风力发电机组分数阶PID励磁控制系统设计毕业论文(论文).pdf

中国计量学院 本科毕业设计（论文） 风力发电机组分数阶 pid 励磁控制 系统设计 design of excitation control system of wind power generator using fractional order pid controller 学生姓名 张雪英 学号 1100102129 学生专业 自动化 班级 11 自动化 1_ 二级学院机电工程学院 指导教师_ _高坚_ _ 中国计量学院 2015 年 06 月 郑重声明 郑重声明 本人呈交的毕业设计论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。尽我所知，除文中已经 注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内 容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文 中以明确的方式标明。本学位论文的知识产权归属于培养单位。 学生签名： 日期： 分类号：tp202 密级：公开 udc： 62 学校代码：10356 风力发电机组分数阶 pid 励磁控制 系统设计 design of excitation control system of wind power generator using fractional order pid controller 作者 张雪英 学号 1100102129 申请学位 工学学士 指导教师 高坚 学科专业 自动化 培养单位 中国计量学院 答辩委员会主席 卫东 评阅人 那文波 2015 年 06 月 致谢致谢 时光荏苒，岁月如梭。转眼间四年的大学生活即将落幕。在这四年的生活中，我 的心灵和知识都不断的成长。在这期间，我获得了室友、同学和老师们无私的帮助。 首先要感谢我本次毕业设计的指导老师高坚副教授。在老师的悉心指导下，确立 了本次毕业设计的题目。 在整个毕业设计中， 高老师给予了认真的指导和积极的督促， 每次遇到专业上的困难，老师总能及时帮助我解决。正是在高老师的谆谆教导下，我 才完成了本次的毕业设计，在这里，表达由衷的感谢。 同时，我还要感谢我的家人、同学和室友，他们不仅在在毕业设计中帮我解答专 业上的疑问，也在生活中给我营造了良好的学习和生活氛围。在论文的书写过程中无 论是老师还是同学都提出了宝贵的意见，在这里也一一表示感谢。 大学四年的生活即将结束，在今后的生活中，我也将继续怀揣着一颗感恩的心努 力学习和工作！ 摘要 本次设计以风力发电机组为研究对象，并对其励磁控制系统进行设计。励磁控制系 统设计采用的是分数阶 pid 控制器，分数阶 pid 控制器相对于整数阶 pid 多了两个可 调参数，从而使调节更加灵活，也能满足对复杂系统的有效控制。 本论文工作可分为两部分： 1）研究风力发电机组的励磁系统。励磁系统是发电机的重要组成部分，它的主要 功能是为发电机转子提供稳定的端电压和调节功率分配，本文目的在于设计控制器使励 磁系统为发电机提供稳定的转子电压。 2）首先根据 oustaloup 滤波法及其改进法，搭建分数阶微积分算子模块框图，通过 搭建的模块框图，比较了两种滤波法的准确性，利用分数阶微积分算子模块搭建分数阶 pid 控制器并与传统 pid 控制器作比较以及以 itae 为准则对控制器参数进行整定。再 用分数阶 pid 控制器和传统 pid 控制器分别对励磁系统进行控制， 并比较控制结果， 得 出结论。 仿真结果表明，使用分数阶 pid 控制器与使用整数阶 pid 控制器的励磁系统相比， 其动态性能和静态性能更好。 关键词关键词：发电机励磁控制；分数阶 pid 控制器；pid 控制器；参数整定；itae 准则 中图分类号中图分类号：tp202 i abstract this object of this paper is wind power generator and my job is to design a controller for it using fractional order pid.as it is known to all, fractional order pid controller has two more adjustable parameter than the traditional pid controller which is also named integral order pid controller (pid).fopid which has attracted many research interests will make the system under controlled easier be robust, what is more, it can