以我们也把 记为近似数x*的相对误差，条件是 比较小。 设形如（1-7）的近似数x*具有n位有效数字 ，则其相对误差限为 需要注意的是，用相对误差限来得到有效数字 位时，其关系略有不同。 形如（1-7）的近似数x*，若其相对误差限满 足关系式 则x*至少具有n位有效数字位。 五、和、差、积、商的误差 1、和、差的误差 （1-8 ） 式（1-8）说明和的误差是误差的和，差的误差 是误差的差。但是因为 所以误差限之和是和或差的误差限。同理可得， 任意多个数的和或差的误差限等于各数的误差限 之和。 2、积、商的误差 若把x*的误差e*=x*-x看作是x的微分 dx=x*-x, 则x*的相对误差是 它是对数函数的微分。 设u=xy，则lnu=lnx+lny ，因而 dlnu=dlnx+dlny 这就是说，乘积的相对误差是各乘数的相对误差之 和。 设u=x/y，则lnu=lnx-lny ，因而 dlnu=dlnx-dlny 这就是说，商的相对误差是被除数与除数的相对误 差之差。 3、函数的误差 设 则y*的相对误差是： 六、在近似计算中需要注意的一些现象 1、要避免两个相近的数相减。 因为两正数之差u=x-y的相对误差是 2、两个相差很大的数进行运算时，要防止小 的那个数被“吃掉”。 这是因为用计算机计算时，做加减法要“对阶 ”，对阶的结果是小数有可能被大数“吃掉”，大 数“吃掉”小数在有些情况下是允许的，但在有些 情况下则会造成谬误。 3、要注意计算步骤的简化，减少运算的次数 。 简化计算公式十分重要，它直接影响着计算的 速度和误差的积累，有时可以使一个无法实现的计 算能够实现。 七、例题 例1 我们用 米/秒2 来描述自由落体下落时距离和时间的关系。设自由 落体在时间t的实际下落距离为 ，则 就是模型误差。 而 本身也有误差，这种误差就是g的观 测误差。 例2 我们在计算无穷级数 时，只能取前面的有限项（例如n项）来代替，这 就抛弃了无穷级数的后面无穷项，因而出现了误差 ，这种误差就是截断误差。 例3 用四舍五入法取 进行有关运 算，就出现 的误差，这种误差就是舍入误差。 例4 若 是x的具有五位有效数 字的近似值，那么它的误差限是 相对误差限是 若 是y的具有四位有效数字的近 似值，那么它的误差限是 相对误差限是 二分法计算过程 （1）找出 的根的存在区间 ，并 计算出端点的函数值 。 （2）计算 在区间中点的