北京市西城区2017-2018学年高二第一学期期末考试数学理.pdf

北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高二数学（理科）2018.1 试卷满分：试卷满分：150 分分考试时间：考试时间：120 分钟分钟 题号题号一一二二 三三 本卷总分本卷总分 151617181920 分数分数 一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 要求的要求的. 1. 直线30xy的倾斜角为（） （A）30（B）45（C）60（D）135 2. 命题“对任意3x ，都有ln1x ”的否定是（） （A）存在3x ,使得ln1x （B）对任意3x ,都有ln1x （C）存在3x ,使得ln1x（D）对任意3x,都有ln1x 3. 双曲线 22 1xy的焦点到其渐近线的距离为（） （A）1 （B）2 （C）2（D） 2 2 4. 设, 是两个不同的平面，, ,a b c是三条不同的直线， （） （A）若ab，bc，则/a c（B）若/a，/b，则/a b （C）若ab，a，则/b（D）若a ，a，则/ 5. “0nm” 是“方程 22 1 xy mn 表示的曲线为椭圆”的（） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件 （C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 6. 设, 是两个不同的平面，l是一条直线，若/l，/l，m，则（） （A）l与m平行 （C）l与m异面 （B）l与m相交 （D）以上三个答案均有可能 7. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 2 2(0)ypx p上任意一点，M是线段PF 的中点，则直线OM的斜率的最大值为（） （A） 2 2 （B）1 （C）2 （D）2 8. 设为空间中的一个平面，记正方体 1111 ABCDABC D的八个顶点中到的距离为 (0)d d 的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（） （A）4 M ，6M（B）5M，6M（C）4M，6M（D）5M，6M 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上. 9. 命题“若 22 0ab，则ab”的逆否命题为_. 10.经过点(2,1)M且与直线380xy垂直的直线方程为_. 11. 在ABC中，3AB ，4BC ，ABBC. 以BC所在的直 线为轴将ABC旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为 _. 12. 若双曲线C的一个焦点在直线43 +20=0lxy：上，一条渐近 线与l平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则C的标准方程 为_；离心率为_. 13. 一个四棱锥的三视图如右图所示，那么在这个四棱锥的四个 侧面三角形中，有_个直角三角形. 14. 在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点 (1,0)A 和点 ( 1,0)B 的距离之积等于 2的所有点 组成的. 对于曲线C，有下列四个结论： 1曲线C是轴对称图形； 2曲线C是中心对称图形； 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 22 111 1 1 3曲线C上所有的点都在单位圆 22 1xy=内； 4曲线C上所有的点的纵坐标 1 1 , 2 2 y . 其中，所有正确结论的序号是_. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分 13 分） 如图，在正三棱柱 111 ABCA BC中，D为AB的中点. （） 求证：CD 平面 11 ABB A； （） 求证： 1/ BC平面 1 ACD. 16 （本小题满分 13 分） 已知圆 22 680Cxyxym：，其中mR. （）如果圆C与圆 22 1xy相外切，求m的值； （）如果直线30xy与圆C相交所得的弦长为2 7，求m的值. 17 （本小题满分 13 分） 如图， 在四棱柱 1111 ABCDABC D中， 1 AA 平面ABCD，/AB CD，ABAD，1ADCD， 1 2AAAB，E为 1 AA的中点. （）求四棱锥 1 CAEB B的体积； （）设点M在线段 1 C E上，且直线AM与平面 11 BCC B 所成角的正弦值为 1 3 ，求线段AM的长度； （）判断线段 1 BC上是否存在一点N，使得 /NE CD？（结论不要求证明） B AC A1C1 B1 D AE CC1 BB1 DD1 A1 18 （本小题满分 14 分） 设F为抛物线 2 2Cyx：的焦点，,A B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点. （）若直线AB经过焦点F，且斜率为 2，求| |AB； （）当OAOB时，证明：求OA OB的最小值. 19 （本小题满分 14 分） 如图，在四面体ABCD中，AD 平面BCD，BCCD，2BCCDAD， M为AC的中点. （）求证:BCMD； （）求二面角BMDC的余弦值. （）求四面体ABCD的外接球的表面积. （注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积 2 4SR） 20 （本小题满分 14 分） C BD A M 已 知 椭 圆 22 22 1 (0) xy Cab ab ：的 一 个 焦 点 为( 5,0)， 离 心 率 为 5 3 . 点P为 圆 22 13M xy：上任意一点，O为坐标原点. （）求椭圆C的标准方程； （）记线段OP与椭圆C交点为Q，求|PQ的取值范围； （）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称 点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论. 北京市西城区 2017 2018 学年度第一学期期末试卷 高二数学（理科）参考答案及评分标准 2018.1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. 1. D2. C3.A4. D5.A6.A7. B8. D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 9. 若ab，则 22 0ab10. 350xy 11.15 12. 22 1 916 xy ， 5 3 13.414.12 注：第 12 题第一空 3 分，第二空 2 分；第 14 题多选、少选或错选均不得分. 