satisfy the more complicated system than pid. the paper can divide into two parts according to its content : 1) excitation control system is considered the most significant part of generator and the functions of excitation control system are supplying stable voltage for the rotor of a generator and distributing active power reasonably, what i care is the former one. the job of the paper is to designing a excitation control system to keep the terminal voltage of generator stable. 2) secondly, modeling fractional order calculus operator in matlab/simulink using oustaloup continuous approximation and a improved method based on oustaloup and their distinction will be given next. the operator has been modeled are parts of fopid, and the parameters of fopid will be determined by itae rule. finally, modeling for generator and its excitation control system and controlling the latter adopting fopid and pid . the result of the paper means that excitation control system can be more robust using fopid. keywords: excitation control of generator; fopid controller; pid controller; parameter setting; itae rule classification: tp202 ii 目 次 摘要.i abstract ii 目次iii 1 引言.1 1.1 选题背景及意义.1 1.2 风力发电机励磁系统控制研究现状.1 1.3 分数阶控制器研究现状.1 1.4 论文的主要工作及章节安排2 2 同步发电机与励磁系统建模.3 2.1 单机无穷大系统模型简介.3 2.2 同步发电机数学建模.3 2.2.1 同步发电机概述.3 2.2.2 同步发电机工作原理及输出功率.3 2.3 同步发电机励磁系统结构分析6 2.3.1 同步发电机励磁系统概述.6 2.3.2 励磁系统数学模型.7 2.4 分数阶微积分基本理论.10 2.4.1 分数阶微积分概述.10 2.4.2 分数阶微积分基础函数.10 2.4.3 分数阶微积分定义. 11 2.5 分数阶的laplace变换与频域分析12 3 分数阶pid控制器设计 14 3.1 分数阶微积分算子模块实现.14 3.1.1 分数阶微积分算子近似.14 3.1.2 仿真平台matlab上的分数阶微积分算子 14 3.1.3 分数阶微积分算子应用算例.16 3.2 分数阶系统仿真平台.18 3.2.1 分数阶系统描述与稳定性分析.18 3.2.2 仿真平台上的分数阶系统算例20 3.3 分数阶pid控制器实现与控制算例 .21 3.3.1 整数阶pid控制器设计简介 21 iii iv 3.3.2 分数阶pid控制器设计及应用算例 22 3.4 控制器参数整定.24 3.4.1 整数阶 pid控制器参数整定 24 3.4.2 分数阶 pid控制器参数整定 26 4 分数阶pid控制器的励磁系统设计28 4.1 同步发电机励磁控制系统等效框图.28 4.2 同步发电机分数阶pid励磁控制系统阶次确定 .29 4.3 带有发电机模块的励磁控制系统控制器设计.32 4.3.1 控制器为整数阶pid控制器设计 .32 4.3.2 控制器为分数阶pid控制器设计 33 5 总结与展望.36 参考文献37 作者简历38 学位论文数据集39 中国计量学院本科毕业设计（论文） 1 引言 1.1 选题背景及意义 倡导绿色资源的今天， 我国的很多地区都实现了风力发电机供电。 中国地形复杂， 面积较大，所以风能储量分布广且量多，在中国发展风力发电技术绝对是可行的2 。 