随机信号分析(简化.ppt

n2.1 引言 n2.2 随机过程的一般表述 n2.3 平稳随机过程 n2.4 平稳随机过程的相关函数和功率谱密度 n2.5 高斯过程 n2.6 窄带随机过程 n2.7 正弦波加窄带高斯过程 n2.8 随机过程通过线性系统 笫 2 章 笫笫 2 2 章章 随机信号分析随机信号分析 Date1通信原理北化信息学院王学伟 2.1引言 通信过程是有用信号通过通信系统的过程。 通信系统中遇到的信号，通常总带有某种随 机性，即通信信号的某个或几个参数不能预 知或不能完全预知，我们把这种具有随机性 的信号称为随机信号。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date2通信原理北化信息学院王学伟 从统计数学（概率论和数理统计的）观点来 看，随机信号和噪声统称为随机过程。 2.2 随机过程的一般表述 随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间参数t 的随机过程。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 随机过程的基本特征是： 1.它是时间 t 的函数 ，是随机实验可能出 现的函数。 Date3通信原理北化信息学院王学伟 2.在任意时刻上观察到的值都是不确定的， 是一个随机变量。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 为随机过程(t)某个具体的实现，也 称为随机过程(t)的样本。 Date4通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 随机过程的定义： 设随机试验 E 的可能结果为 样本空间S为i为正整数， ，试验的 为第 i 个样本函数(称之为实现)。每次试验 之后, 取空间S中的某一样本函数，称 为随机函数。当 t 是时间时，称此 为随 机过程。 Date5通信原理北化信息学院王学伟 设随机过程为 ，其在任意时刻 t1上 是一个随即变量，这个随机变量的统计特 性可用分布函数和概率密度函数去描述， 称： 为随机过程 的一维分布函数。 如果存在 2.2-1 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 随机过程的统计特性：概率分布与数字特征 Date6通信原理北化信息学院王学伟 则称 为 的一维概率密度函数。 一维分布函数只刻划随机过程 在各个孤立 时刻的统计特性。这种统计特性极不充分，通 常需要在n个时刻上考虑随机过程的多维分布 函数。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 的n维分布函数定义为 ： Date7通信原理北化信息学院王学伟 与1维类似 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 2.2-2 则称其为 的n维概率密度函数。 随机过程的数字特征 ： 数学期望，方差，协方差函数，相关函数 若存在 Date8通信原理北化信息学院王学伟 2.2-3 1.随机过程 的数学期望 数学期望与 有关，随机过程的数学期望被 认为是时间 t 的函数。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 2.2-4 2.随机过程的方差 Date9通信原理北化信息学院王学伟 3.协方差函数：随机过程(t)任意两个时 刻t1,t2 上, 对应随机变量的统计相关特性。 2.2-5 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 为二维概率密度函数。 2.2-6 4.相关函数 Date10通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 5.协方差函数 与相关函数 之 间的关系式。 2.2-7 6.互协方差函数：设 与 两个 随机过程，互协方差函数为： 2.2-8 7.互相关函数 2.2-9 Date11通信原理北化信息学院王学伟 如果对于任意的正整数n和任意实数 随机过程 的 n 维概率密度函数满足 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 称 是平稳随机过程，也叫做：严平稳、 狭义平稳的随机过程。 2.3 平稳随机过程 Date12通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) *平稳随机过程的统计特性，不随时间的推移 而变化。 它的一维分布函数与 t 无关，二维分布函数 只与时间间隔 有关。 平稳随机过程的数字特征： 数学期望与 t 无关,即 a (t)=a 指它的任何N维分布函数 或概率密度函数 与 时间的起点无关。 Date13通信原理北化信息学院王学伟 自相关函数只与 有关： 方差： 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 宽平稳随机过程： 若一个随机过程的数学期望与时间无关 而其相关函数仅与 有关，则称这个随 机过程是宽平稳的或广义平稳的。 Date14通信原理北化信息学院王学伟 平稳随机过程的“各态历经性” 许多平稳随机过程的数字特征，完全可由随机 过程中的任一实现的数字特征来决定: 1）随机过程的数学期望（统计平均值）可由任 一实现x(t)的时间平均值来代替。 2）随机过程的自相关函数也可以由“时间平均” 来代替“统计平均”。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date15通信原理北化信息学院王学伟 物理意义： 随机过程的任一实现，好像经历了随机过程 的所有可能状态。 若有 ； 以概率1成立，则 称该随机过程 为具有“各态历经性”的平 稳随机过程。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date16通信原理北化信息学院王学伟 2.4 平稳随机过程的 相关函数与功率谱密度 相关函数:可以描述随机过程的数字特征；还 可以表示随机过程的频谱特性。 1.相关函数的性质:设 为实平稳随机过程 (1) 的平均功率 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date17通信原理北化信息学院王学伟 (2) 是偶函数 (3) 的上界 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) (4) 的直流功率 (5 ) 方差， 的交流功率 Date18通信原理北化信息学院王学伟 即： 随机过程 的自相关函数与其功率 谱密度之间有付立叶变换关系。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date19通信原理北化信息学院王学伟 2.5 高斯过程 高斯过程也称为正态随机过程。 高斯过程 的 n 维( n=1,2,)概率密度 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 上式中 Date20通信原理北化信息学院王学伟 为归一化协方差矩阵的行列式。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 为归一化协方差 函数； Date21通信原理北化信息学院王学伟 为行列式 中元素 的代数余因子 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) j行 k列 Date22通信原理北化信息学院王学伟 若高斯过程是宽平稳的， 正态随机过程的 n 维分布仅由各随机变量 的数学期望、均方差和两两随机变量 之间的归一化协方差函数bjk所 决定。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 则高斯过程是严平稳的。因为其几何分布 与时间起点无关。 Date23通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 如果高斯过程中的随机变量之间互不相关， 则它们是统计独立的。 