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第4章 电路定理 (Circuit Theorems) 网络定理 叠加定理 代维南定理、诺顿定理 替代定理 最大功率传输定理 特勒根定理、互易定理 . 对偶原理. 重点: 熟练掌握叠加定理，替代定理， 戴维南和诺顿定理； 第4章 电路定理 (Circuit Theorems) 在线性电路中，任一支路电流(或电压)都是电 路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的 电流(或电压)的代数和。 4.1 叠加定理 (Superposition Theorem) 单独作用：一个电源作用，其余电源不作用 不作用的 电压源（us=0) 短路 电流源 (is=0) 开路 一、线性电路的齐次性（线性性质） 线性电路的响 应和激励之间 满足线性的比 例关系 uS R1 R2 i2 u2 iS R1 R2 i2 u2 线性电路的响 应和激励之间 满足线性的比 例关系 u2 i2 u2 i2 齐性原理（homogeneity property) 当电路中只有一个激励(独立源)时，则响应(电压或电流) 与激励成正比。 R usr R kuskr 二、迭加定理 uS R2 i2 u2iS R1 a 列电路的节点电压方程求响应： 电路中含有两个以 上的电源时，电路 的任何一个响应都 能表示成每一个电 源单独作用时所产 生的响应分量之和 。 uS R2 i2 u2u2 i2 iS R1 R2 i2 u2u2 i2 1. 叠加定理只适用于线性电路求电压和电流； 不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数)。 不适用于非线性电路。 应用叠加定理时注意以下几点： R Is ui D R R 2. 应用时电路的结构参数必须前后一致。 5. 叠加时注意参考方向下求代数和。 3. 不作用的电压源短路；不作用的电流源开路 4. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应 始终保留。 应用叠加定理时注意以下几点： 例1.求图中电压u。 + 10V4A 6 + 4 u 解: (1) 10V电压源单独作用， 4A电流源开路 4A 6 + 4 u u=4V (2) 4A电流源单独作用， 10V电压源短路 u“= -42.4= -9.6V 共同作用：u=u+u“= 4+(- 9.6)= - 5.6V + 10V 6 + 4 u 例2求电压Us 。 (1) 10V电压源单独作用： (2) 4A电流源单独作用：解: + 10V 6 I1 4A + Us + 10 I1 4 10V + 6 I1 + 10 I1 4 + Us 6 I1 4A + Us + 10 I1 4 + U1 + U1“ Us= -10 I1+U1 Us“= -10I1“+U1” Us= -10 I1+U1= -10 I1+4I1 = -101+41= -6V Us“= -10I1“+U1” = -10 (-1.6)+9.6=25.6V 共同作用： Us= Us +Us“= -6+25.6=19.6V 10V + 6 I1 + 10 I1 4 + Us + U1 6 I1 4A + Us + 10 I1 4 + U1“ 解 设 IL =1A 例3 R1R3R5 R2 RL + Us R4 + UL 法一：分压、分流。 法二：电源变换。 法三：用齐性原理（单位电流法） IL U + - U K = Us / U UL= K IL RL 求响应UL 可加性 (additivity property)的几种情况 线性电路中，所有激励都增大(或减小)同样的 倍数，则电路中响应也增大(或减小)同样的倍数。 R us1r1 R us2r2 R k1 us1k1 r1 R k2 us2k2 r2 us1 us2 r R k us1 k us2 k r R 线性 1 2 3 r1+ r2us1 us2 R k2 us2 k1 r1+ k2 r2 R k1 us1 例4 封装好的电路如图，已知下列实验数据： 研究激励和 响应关系的 实验方法 解根据叠加定理 代入实验数据： 无源 线性 网络 uS i iS 4. 2 替代定理 (Substitution Theorem) 任意一个线性电路，其中第k条支路的电压已知为uk（电流 为ik），那么就可以用一个电压等于uk的理想电压源（电流等于 ik的 独立电流源）来替代该支路，替代前后电路中各处电压和电 流均保持不变。 A ik + uk 支 路 k A + uk ik A 证明: uk uk A ik + uk 支 路 k + + A C B A ik + uk 支 路 k A B AC等电位 + uk A ik + uk A B 说明 1. 替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。 2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。 1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。 2.5A ? ? 2. 替代定理的应用必须满足的条件: 1.5A 1A 10V 5V 2 510V 5V 2 5V 2.5A A 1A 1 B 1V + - 1V + - A 1A B 1A A 1A B 1V + _ 满足 + - ? 