全球风力发电机组多种多样， 这里仅介绍四种主流的对象： 首先有同步发电机组， 基于定速感应的发电机组（fsig） ，基于双馈感应发电机组（dfig）以及基于全功率 变流器发电机组（frc） 。其中同步发电机组结构简单，造价较低，功能稳定通常是 大功率风力机的首选，所以本文选择同步发电机作为研究对象234。此次的选题可 以让我更加了解生活中的需求，了解科技的发展动向。 1.2 风力发电机励磁系统控制研究现状 励磁系统的核心部分在于其具体的控制方式，如何去控制好对象，也就是说控制 方式的好坏决定着整个励磁系统的好坏。在控制学科中，控制是永远的话题，那么对 于励磁系统的控制方式，很多文献给出了自己的方法，比如说 pid+pss 控制法9， 最优励磁控制法3等等，这些个方法都各有各的特点和优缺点。但总结历史的总体控 制方式研究可以发现，它的方法随着控制学科的基本理论不断进步，也在不断得到优 化。现在来说，研究 d pi非常的有意义。在以后的学习生涯中，可以更多的接触到 前沿的知识，充实自己。 1.3 分数阶控制器研究现状 在国际的研究中，将分数阶应用到控制领域是近几十年的事情6，起初对分数阶 的研究仅限于数学领域，它的形式上与整数的微积分有着非常直观的区别，实质上它 们的计算规则也大不相同，考虑到对系统搭建分数阶的模型较为复杂，一般的不比较 复杂的系统通常用一般的微分方程建立模型，对于比较复杂的系统，如果还是沿用一 般的微分方程，精度上是无法满足的，此时，就有科学家提出用分数阶微积分建模。 近年，国内外关于分数阶的研究十分的热门起来，在我所查阅的文献中可了解，我国 的薛定宇、赵春娜等人在此方面的研究成果较为丰富15。 传统的 pid 控制器从发现到现在仍被广泛的应用到现代的工业生产中， 尤其是在 我国大部分控制器仍是 pid，可以不夸张的说，它质量直接关乎工业控制的水平5。 我们所应用的常规 pid 的微分和积分都是固定为 1 的， 如果将固定为 1 的值变成任意 实数会怎么样呢？本文所研究的这种控制器首先是由著名的 podlubny 教授提出，一 1 中国计量学院本科毕业设计（论文） 般简称为 d pi 6，根据它的简记形式可知，它比我们常用的 pid 控制器多了两个可 调的参数数值，它们分别是积分的阶次值和微分的阶次值，确定好它的基本形式后， 然后就是该如何选择参数呢？当然而为这些阶次选择合适的数值已超出了传统微积 分的概念范围13，传统的参数只有 3 个，调节起来相对简单一些。总的来说， d pi 的出现是控制理论上的一个重大发现和进展。 d pi参数整定问题也是当今的热点，很多文献678均提出了一些参数选择的 具体办法。我们无法确定哪一种方法是可靠的合适的，本文采用的方法是先确定分数 阶控制器的阶次再以 itae 为准则寻取最优的 kp、ki及 kd的值。 1.4 论文的主要工作及章节安排 本文目的是为风力发电机组励磁控制系统设计一个 d pi， 全文含绪论部分可分 为五个章节，各章节简介如下： 第一部分是引言部分。首先介绍了发电机分类，选取了合适的研究对象即同步发 电机， 之后介绍了励磁系统控制器发展历程及现状。 然后介绍了 d pi的研究历程及 现状。 第二部分可分为三个内容。 首先是对发电机工作原理及结构特性的分析并对其建 立数学模型，然后是对励磁系统进行结构分析及数学建模。最后一部分是分数阶的理 论部分。 第三部分首先应用近似法来近似出分数阶微积分算子， 其实就是用整数阶方程来 描述分数阶方程。 然后是设计一个 d pi以及实例中的具体设计和分析， 章节的最后 对分数阶系统表述， 随后对它的稳定性进行分析最后探讨分析如何对其进行参数整定 的具体方案。 第四部分是分数阶励磁控制系统设计。作为总结前的最后一部分章节，本文首先 的工作就是完全的实现完成代入数值到励磁系统的模型， 然后是参数选择的过程及结 果分析。 第五部分是对全文的工作的总结以及对未来的展望。 2 中国计量学院本科毕业设计（论文） 2 同步发电机与励磁系统建模 2.1 单机无穷大系统模型简介 对于电力系统(power system)设计而言，实际的实验不仅需要消耗大量人力物力， 会存在安全隐患。 如何准确、 高效的设计电力系统的同时又保证设计人员的人身安全， 对研究的对象建模是一个非常好的选择4。为了实现精确建模，常采用数学建模法， 通过研究系统各变量的函数关系，建立输入输出的动态微分方程。然后对微分方程进 行拉斯变换，再零初始条件下，分析研究系统的静态、动态性能，这是经典控制理论 主要的研究内容。 事实证明，电力系统是一个非常复杂的大系统，包括单元众多，且各单元关系密 切，如果去具体研究一个电力系统模型及控制，不仅工作量十分的巨大，动态结果的 可靠性也很难保证914。所以本文从最简单的单机无穷大系统着手，作为电力系统中 最简单的结构，本文的设计不需要研究那么复杂的系统，太复杂的系统建模比较有难 度，而且准确度也不是很高。