随机事件的关系与运算.ppt

教材：概率论与数理统计 第三版 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社 教 师： 杨晓霞 办公室: 理学院 203 电 话: 62338357 e-mail: 数理统计 概率(或然率或几率) 随机事件出现 的可能性的量度 其起源与博弈问题有关. 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ). 概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科. 发展则在17世纪微积分学说建立以后. 基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速 第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科. 数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的 问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策 和行动提供依据和建议的 数学分支学科. 论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 对客观世界中随机现象的分析产生了概率 统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计 学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系. 本学科的应用 概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如 1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与概率论紧密相关； 2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 否在临床中应用，均要用到假设检验； 6. 探讨太阳黑子的变化规律时,时间 可夫过程 来描述; 7. 研究化学反应的时变率，要以马尔 序列分析方法非常有用; 4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开可靠性估计; 3. 寻求最佳生产方案要进行实验设计 和数据处理； 5. 处理通信问题, 需要研究信息论； 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都 可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知 装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、 8. 生物学中研究 群体的增长问题时， 提出了生灭型随机模型，传染病流行问 题要用到多变量非线性生灭过程； 9. 许多服务系统，如电话通信、船舶 识就是 排队论. 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经 济的稳定增长等问题 , 都大量采用概率 统计方法. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大 领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领 多数在实质上只是概率的问题.” 目前, 概率统计理论进入其他自然科学 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。 在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象： 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 随机现象： 在一定条件下必然发生的现象。 在个别实验中其结果呈现出不确定性； 概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。 退 出目 录前一页后一页 1 随机事件的概率 2 等可能概型 3 条件概率 4 独立性 第一章 概率论的基本概念 退 出目 录前一页后一页 一 随 机 试 验 二 事件间的关系与运算 三 频 率 与 概 率 1 随 机 事 件 的 概率 第一章 概率论的基本概念 退 出目 录前一页后一页 这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样 的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有： 1) 随机试验（Experiment ） 第一章 概率论的基本概念 一 、 随 机 试 验 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; 这些试验具有以下特点： 第一章 概率论的基本概念 2. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 试验的所有可能结果。 1. 可以在相同的条件下重复进行； 1 随机事件的概率 称具备上面三个特点的试验为随机试验。 退 出前一页后一页目 录 2) 样本空间(Space) 定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。 第一章 概率论的基本概念 1 随机事件的概率 要求：会写出随机试验的 样本空间。 退 出前一页后一页目 录 E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; S1 : H , T S2 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 S3 : 0,1,2,3 S4 : t | t 0 S5 : ( x , y ) | T 0 x y T1 S6 : HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT S7 : 0, 1, 2, 3 随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等； 基本事件 : 由一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。 3) 随 机 事 件 我们称一个随机事件发生当且仅当它所包 含的一个样本点在试验中出现。 第一章 概率论的基本概念 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 例如：S2 中 第一章 概率论的基本概念 事件 A=2,4,6 表示 “出现偶数点”; 事件 B=1,2,3,4 表示 “出现的点数不超过4”. 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 1) 包含关系 二 、 事件间的关系与运算 S A B 第一章 概率论的基本概念 如果A发生必导致B发生，则 1 随机事件的概率 2）相等关系 退 出前一页后一页目 录 S A B 3) 和（并）事件 第一章 概率论的基本概念 事件 发生当且仅当 A, B 至少发生一个 . 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 第一章 概率论的基本概念 4) 积（交）事件 S A B 事件 发生当且仅当 A , B 同时发生. 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 第一章 概率论的基本概念 考察下列事件间的包含关系： 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 5) 差事件 S A B 第一章 概率论的基本概念 A S A B 发生当且仅当 A 发生 B 不发生. 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 6) 互不相容（互斥）7) 对立事件 （逆事件） S A 第一章 概率论的基本概念 S B A 请注意互不相容与对立事件的区别！ 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 第一章 概率论的基本概念 例如，在S4 中 事件 A=t|t1000 表示 “产品是次品” 事件 B=t|t 1000 表示 “产品是合格品” 事件 C=t|t1500 表示“产品是一级品” 则 表示 “产品是合格品但不是一级品”; 表示 “产品是一级品” ; 表示 “产品是合格品”. 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 8) 随机事件的运算规律 幂等律: 交换律: 第一章 概率论的基本概念 结合律: 分配律: De Morgan（德摩根）定律: 1 随机事件的概率 退 出前一页后一页目 录 第一章 概率论的基本概念 1 随机事件的概率 例1：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. （1）A 发生. (2) A 发生，B 与 C 都不发生. (3) A ,B , C 都发生. (4) A ，B , C 至少有一个发生. 退 出前一页后一页目 录 第一章 概率论的基本概念 1 随机事件的概率 (5) A ，B , C 都不发生. (6) A ，B , C 不多于一个发生. (7) A ，B , C 不多于两个发生. (8) A ，B , C 至少有两个发生. 退 出前一页后一页目 录 B C A B A C A 分配律 图 示 A 练习：甲、