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 80 分分. 15 （本小题满分 13 分） ()证明证明：因为正三棱柱 111 ABCA BC，D为AB的中点， B AC A1C1 B1 D O 所以CDAB， 1 AA 底面ABC.1 分 又因为CD 底面ABC， 所以 1 AACD.3 分 又因为 1 AAABA，AB 平面 11 ABB A， 1 AA 平面 11 ABB A， 所以CD 平面 11 ABB A.6 分 ()证明证明：如图，连接 1 AC，设 11 ACACO，连接OD，7 分 由正三棱柱 111 ABCA BC，得 1 AOOC， 又因为在 1 ABC中，ADDB， 所以 1 /OD BC，10 分 又因为 1 BC 平面 1 ACD，OD 平面 1 ACD， 所以 1/ BC平面 1 ACD.13 分 16.（本小题满分 13 分） （）解解：将圆C的方程配方，得 22 (3)(4)25xym，1 分 所以圆C的圆心为(3,4)，半径25(25)rm m.3 分 因为圆C与圆 22 1xy相外切， 所以两圆的圆心距等于其半径和，即 22 (30)(40)125m ，5 分 解得9m.7 分 （）解解：圆C的圆心到直线30xy的距离 |343| 2 2 2 d . 9 分 因为直线30xy与圆C相交所得的弦长为2 7， 所以由垂径定理，可得 222 25(2 2)( 7)rm，11 分 解得10m.13 分 17.（本小题满分 13 分） （）解解：因为 1 AA 平面ABCD，AD 平面ABCD， AE A1 CC1 BB1 DD1 x y z 所以 1 AAAD. 又因为ABAD， 1 AAABA， 所以AD 平面 11 ABB A.1 分 因为/AB CD， 所以四棱锥 1 CAEB B的体积 11 1 3 C AEB BAEB B VSAD 四边形 2 分 11 (12)2 1 1 32 .4 分 （） 解解： 由 1 AA 平面ABCD，ABAD， 可得AD， 1 AA，AB两两垂直， 所以分别以AD， 1 AA， AB所在直线为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，5 分 则(0,0,0)A，(0,0,2)B，(1,0,1)C，(0,1,0)E， 1(1,2,1) C. 所以(0,1,0)AE ， 1 (1,1,1)EC ，(1,0, 1)BC ， 1 (0,2,0)CC . 设平面 11 BCC B的一个法向量为( , , )x y zm， 由0BC m， 1 0CC m，得 0, 20, xz y 令1x ，得 (1,0,1)m .7 分 设 1 ( , , )EMEC ，其中10 ， 则( ,1, )AMAEEM ， 记直线AM与平面 11 BCC B所成角为， 则 2 21 sin|cos,| 3 3212 AM m， 解得 1 5 （舍） ，或 1 3 .9 分 所以 1 4 1 ( , ) 3 3 3 AM ， 故线段AM的长度为|2AM .10 分 （）答答：对于线段 1 BC上任意一点N，直线NE与直线CD都不平行.13 分 18.（本小题满分 13 分） （）解解：由题意，得 1 ( ,0) 2 F，则直线AB的方程为 1 2() 2 yx.2 分 由 2 2 1 2(), 2 , yx yx 消去y，得 2 4610xx .3 分 设点 11 (,)A x y， 22 (,)B xy， 则0 ，且 12 3 2 xx， 12 1 4 x x ，4 分 所以 2 121212 5 |5|5()4 2 ABxxxxx x.6 分 （）解解：因为,A B是抛物线C上的两点，所以设 2 (, ) 2 t At， 2 (, ) 2 s Bs， 由OAOB，得 2 ( ) 0 4 st stOA OB ，8 分 所以4st ，即 4 s t . 则点B的坐标为 2 84 (,)B tt .10 分 所以 4 22 422 641664 4 | |3248 t OAOBtt ttt ，12 分 当且仅当2t 时，等号成立. 所以| |OAOB的最小值为8.13 分 19.（本小题满分 14 分） （）证明证明：因为AD 平面BCD，BC 平面BCD， 所以ADBC.1 分 又因为BCCD，ADCDD， 所以BC 平面ACD.3 分 又因为MD 平面ACD， 所以BCMD.4 分 （） 解解：如图，设BD的中点为O，AB的中点为E，连接OC，OE， 因为AD 平面BCD， 所以EO 平面BCD， C Dy A M B x z O E 由BCCD，且BCCD，可得OC，OD，OE两两垂直，所以分别以OC，OD，OE所 在直线为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系，5 分 则(0, 2,2)A，(0,2,0)B，( 2,0,0)C，(0, 2,0)D， 22 (,1) 22 M. 所以 22 (,1) 22 DM ，(0,2,0)2BD ，(2, 2,0)CD . 设平面BMD的一个法向量为( , , )x y zm， 由0DM m，0BD m，得 2220, 2 20, xyz y 令 2x ，得( 2,0, 1)m.7 分 设平面CMD的一个法向量为 111 (,)x y zn， 由0DM n，0CD n，得 111 11 2220, 220, xyz xy 令 1 1x ，得(1,1,0)n.8 分 所以 3 cos, |3 m n m n mn . 由图可知，二面角BMDC的余弦值为 3 3 .10 分 （）解解：根据（） ，记AB的中点为E， 由题意，ABD为直角三角形，斜边2 3AB ， 所以3EAEBED.12 分 由（） ，得BC 平面ACD， 所以BCAC. 在直角ABC中，E为斜边AB的中点， 所以EAEBEC. 所以E为四面体ABCD的外接球的球心， 故四面体ABCD的外接球的表面积 2 412SEA.14 分 20.（本小题满分 14 分） （）解解：由题意，知5c ， 5 3 c a ，1 分 所以3a ， 22 2bac，2 分 所以椭圆C的标准方程为 22 1 94 xy .3 分 （）解解：由题意，得| |13 |PQOPOQOQ.4 分 设 11 (,)Q xy，则 22 11 1 94 xy . 所以 22222 11111 45 |(4)4 99 OQxyxxx，5 分 因为 1 3,3x ， 所以当 1 0x 时， min |2OQ；当 1 3x 时， max |3OQ.6 分 所以| 133, 132PQ .7 分 （）结论结论：直线PB与椭圆C相切.8 分 证明证明：由题意，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径， 所以PAPB. 当直线PAx轴时，易得直线PA的方程为3x ， 由题意，得直线PB的方程为2y ， 显然直线PB与椭圆C相切. 同理当直线/PAx轴