如图 2.1 是单机无穷大系统的结构图。 图 2.1 单机无穷大系统结构图 2.2 同步发电机数学建模 2.2.1 同步发电机概述 同步发电机可以说是电力系统的心脏， 它的工作原理是将原动机通过轴传送的机 械功率转化为电功率4。我们知道，同步发电机结构比较复杂，在发电过程中磁场的 变化分布并不是理想的，发电过程会受到其本身结构和磁场的多种不定因素影响，所 以同步发电机动态性能十分复杂。本文仅研究理想的同步发电机。 2.2.2 同步发电机工作原理及输出功率 1）同步发电机工作原理：三相同步发电机有很多部件组成的，它们的元件不会 是非常符合标准的，但总体说它的转子式很重要的一部分。在设计中，通常转子有隐 3 中国计量学院本科毕业设计（论文） 极凸极之分。同步发电机有一个非常显著的特点，其转速与定子电网频率n 1 f 之间有 严格不变的关系，即 60 1 1 f nn p (2.1) 式中为电机极对数，为气隙磁场的转速。 p1n 在同步发电机工作的时候12， 它的转子部分连接的主磁极励磁绕组会通入励磁电 源后，由于理想下电流不变，所以胡产生相对转子静止的恒定磁场，然后转子就会在 磁场中转动切割磁场这样就会在气隙中便形成一个旋转磁场 0 b 。依据法拉第的电磁感 应定理，在定子电枢绕组中相应就会产生对应的三相感应电动势。定子绕组的绕 线和外面的负载连接在一起就会形成一个回路， 在电压的作用下绕组中就会产生对称 的三相电流 0 e i,这样会产生的电枢磁动势和旋转的电枢磁场并作切割磁场运动， 定子绕 组中又会产生相应的感应电动势。这时定子电流同样产生漏磁，同样会产生对应的气 隙感应电动势e 。如下图 2.2 是他们的简化电路图。 (a)隐极同步发电机 (b)凸极同步发电机 图 2.2 同步发电机简化电路图 2）同步发电机输出功率：对于同步发电机的输出功率的研究是很有必要的，它 是发电机输出，所以可以设发电机输入机械功率为 1 p ，发电机的机械损耗为,铁耗 为，附加损耗为，转化的电磁功率为 p fe pp m p 。存在 1-mfe pp ppppp 10 (2.2) 4 中国计量学院本科毕业设计（论文） 若发电机为同轴励磁机，则 1mfef pppppp ，其中 f p是励磁损耗。 发电机输出功率为 2 p 21mcu ppp (2.3) 式中 1cu p为铜损耗，且 2 1 3 cua pi r. 由式(2.2)、(2.3)得 21-fecu pp pppp 1 (2.4) 计算时，由于电枢绕组 a r 特别的小，小到可忽略不计，所以有 2 coscos()(coscossinsin ) m ppuiuiui (2.5) 已知cos q ii， sin d ii代入式(2.5)有 2qcos sin m ppuiuid (2.6) 已知可忽略不计，由电路关系可知 0 a ir 0 cos ,sin ddqq i xeui xu (2.7) 由式(2.7)易得 0 cossin , dq dq euu ii xx (2.8) 将式(2.6)代入式(2.8)并整理得 2 0 11 sin()sin2 2 m dqd e uu p xxx (2.9) 对于隐极发电机 dqt xxx，有 0 sin m t e u p x (2.10) 又因存在，t是转矩，pt是角速度 凸极电磁转矩： 2sin) 11 ( 2 sin 1 2 1 0 dqd xx u x ue t (2.11) 5 中国计量学院本科毕业设计（论文） 隐极电磁转矩： 0 1 sin d eu t x (2.12) 其中是转子同步角速度。 1 易知，同步发电机的视在功率 2 m suipq 2 ,q是同步发电机的无功功率， 由式(2.5)可知 sinsin()quiui (2.13) 对于凸极发电机有 22 0 d 1111 cos()()cos2 22 dqqd e uuu q xxxxx (2.14) 对于隐极发电机有 2 0 t cos t euu q xx (2.15) 2.3 同步发电机励磁系统结构分析 2.3.1 同步发电机励磁系统概述 励磁系统是非常重要的的一部分内容， 对它的研究也很多所以研究它具有重要的 价值，这对以后的学习也大有帮助。对它来说，由于所使用的励磁电源类型的不同， 这就造成了它的分类也不一样的。这里研究分析的是励磁电源为交流电的情况，因为 这种方式比较普遍。励磁调节器可以说是系统的最重要的部分，它的质量直接关乎系 统的好坏，对人民的生产和生活很有意义。首先分析其结构，工作原理和模型。下图 2.3是完整的同步发电机励磁的调节原理图。 通过框图可以知道它的具体调节过程是怎么样子的： 当同步发电机端电压因某种 原因上升（减小） ，调节器会根据输入的误差信号大小产生正确的作用信号，从而使 同步发电机端电压维持在理想值左右。