不满足 1A 例 5：电路如图所示，用替代定理求各支路电流 18V 1 i1 7A i3 i4 1A 1 1 1 1 1 i6 1A 18V i1 7V i3 i4 1A 1 1 11 i6 1A 18V 7V i4 1 1 1 i6 7V 1 i3 i1 1A 1A i1=11Ai3=4A , i4=3A i6=2A 1A 18V i1 7V i3 i4 1A 1 1 11 i6 任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一 端口网络，对外电路来说，可以用一个独立电压源Uo和 电阻Ri的串联组合来等效替代；其中电压Uo等于端口开 路电压，电阻Ri等于端口中所有独立电源置零后端口的 入端等效电阻。 A a b a b Ri Uo + - 4.3 戴维南定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) u i u i 证明: 电流源i为零 a b A + u+ 网络A中独立源全部置零 a b P i + u Ri u= Uoc (外电路开路时a 、b间开路电压) u“= - Ri i 得 u = u + u“ = Uoc - Ri i 证明 a b A i + u 替代 a b A i + u N i Uoc + u N a b + Ri = 叠加 任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一 端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻的并联 来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口的短路电 流，而电阻等于把该一端口的全部独立电源置零后的输 入电阻。 诺顿定理 A a b a b Ri isc isc：网络A的短路电流 R0：网络A中所有独立源置0时的等效电阻Rab 代维南等效电路和诺顿等效电路互为等效单口网络 uoc = R0*isc u = R0*isc - R0 i i u i u Uo + Ri 3UR - + 解： (1) 求开路电压Uo Uo=6I1+3I1 I1=9/9=1A Uo=9V 3 6 I1 + 9V + Uo + 6I1 已知电路如图，求UR 。 例1 3 6 I1 + 9V + UR + 6I1 3 (2) 求等效电阻Ri 方法1 开路电压、短路电流 3 6 I1 + 9V Isc + 6I1 Uo=9V 3I1= -6I1 I1=0 Isc=1.5A 6 + 9V Isc Ri = Uo / Isc =9/1.5=6 uoc = R0*isc 方法2 加压求流（独立源置零，受控源保留） U=6I1+3I1=9I1 I1=I6/(6+3)=(2/3)I Ri = U /I=6 3 6 I1 + 6I1 U + I U =9 (2/3)I=6I (3) 等效电路 Uo + Ri 3 UR - + 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路 发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变( 伏-安特性等效)。 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控 源必须包含在被化简的同一部分电路中。 注意 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法 还是开路、短路法，要具体问题具体分析，以计 算简便为好。 例2 求电流I 求短路电流Isc I1 =12/2=6A I2=(24+12)/10=3.6A Isc=-I1-I2=- 3.6-6=-9.6A 解 求等效电阻Req Req =10/2=1.67 诺顿等效电路: 应用分 流公式 I =2.83A 12V 2 10 + 24V 4 I + Isc 12V 2 10 + 24V + Req 2 10 I1 I2 4 I -9.6A 1.67 若一端口网络的等效电阻 Req= 0，该一端口网 络只有戴维宁等效电路，无诺顿等效电路。 注意 若一端口网络的等效电阻 Req=，该一端口网 络只有诺顿等效电路，无戴维宁等效电路。 a b A Req=0 Uoc a b A Req= Isc 4.4 最大功率传输定理 一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时 ，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负 载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率 的值是多少的问题是有工程意义的。 i + u A 负 载 应用戴维宁定理 i Uoc + Req RL RL P 0 P max 最大功率匹配条件 对P求导： 例1最大功率传输定理 R多大时能从电路中 获得最大功率，并求 此最大功率。 解： 15V5V 2A + 20 + - - 20 10 5 + - 85V R 10 10V 2A 10 + - 10 5 + - 85V R 10 a b Ri Uo + - 0.75A 20 20 0.25A 10 1A R =4.29获最大功率。 50V 30 + - 5 + - 85V R U0 R0 + - R 10V 2A 10 + - 10 5 + - 85V R 10 例 RL为何值时能获得最大功率，并求最大功率 求开路电压Uoc 解 20 + 20V a b 2A + UR RL 10 20 + 20V a b 2A + UR 10 Uoc I1I2 求等效电阻Req 由最大功率传输定理得: 时其上可获得最大功率 20 + I a b UR 10 U I2I1 + _ 1 最大功率传输定理用于一端口电路给 定,负载电阻可调的情况; 2 计算最大功率问题结合应用戴维宁定 理或诺顿定理最方便. 