推理与证明解读.ppt

推理与证明 永康一中 姚波浪 “推理与证明”讲什么？ 为什么要讲“推理与证明”？ 如何讲“推理与证明”？ 三个问题 生活的需要 一、为什么要讲“推理与证明” ？ 科学研究的需要 数学自身的需要 “长头发”进男厕所 为什么要讲“推理与证明”？ 守株待兔、刻舟求剑 我是否要“炒股” “守株待兔”者的推理过程 前天有一只野兔撞死在这棵树上； 昨天又有一只野兔撞死在这棵树上； 今天也会有一只野兔撞死在这棵树上。 生活中充满着“推理与证明” “总结经验教训”， 抗菌素的滥用现象 在生活中常说的“可能是（猜测）”、“可 以想象（联想）”、“综上所述（归纳）” 、“可见”、“可以断言”等话语，都包含着 合情推理与证明的成分。 火星上是否存在生命？ 为什么要讲“推理与证明”？ 锯齿的发明 数学探究 表示任意一个自然数至少要 用多少个平方数？ 任一自然数都可以表示成一个、两个、三 个或四个平方数的和？ 由实际计算可以得出： 1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=4 5=4+1 6=4+1+1 7=4+1+1+1 8=4+4 9=9 10=9+1 11=9+1+1 12=8+4 100=81+16+1+1+1 100=81+9+9+1 100=64+36 解读一 “推理与证明”是数学的基本思维过 程，也是人们学习和生活中经常使用的 思维方式。推理一般包括合情推理和演 绎推理，证明通常包括演绎证明和实验 、实践的证明。“标准”将“推理与证 明”专设一章，这在我国高中数学课程 中还是首次。通过本章的教学，不仅可 以帮助学生进一步把握以前学过的证明 方法，也可以让他们了解猜测的一般方 法。 解读一 教科书的编写意图是把过去渗 透在具体数学内容中的推理和证明 的思维方法，以集中的、显性的形 式呈现出来，既教猜想，又教证明 。使学生更加明确这些方法，并能 在今后的学习中有意识地使用它们 ，养成言之有理、论证有据的习惯 。 二、“推理与证明”讲什么？ 推理与证明贯穿于高中数学的整个 体系，它的学习是新课标教材的一个亮 点，是对以前所学知识与方法的总结、 归纳，并对后继学习起到引领的作用。 内容结构 推理与证明 合情推理 演绎推理 归纳 类比 直接证明 间接证明 综合法 分析法 数学归纳法 反证法 课标要求 （1）合情推理与演绎推理 了解合情推理的含义，能利用归纳和 类比等进行简单的推理，体会并认识合 情推理在数学发现中的作用. 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推 理的基本方法，并能运用它们进行一些 简单的推理. 了解合情推理与演绎推理的之间的联 系与差别. （2）直接证明与间接证明 了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法； 了解分析法与综合法的思考过程与特点。 了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证 法的思考过程与特点。 （3）数学归纳法 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简 单的数学命题。 （4）数学文化 通过对实例的介绍（如欧几里得几何原本、马克 思资本论、杰弗逊独立宣言、牛顿三定律）， 体会公理化思想。 介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。 基本 要求 1了解合情推理的含义义、结结构、和基本本类类型。 2结结合已学过过的数学实实例和生活中的实实例，了解合情推理 的含义义，能利用归纳归纳 和类类比等进进行简单简单 的推理，体会并认认 识识合情推理在数学发现发现 中的作用。 3结结合已学过过的数学实实例和生活中的实实例，体会演绎绎推理 的重要性，掌握演绎绎推理的基本模式，并能运用它们进们进 行一 些简单简单 推理； 4通过过具体实实例，了解合情推理和演绎绎推理之间间的联联系和 差异。 发展 要求 1、了解不完全归纳归纳 法，并根据不完全归纳归纳 法猜想一些结论结论 2、了解一般意义义下的类类比 说 明 类类比推理注意避免“机械类类比”，即仅仅从表面相似或偶然相似 的情况进进行类类比。导导致错误错误 。 省教学指导意见解读 合情推理与演绎推理 基 本 要 求 1了解直接证证明的两种基 本方法：分析法和综综合法 ；了解分析法与综综合法的 思考过过程与特点。 2了解间间接证证明的一种 基本方法反证证法；了 解反证证法的思考过过程与特 点。 发发 展 要 求 了解比较较法、放缩缩法。 