对于同步发电机这一复杂的系统，由于干扰很 多，系统容易不稳定或发生是震荡，加入励磁稳定器和系统稳定器可加强系统在低频 震荡端电压的稳定性。 6 中国计量学院本科毕业设计（论文） 图 2.3 同步发电机励磁调节原理图 图2.3参量含义： t i是发电机定子发电机电流、 fd i是发电机励磁电流、 fd u是励 磁机输出电压、是补偿调差输出电压、 r是调节器输出电压、p是系统稳定器 输出控制量、 c uuu s u是系统稳定器输入控制量、 f u是励磁稳定器输出控制量、 ref 是励 磁系统输入的参考电压、 t u是发电机端电压、 e u是调节系统偏差电压。 u 为了简化计算，方便研究，同步发电机的励磁控制系统也可以简化成图2.4。 图 2.4 简化的励磁控制系统框图 2.3.2 励磁系统数学模型 由简化的图2.4励磁控制系统可知， 励磁系统模型包括电参量的检测与滤波单元、 励磁控制单元、综合放大单元及转子软反馈单元。下面针对每个环节的具体模型进行 分析。 7 中国计量学院本科毕业设计（论文） 1）检测滤波单元 对于检测滤波单元是检测和滤波两个环节构成。 通常根据检测方式通常人们将其 分为两种： （1）直流采样法； （2）交流采样法。当然对于滤波环节一般也有两种方法： （1）硬件滤波； （2）软件滤波；在仿真环节中，一般用一阶惯性环节描述滤波环节， 对于检测环节则用常数1代替。 与直流采样法相比，交流采样法实时性好，不存在滞后现象，精度高，被人们广 泛使用。在仿真中，可用测量模块实时采集同步发电机的众多参量的数值，且不存在 时间上的滞后， 也不用去多考虑， 当然这包括端电压数值的采集。 如图2.5是matlab/ simulink中的测量模块和模块可测量变量选项面板。 图 2.5 matlab/simulink 中的测量模块 选择测量值为vq,vd.，则端电压测量值 22 tq vvv d . 对于滤波环节多是由电容和电感组成，可用一阶惯性环节描述。设时间常数， 则滤波环节可以表述的传递函数模型为 r t 1 1s r r g t (2.16) 2）励磁控制单元 励磁控制单元作为的核心部件，主要作用是产生正确的控制信号。这部分内容的 设计详见第4章节。 8 中国计量学院本科毕业设计（论文） 3）综合放大单元 综合放大单元是对偏差信号进行放大的环节,由一电压自动调节器(avr)实现。 一 般可用一阶惯性环节的传递函数表示，如下 ( ) 1 a a a k gs t s (2.17) 表示avr放大器时间常数, 表示avr增益. a t a k 4）转子软反馈 转子软反馈环节可以调节励磁系统的零极点从而改善其动态性能， 该单元通常为 ( ) 1 f f f k gs t s (2.18) 表示时间常数， 表示放大倍数。 f t f k 5）励磁机模型 本文主要介绍和采用的是交流励磁机，这种在我国比较常用，同时我国的交流励 磁机多为他励方式的，这种方式效率好，得到现代社会的青睐。其标准传递函数模型 如图2.6. 图 2.6 交流励磁机方框图 e s表示饱和比例系数，表示励磁机不饱和时间常数。 e t 由图2.6的方框图易得交流励磁机的数学模型为 e 1t e e k g s (2.19) 式中，分别为放大倍数与时间常数。 e k e t 9 中国计量学院本科毕业设计（论文） 2.4 分数阶微积分基本理论 2.4.1 分数阶微积分概述 在我们通常的学习交流中， 常使用含有整数阶次的函数导数来表述某些关系或现 象，但对于一些复杂的对象进行描述时，整数阶微分方程不能对其具体的现象进行进 行描述的，比如常常可以接触到的isabel飓风影像6。 分数阶作为一个庞大的理论， 将它应用到控制理论中首先我们要分析的就是它所 构成的系统，当然也是显而易见的，其性质是不可能等于整数阶系统的。究竟有什么 不同还需要大量的研究，这其中比如将laplace变换应用到分数阶系统时，分数阶微 积分的操作规则和非分数阶的系统完全不同。分数阶系统对于模型复杂的动态系统 中，建模更加准确，试验证明，分数阶建模可兼顾函数的整体信息，具有记忆性。 2.4.2 分数阶微积分基础函数 分数阶微积分的定义式是由gamma函数、beta函数和mittag-leffler函数等基本 函数构成的619。函数是构成定义的很基本的部分，所以我们要先介绍一下定义里面 最基本的函数，然后再介绍定义。这样才可以保证结构的完整。 1）gamma函数 欧拉 （euler） 的gamma函数( ) z是阶乘的延拓。 对于任意的实数和复数，gamma 函数可由下积分形式给出： (2.20) 1 0 ( ) t z ze t dt 其中z是在复平面的右半平面取值，即re(z)0. gamma函数的极限形式 ! ( )lim (1).