Date24通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date25通信原理北化信息学院王学伟 a均值 方差 的图形如右图示： 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 对于正态分布的随机变量 ，其概率密度函 数可表示成 Date26通信原理北化信息学院王学伟 概率密度函数 的特性 1. 以 对称 ; 即 2. 在 内单调上升，在 内 单调下降。 单调性 在 a 点达到极大值 并且有： 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date27通信原理北化信息学院王学伟 3. 2.5-5 且2.5-6 4.当 时， 正态分布称为标准 化的正态分布。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date28通信原理北化信息学院王学伟 n概率积分函数 对于正态分布函数 令： 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 正态随机变量的概率密度函数 Date29通信原理北化信息学院王学伟 则有： 称概率积分函数，简称概率积分。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date30通信原理北化信息学院王学伟 n误差函数 与补误差函数 2.5-10 因为 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 所以 Date31通信原理北化信息学院王学伟 所以 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 和 与正态分布函数的关系 Date32通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date33通信原理北化信息学院王学伟 2.6 窄带随机过程 若信号和噪声的频谱均被限制在“载波” 或某一中心频率附近的一个窄的频率上， 这个中心频率离开零频率又相当远，且信 号或噪声是一个随机过程，则称它们为窄 带随机过程。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date34通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date35通信原理北化信息学院王学伟 窄带随机过程的(一般)表达式 2.6-1 式中， 窄带随机过程的包络函数， 随机相位函数。 是正弦波的 中心角频率。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date36通信原理北化信息学院王学伟 对于上式变形得窄带过程另一表示： 2.6-2 的同相分量 的正交分量 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date37通信原理北化信息学院王学伟 上式表明 统计特性由 统计特性决定。 为零均值、平稳高斯窄带过程的 的统计特性 1. 的统计特性 由2.6-2式，可得到 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date38通信原理北化信息学院王学伟 2.6-5 因为 是平稳的， 且均值为零，即对 于任意时间 t ， 等于零。 即： 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date39通信原理北化信息学院王学伟 2. 的自相关函数 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date40通信原理北化信息学院王学伟 结论：如果 是平稳的，则 与 是 宽平稳的。 另外， 由2.6-9和2.6-10可看出 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 2.6-10 2.6-9 由互相关函数性质： Date41通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 是 的奇函数 因为 所以 2.6-9 2.6-10 2.6-17 Date42通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 结论： 均值为零的窄带平稳高斯过程 , 其 同相分量 和正交分量 同样是平稳高斯 过程，且均值都为零，方差相同。在同一时刻 上得到的 和 是不相关的 或统计独立的。 Date43通信原理北化信息学院王学伟 2.6-18 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 随机变量(在某一时刻 t 上） 布密度函数为 和的相关统计特性(一维分布函数) 与的二维分 Date44通信原理北化信息学院王学伟 与 的二维分布密度函数为 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 2.6-19 而 在 内取值。 Date45通信原理北化信息学院王学伟 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 的边际分布(边缘分布) 和 服从瑞利分布 服从均匀分布。 Date46通信原理北化信息学院王学伟 结论：一个均值为零， 方差为 的平稳 高斯窄带过程， 其包络 的一维 分布是瑞利分布，其相位 的一 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 维分布是均匀的分布，就一维分布而 言， 和 是统计独立的。 Date47通信原理北化信息学院王学伟 理想的宽带过程自噪声 功率谱密度在整个频域内都是均匀分 布的噪声，被称之为自噪声。 常数，单位“瓦/赫” 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) 自噪声的自相关函数 意义：白噪声的自相关函数仅在 时 才不为零。对于其它任意 ， 它 都为零。(白噪声只有在 时才相关) Date48通信原理北化信息学院王学伟 白噪声的自相关函数及其功率谱密度 图2-5a 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date49通信原理北化信息学院王学伟 带限白噪声 如果白噪声被限制在 内， 在该 频率区上有 ，而在该区间外 ，则这样的白噪声被称为带限 白噪声。 带限白噪声的自相关函数为： 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date50通信原理北化信息学院王学伟 结论：如果对带限白噪声按抽样定理 取样的话，(即抽样频率 ) 则各抽样值是互不相关的随机 变量。 如图2-5(b)所示。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date51通信原理北化信息学院王学伟 2.7 正弦波加窄带高斯过程 正弦波加窄带高斯噪声的包络及相 应的概率密度函数。 1.信号的形式 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date52通信原理北化信息学院王学伟 是窄带高斯过程，均值为零， 在 上均匀分布。 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date53通信原理北化信息学院王学伟 这个概率密度函数成为广义瑞利分布， 也叫做莱斯 ( Rice ) 密度函数。 以 为条件相位 的概率密度 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date54通信原理北化信息学院王学伟 2.7-4 2.5-10 第二章 随机信号分析(analysis of random signal) Date55通信原理北化信息学院王学伟 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图 2-6 正弦波加高斯窄带过程的包络和相位分布 第二章 随机信号分析(a