说说 明 直接证明与间接证明 23数学归纳归纳 法 基本 要求 1了解数学归纳归纳 法的原理， 2能用数学归纳归纳 法证证明一些简单简单 的数学命题题 发发展 要求 1了解其它数学归纳归纳 法的原理 2灵活掌握数学归纳归纳 法在解决较较复 杂杂的与自然数n有关命题题中的应应用。 说说 明 教学定位：通过对已学知识的回顾， 进一步体会合情推理、演绎推理以 及二者之间的联系与差异；体会数 学证明的特点，了解数学证明的基 本方法，包括直接证明的方法（如 分析法、综合法、数学归纳法）和 间接证明的方法（如反证法）；感 受逻辑证明在数学以及生活中的作 用，养成严谨习惯。 三、如何讲“推理与证明”？ 1、课时课时 分配（理科8课时课时 、文科13课课 时时） 2.1.1 合情推理1课时课时 （2） 2.1.2 演绎绎推理2课时课时 （3） 2.2.11综综合法1课时课时 （2） 2.2.12分析法1课时课时 （1） 2.2.2 反证证法1课时课时 （2） 2.2.3 数学归纳归纳 法1课时课时 （0） 小结结1课时课时 （3） 2、重难点确立 2.1节重点是了解合情推理的含义，能利用归纳和类 比进行简单的推理；了解演绎推理的含义，能利用“ 三段论”进行简单的推理。 难点是用归纳和类比进行 推理，作出猜想，用三段论作出简单的推理。 2.2节重点是结合已经学过的数学实例，了解直接证 明的两种基本方法综合法、分析法，了解间接证 明的一种方法反证法；了解综合法、分析法和反 证法的思考过程、特点。难点是根据问题特点，结合 综合法、分析法和反证法的思考过程、特点，选择适 当的证明方法或把各种证明方法结合使用。 归纳推理 归纳推理是针对一类事物S而言的 ，如图所示： S 的部分事物A和B共同 具有的某种特性，是否可以推广到整 个S？这就是一个从局部到整体的推理 过程。 3、概念关系认识 类比推理 类比推理是针对的两类事物，如图 所示，在A和B两类事物中，A类中有 性质P成立，B类中也有性质P成立， A类中还有性质Q成立，那么B类中是 否也具有性质Q成立呢？通过两类事 物的类比可以对事物的性质有更深刻 的理解，并且可以帮助进行逻辑推理 。 合情推理 合情推理是根据已有的事实和正确的结论 （包括定义、公理、定理等）、实验和实践的 结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果 的推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思 维方法。 演绎推理 演绎推理是根据已有的事实和正确 的结论（包括定义、公理、定理等）， 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理 过程。 例 大前提:马有四条腿; 小前提:白马是马; 结论:白马有四条腿. 它是从一般到特殊的推理.演绎推理的主要形式就 是由大前提、小前提推出结论的三段论式推理. 合情推理具有猜测和发现新结论 、探索和提供解决问题的思路和 方法的作用；演绎推理则具有证 明结论，整理和建构知识体系的 作用，是公理体系中的基本推理 方法。 合情推理与演绎推理的作用 合情推理和演绎推理之间联系紧密 、相辅相成。证明通常包括逻辑证 明和实验、实践证明，数学结论的 正确性必须通过逻辑证明来保证， 即在前提正确的基础上，通过正确 使用推理规则得出结论。 合情推理与演绎推理的关系 类比的风险 直接证明综合法 所证结论 直接证明分析法 在已知条件下 新结果是否成立 直接证明数学归纳法 要证明的结论 否定要证明的结论 把“否定要证明的结论”作为条件 结合相关公理、定理或已得的结论 得出新的结论 结束 是否与已知条件、 公理、定理矛盾 否 是 间接证明反证法 4、整体把握 l演绎推理与合情推理并重 l以实际问题与已学问题为主 要素材开展教学 l长期渗透、控制难度 在“合情推理”和“演绎推理 ”教学中，要通过具体实例理解合 情推理与演绎推理，不追求对概念 的抽象表述。 补充的实例也应以“已经学过 的数学实例和生活中的实例”为准 ，对证明的问题的难度也要加以控 制。 一点说明 本章的教学属于思想方法的教学范畴， 对于思想方法的教学，一般都应采取先 让学生自己独立思考、实践，再讨论、 归纳、概括的方式进行，这是因为思想 方法不能靠讲解、灌输、记忆而学会， 只能通过在实践基础上的领悟而掌握。 重视过程、理清思路犹为重要。 四、关于复数 与以往教科书不同的是，本章在引入复 数之前，首先在具体问题情境（即方程x2 10在实数集中无解，如何通过数系 的扩充使该方程有解）中，展现了实数 系的扩充过程，然后引入了复数的相关 概念，并类比实数的几何意义说明了复 数的几何意义 对复数教学的二个建议 1.加强复数引入过程的教学，体现实 际需求与数学内部的矛盾（数的运 算规则、方程理论）在数系扩充过 程中的作用 2.