() z n n n z z zzn (2.21) 其中re(z)0. gamma函数的基本性质为 (1)(zz ) z ) z (2.22) 这个性质可用分部积分证明 1 000 (1)|( tztztz ze t dte tze tdtz (2.23) 2）beta函数 在一些情况下，用beta函数来表示比gamma函数更方便，它是gamma函数的 10 中国计量学院本科毕业设计（论文） 特殊组合形式。beta函数可用下式来表示 1 11 0 ( , )(1) w z b z wd (2.24) 其中re(z)0,re(w)0. 通过laplace变化可得 ( ) ( ) ( ,) () zw b z w zw (2.25) 3）mittag-leffler函数 mittag-leffler函数根据含参数的个数可分为单参数和双参数形式。 单参数mittag-leffler函数为 0 ( ),0 (1) j j z ez j (2.26) 双参数mittag-leffler函数为 , 0 ( ),0,0 () j j z ez j (2.27) 令式(2.26)中1有 1 00 ( ) (1)! j j z jj z z e ze jj (2.28) 令式(2.27)中1,1也可得到相同的结果， 可见指数函数式mittag-leffler函数 的特殊形式。同理单参形式也可看做是双参形式的特殊形式。 4）二项式级数（binomial series） 对于正整数n，下式 00 ! ()( ) !()! nn nkn k kk n n kn k xax a kk nk x a (2.29) 称为二项式级数，(其中是二项式系数。 ) n k 2.4.3 分数阶微积分定义 分数阶微积分的实质是任意阶次的微积分， 那么对于他的基本的基本操作算子通 常用一个很科学的表达式简记，可设为 at d，其中t和是操作算子的上下限，是 微积分的阶次，可以使任意实数和复数，由于复数情况的理论尚不熟悉，在实际中应 11 中国计量学院本科毕业设计（论文） 用也不多，所以本文研究是实数的情况 () ,0, 1,0, (),0 at a t d dt d d . (2.30) 分数阶微积分理论自发现已来已经得到不断进步深入， 但却出现了无法完全统一 的多种定义。本文仅介绍控制工程中常用的三种定义方法。当然经过历史的考验，这 三种定义的合理性与科学性已经得到检验19。 1）grunwald-letnikov分数阶微积分定义 函数f(t)的阶微积分为 ()/ 00 ( )lim( 1) ( ) () t ah j at hj d f thf tjh j (2.31) 其中h是步长。 2）riemann-liouville分数阶微积分定义 分数阶微分定义为 1 1( ) ( ),1, ()() m t ata mm df d f tdmm mn mdtt (2.32) 分数阶积分定义为 1 1 ( )()( ),01 ( ) t ata df ttfd (2.33) 3）caputo分数阶微积分定义 分数阶微分定义为 1 00 1( ) ( ),01 (1)() m t t f d f tdmmn t (2.34) 分数阶积分定义为 00 1 1( ) ( ),0 ()() t t f d f td t (2.35) 2.5 分数阶的laplace变换与频域分析 1）分数阶的laplace变换 在控制领域中laplace变换是非常常用的一种工具，它将系统从时域转到频域分 析，简化对系统的描述1316，下面介绍对分数阶微积分的laplace变换以简化对分数 12 中国计量学院本科毕业设计（论文） 阶系统的研究。让问题变得简单起来，研究起来更加的方便有效，有益于实际的学习 和应用以及分析。 函数f(t)的laplace变换f(s)是用复变量s来定义的函数： 0 ( ) (t); ( ) st f sl fsef t dt (2.36) 原函数f(t)可由f(s)通过反laplace变换得到 1 ( ) ( ),t( ) cj st cj f tlf se f s d s (2.37) 在初始条件为0时，对函数f(t)的阶微分进行laplace变换有 1 1 00 0 0 ( )( )( )( )| 1, m stkk t k l d f ted f t dts f ssdf t mm mn 0tt (2.38) 2）分数阶微积分算子频域分析 分数阶微积分算子 s是构成系统的基本形式，与常用算子不同的的是阶次是分 数，不是整数。前面已经介绍过对分数阶系统的变换，所以接着对其算子进行频率特 性，然后就可以直观的区别其与整数阶微积分的不同之处了。 对于复频域表达式为( )f ss，其频率表达式为 ()()(cossin 22 f jwjwwj ) (2.39) 对数频率表达式与相频特性表达式为 10 ( ) 2 ( )20 log| w l ww (2.40) 13 中国计量学院本科毕业设计（论文） 3 分数阶pid控制器设计 3.1 分数阶微积分算子模块实现 在发现了分数阶微积分后，如何实现它应用它又成为了一个难题，这里本文将探 讨它是如何实现的，这对整个分数阶的理解会更加的透彻，也有助于我们的学习。 