注意 1、第一定理 或 其中 2、第二定理 两个具有相同拓扑结构的网络N , N: uk , ik 和 uk , ik (拟功率守恒定理) (功率守恒定理) 4. 4 特勒根定理(Tellegens Theorem) 网络拓扑 i1 i2i3 i1 i2i3 i1 i2i3 抽象 i = 0 连接性质 抽象电路图抽象图支路 + - R2 C L uS R1 抽象 抽象 无 向 图 有 向 图 图中的方向表示原电 路中支路电压和 电流关联参考方向。 一、图的基本知识 图、支路、节点和回路 图： 线图、拓扑图 Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 uS 6 iS4 支路： 代表元件的线段 节点： 支路两端点 复合支路： R、L、C + 电源 有向图：标出支路方向、支路号和节点号 1 2 3 4 5 6 回路： 闭合路径 二.具有相同拓扑结构的电路 N N + 1 2 3 4 + 1 2 4 3 - 1 2 3 4 1 2 3 45 6 1 2 3 4 1 2 3 45 6 三. 特勒根第一定理 对于一个具有n个节点、b 条支路的网络N，若其支路电 压向量和支路电流向量分别为： 且各支路电压、电流均取关联的参考方向，则： 或 或：任意时刻，任一集中参数电路中的独立源所供给电路 功率的总和等于电路中所有无源元件所吸收功率总和。 表明：任意时刻，任一集中参数电路的各支路所吸收或提 供的功率之和恒等于零。 三. 特勒根第二定理 网络N 和 具有相同的拓扑结构。 2. 各支路电压、电流均取关联的参考方向 1. 对应支路取相同的参考方向取： 特勒根第二定理 uk ik + - uk ik + - N 例 已知如图 , 求电流 ix 。 R + - 10V1A N R + - 5V ix 解 i1 i2 设电流 i1和 i2 ，方向如图所示。 由特勒根定理，得 互易定理 N i2 N i2i1 u2u1u2u1 i1 激励1响应1 激励2 响应2 4. 5 互易定理 (Reciprocity Theorem) 4-5 互易定理 N i2 uS1 N i2 uS2 i1 u2u1u2u1 i1 第一种形式：电压源和短路电流 u1 i1 - u2 i2 = -u1 i1 + u2 i2 uS1 uS2 Note:若将电压源移到支路N中，其电压的参考方向与支路 电流的参考方向相反，则它在支路M中产生的电流的参考方 向也和原支路M中电压源电压的参考方向相反。 4-5 互易定理 互易定理 N i2 iS1N i2 iS2 i1 u2u1u2u1 i1 第二种形式：电流源和开路电压 u1 i1 + u2 i2 = u1 i1 + u2 i2 iS1iS2 Note:若将电压源移到支路N中，其电压的参考方向与支路 电流的参考方向相反，则它在支路M中产生的电流的参考方 向也和原支路M中电压源电压的参考方向相反。 4-5 互易定理 互易定理 N i2 uS1 N i2i1 u2u1u2u1 i1 第三种形式：电压源开路电压，电流源短路电流 u1 i1 - u2 i2 = -u1 i1 + u2 i2 uS1iS2 iS2 Note:若将电压源移到支路N中，其电压的参考方向与支路 电流的参考方向相反，则它在支路M中产生的电流的参考方 向和原支路M中电压源电压的参考方向相同。 (1) 适用于线性网络只有一个电源时，电源支路和 另一支路间电压、电流的关系。 (2) 激励为电压源时，响应为电流 激励为电流源时，响应为电压 电压与电流互易。 (3) 互易时要注意电压、电流的方向。 (4) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。 应用互易定理时应注意： 例1 R + _ 2V 2 0.25A 已知如图 ,求：I1 R + _10V 2 I1 解 R + _2V 2 0.25A 互易 齐次性 注意方向 10V 例 2：已知 i1 = 5A, i2 = 1A, 求： i1 = ? P i2i1i2i1 u1u2 P u1 2 u210V 解：由替代定理 2i1 PP 2i1 i11i12 10V=1A= i1 网络定理 (互易定理 ) 第四章 迭加、 互易 方法一 方法二 10V P i2i1i1 u1u2u1 2 i2 P u2 P u210V isc isc=1A iscR R= uoc/ isc 例 2：已知 i1 = 5A, i2 = 1A, 求： i1 = ? 网络定理 (互易定理 ) 第四章 P u210V uoc 5A P i2i1 u1u2 uoc=2V =2 4. 6 对偶原理 (Dual Principle) 一. 网络对偶的概念 例1. 网孔电流方程： (R1 + R2)il = us 节点电压方程： (G1 + G2 )un = is R2 + us il R1 G1 G2 un is 1. 平面网络； 3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素 称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶。 2. 两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）； (R1 + R2)il = us (G1 + G2 )un = is R2 + us il R1 G1 G2 un is 电阻 R 电压源 us 网孔电流 il KVL 串联 网孔 电导 G 电流源 is 节点电压 un KCL 并联 节点 对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。 例2 网孔方程：节点方程： 两个电路互为对偶电路。 (R1+R2) il1- R2 il2 = us1 -(R2- rm) il1 +(R2+R