加强复数与实数、有理数、平面向 量及其加减运算、多项式及其加减 运算之间的联系 五、关于框图教学五、关于框图教学 4 41 1 流程图流程图 基本要求基本要求： 1. 1. 通过具体实例，进一步认识程序框图。通过具体实例，通过具体实例，进一步认识程序框图。通过具体实例， 2 2. .了解流程图的概念，能读懂流程图，并体会其优越性。了解流程图的概念，能读懂流程图，并体会其优越性。 3 3. .联系实际问题学会绘制简单的流程图，体会它在解决实际问题中联系实际问题学会绘制简单的流程图，体会它在解决实际问题中 的作用，并逐步理解其特征，掌握其初步的用法。的作用，并逐步理解其特征，掌握其初步的用法。 4. 4. 理解流程图可以直观地表示数学计算、证明中的主要思路、步理解流程图可以直观地表示数学计算、证明中的主要思路、步 骤和实际问题中的工程流程。骤和实际问题中的工程流程。 发展要求： 总结一些重要的数学方法在解决数学问题中的流程。 说明： 本节学习要紧扣增强学生应用流程图解决实际问题的能力来安 排。 4 42 2 结构图结构图 基本要求基本要求： 1. 1. 通过实例了解结构图，能读懂结构图，并体会结构图的优越性。通过实例了解结构图，能读懂结构图，并体会结构图的优越性。 2. 2. 结合绘制简单结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用，结合绘制简单结构图，体会结构图在揭示事物联系中的作用， 并理解其特征，掌握其初步用法。并理解其特征，掌握其初步用法。 3. 3. 会运用结构图梳理已学习过的知识，整理收集到的资料信息。会运用结构图梳理已学习过的知识，整理收集到的资料信息。 3. 3. 理解结构图可以直观地表示某些数学知识系统、某些组织的结理解结构图可以直观地表示某些数学知识系统、某些组织的结 构关系构关系 发展要求： 选择必修各册教材中的某些数知识（如不等式、函数、解析几 何、立体几何等），运用结构图按数学知识体系进行梳理，并与 他人做交流，体会各知识块的内涵与外延。 说明： 本节学习要紧扣增强学生应用结构图解决实际问题的能力来安 排，并注意揭示其与流程图的联系与区别。 框图课时安排建议框图课时安排建议 ：（共6课时） 4.1流程图 约3课时 4.2结构图 约2课时 小结 约1课时 框图教学建议： 4 41 1流程图流程图 4.1的重点和难点都是构造流程图的方法。 4.1流程图的教学可分为两步实现： 一是通过读图，认识流程图; 二是结合简单的具体问题学会绘制流程图， 同时，渗透流程图作用及优越性的体验。 框图教学建议： 4 41 1流程图流程图 第一课时，认识流程图。 对例1的教学要把握两点：一是联系必修3算法，回忆已经学 过的框图知识，二是由此引出流程图的概念。接着的“图书借 阅流程图”和“诊病流程图”意在让学生读图，并体会流程图的 优越性，揭示流程图的特征。本节课教学目标应该是：让学生 读懂流程图，体会流程图的优越性，初步认识其特征。 框图教学建议： 4 41 1流程图流程图 第二节课，学习绘制流程图。 要在复习的基础上引出例2，由此出发，学习用流程图表示解决 问题的过程，例2后的思考要安排较充分的时间，让学生尝试 运用流程图解决问题，并组织交流，促进学生通过思维活动认 识流程图的绘制方法。例3既是学习绘制流程图的过程，也是 运用流程图的过程，因此，例3后的思考，也要加以重视，这 里安排的思考既可以体会流程图的作用，也可以概括出流程图 的特征，同时，在思考的小结中，还可以联系前面例题表明绘 制流程图的重要方法“先粗后细”。 框图教学建议： 4 41 1流程图流程图 第三节课，可以由本节的探究开始，设计学生活动的情境，继续 学习流程图的绘制，体会流程图的作用。 这里“儿童之家”活动设计的探究问题，相比前面流程图的设计有 所不同，它有两条主线，需要学生在原有经验基础之上，经过 思维活动，动手尝试才能解决，而解决后对理解流程图的绘制 会大有帮助。 探究问题的小结中，又引入了综合法和分析法的解题过程的流程 图，由此突出一个观点“数学问题是不胜枚举的，解决问题的 方法也千差万别，但解决问题的过程是类似的”，并用流程图 做了直观的表示，教学中，要突出流程图运用的作用，突出以 上观点。 框图教学建议： 4 42 2 结构图结构图 4.2的重点和难点都是构造结构图的方法。 4.2结构图的教学也可分两步完成， 一是通过读图认识结构图， 二是对联系实际，学会绘制结构图表示某些数学知识系统、某 些组织的结构关系， 同时，要提示结构图与流程图的联系与区别。 框图教学建议： 4 42 2 结构图结构图 第一节课可以简单复习流程图，突出其描述具有时间特征的动态 过程，而后提出问题“如何描述数学1第2章“基本初等函数 （1）”的知识结构？在问题解决后，导出结构图的概念，并借