3.1.1 分数阶微积分算子近似 首先是对分数阶算子的。近似可分为直接近似和间接近似。直接近似法是时域上 的近似，间接近似法是复域上的近似，本文讨论的是复域上的近似即间接近似法。间 接近似化的方法多种多样，本文介绍两种较为常用近似方法71013。 1）oustaloup近似法 经过大量实践证明，这种近似法是一种效果很好的间接近似方法，在分数阶的研 究中也比较常用。 首先假设选定拟合频率为(,) lh ， 可建立出分数阶微积分算子s近 似为 ( ) n k n k s g sk s (3.1) 其中 (21)/(21)/ , h b knkn kbukbuhu k ，n是滤波器的阶次， 是分数阶阶次。 2）改进的oustaloup近似法 也有文献给出了一种改进的oustaloup近似法。 这种方法引用了两个可调参数b、 d,一般可以取b=10,d=9.这种方法克服了oustaloup近似法的确定，在许多有关分数阶 微积分算子近似的文献中均有引用。 改进后有 2 2 () () (1) n hh n hk ddsbss s bdsbsds k k (3. 2) 式中符号含义与式(3.1)相同。 3.1.2 仿真平台matlab上的分数阶微积分算子 在matlab/simulink仿真环境中，开发一个分数阶微积分模块，可用于求解此 类微分方程数值解， 搭建分数阶系统及实现 d pi， 所以说如何去近似出它是非常重 14 中国计量学院本科毕业设计（论文） 要的， 当然这也是学习分数阶的第一步工程， 在理解它的定义之后， 入门就是近似它， 因为我们是无法解出来它的。本文分别采用oustaloup滤波法和最新提出的改进后的 oustaloup滤波法对信号进行处理。在模块后增加一个低通滤波的环节，可知防止避 免经常出现的代数环现象，当中令 1 h t 。将其封装滞后，得到如下图3.1是封装 模型的内部结构，而图3. 2是模块封装后的显示面板，在拟合频率一栏中，拟合频率 通常在0.001,1000rad/sec就足以满足系统要求，实验证明，滤波器的阶次n的数值 按理说应该是越大越好的，但在实际的计算中所耗费的时间较多，所以一般n=4时， 拟合效果较好。注意的是，两种近似方法所得到的外部封装模型相同，但初始化程序 有所不同。 3.1 分数阶微积分模块的内部结构 3. 2 分数阶微积分模块封装后显示 为证明改进后的oustaloup滤波法准确度更高，可举例说明设定拟合频率范围为 0.001/sec,1000/sec bh radrad，n=4，对算子分别进行oustaloup滤波法和 改进后的oustaloup滤波法，将两种方法得到的曲线与实际的曲线对比。 0.5 s 首先对于oustaloup滤波法，近似后的模型为 15 中国计量学院本科毕业设计（论文） 1 . 0497. 785.768 .12185.29 185.298 .121497. 71 . 0 2355 235 5 . 0 sssss ssss s 对于改进后的oustaloup滤波法，近似后有 45. 026.667153764101227003149014035 .13 1054314701287008217086325 .1769487. 0 234567 234567 5 . 0- sssssss sssssss s 在频域上分析两种近似法的bode图3. 3，真实的bode曲线的频率表达式为 ( )10lg|l w w，相频表达式为( ) 4 w 。 图 3.3 实际曲线与两种近似曲线 由图3. 3可知在近似频率两端用改进后的oustaloup近似法近似出的曲线比较准 确，在中间位置，两种近似方法均能获得较好的近似结果。但改进后的滤波法近似模 型阶次较大，计算时间较慢，效率并不理想，所以本文采用的仍是经典的oustaloup 滤波法来近似微分算子。 3.1.3 分数阶微积分算子应用算例 1） 我们知道， 整数阶的微分和积分算子可在simulink中搭建出微分方程并求解。 相同的道理，作为定义更为宽泛的分数阶，那么对于我们已经完成的分数阶微分和积 分算子也可以用于求解分数阶微分方程。 下面就利用搭建的分数阶微积分模块和方程 的特性搭建一个求解的框图，用于求取分数阶微分方程，用此算例来说明该模块的求 解方程的能力。 16 中国计量学院本科毕业设计（论文） 算例：已知分数阶非线性微分方程 )()()()()( 32555. 0455. 12 tftytydtydtyd 其中 )2(sin125) 400 111 2(sin961.53) 400 91 2cos(708.13)2sin(20)( 32 tttttf 若要求解该非线性方程十分复杂且无直接可用的算法，当考虑用框图计算时，引 用变量，原方程可化为 3 ( )( ( )g ty t )2(sin125) 400 111 2(sin961.53) 400 91 2cos(708.13)2sin(20)( 32 tttttf 根据上式可搭建出如图3.4的仿真框图，并得到图3.5的结果. 图 3.4 simulink 仿真框图 17 中国计量学院本科毕业设计（论文） 图 3.5 仿真曲线结果 由图3.5可知，代入方程即证明解的正确性。 ( )5sin(2 )y tt 3.2 分数阶系统仿真平台 3.2.1 分数阶系统描述与稳定性分析 1）分数阶系统的传递函数描述 分数阶微积分方程的一般形式为 10 10 10 10 ( )( ).( ) ( )( ).( ) nn nn mm mm aaa bbb dy tdy tdy t d u tdu td u t j (3.3) 其中, iji a b是任意实数且 0101 .,.;,.,1 , 0;,.,1 , 0 nnnn mjni 得到它的基本形式以后，我们要想办法将它简化研究，用我们熟悉的方法去分析 这个问题。然后对(3.3)式进行laplace变换，在零初始条件下可得到分数阶系统的传 递函数为 18 中国计量学院本科毕业设计（论文） 10 1 1 10 . ( ) . mm nn mm nn b sbsb s g s a sasa s 0 0 (3.4) 分数阶系统比非分数阶的系统要复杂的多，一般，既考虑输出的高阶导数项，这 样的方程如下 10 10 ( )( ).( )( ) nn nn aaa dy tdy tdy tu t (3.5) 对上式进行laplace变换有 10 10 1 ( ) . nn nn g s a sasa s (3.6) 2）分数阶系统的状态空间描述 类似于整数阶的状态空间描述，分数阶系统的状态方程也可以用两个方程定义。 分数阶状态描述为 ()( )( )( ) ( )( )( ) d x tax tbu t y tcx teu t (3.7) 它们符号的定义和普通的状态空间表达式是相同的，在这里也就不再详细说明 了。 3）分数阶系统性质分析 成比例的分数阶系统是分数阶系统比较特殊的一类， 它所有的微分数阶都是一个 基本数的倍数，它是非常简单的一类系统，虽然简单，但也具有实际的意义，对它 的研究可采用对整数阶的研究方法。下面仅分析其稳定性17。 对于成比例分数阶系统开环传递函数可以写成 0 0 () ()1 ( ),(,) () () m k k k n k k k b s q s g snmqz p sq as (3.8) 由式(3.2.6)可知系统的闭环传递函数为 () ( ) ()() q s s q sp s (3.9) 设s，代入式(3.2.6)和式(3.2.7)有 ( ) ( ) ( ) q g p (3.10) ( ) ( ) ( )( ) q qp (3.11) 19 中国计量学院本科毕业设计（论文） 由上式可知系统的稳定性可通过求取闭环特征多项式的根在平面上的位置来 判断。如图3.6所示是平面有，l1：/arg( )/2，l2：/arg( )/2 . 图 3.6 曲线 l 若闭环特征根有落在非阴影区域，则系统不稳定。 3.2.2 仿真平台上的分数阶系统算例 由上我们已经分析了分数阶系统的表达形式，在matlab中如何最简单的用分 数阶微积分算子去搭建一个简单的分数阶系统， 并对其进行简单的响应曲分析具有一 定意义。下面就利用已开发出来的分数阶微积分模块在matlab/simulink建立分数 阶系统仿真模型算例。 算例：设被控对象为 1.20.8 1 ( ) 1 g s ss ，实现模型如图3.7，图3.8是其阶跃响应 和bode图。 图 3.7 分数阶系统仿真实现 20 中国计量学院本科毕业设计（论文） 116 图 3.8 系统单位阶跃响应与 bode 图 无论是从根特性还是bode图分析，系统均稳定。这就是对一个非常简单的成比 例的分数阶系统的简单研究。虽然表面上没有太多的含义，放到实际的问题当中就会 有不同的作用了。 3.3 分数阶pid控制器实现与控制算例 3.3.1 整数阶pid控制器设计简介 传统pid控制器作为一种经久不衰的经典控制器，它的作用就是作用于系统偏 差，产生控制信号，最终使被控参数无限接近给定值。它的每一个组成环节的含义和 作用都有所不同，如下式对其各个部分含义和作用的解释说明1718。 比例环节：控制能力较强，比例系数增大可使系统响应更迅速，同时减少稳态误 差，但系统震荡增大。 积分环节：可完全消除系统误差，增加积分系数，会使系统出现震荡。 微分环节：微分系数增大，可减小系统震荡，具有超前控制能力，可改善系统动 态性能。 本文仅研究连续型pid控制器，其基本结构为 1 ( ) pid w skkk s s (3.12) 在时域上有 ( ( ) ( )( )( ) pid d e t y tk e tke t dtk dt (3.13) pid控制器的典型结构如图3.