全概公式与贝叶斯公式.ppt

1.4 1.4 全概公式与贝叶斯公式全概公式与贝叶斯公式 综合运用 加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥 乘法公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0 计算比较复杂事件的概率, 它们实质上 全概率公式和贝叶斯公式主要用于 是加法公式和乘法公式的综合运用. 例1 设设在某次世界女子排球赛赛中，中俄日古巴 四队队取得半决赛权赛权 ，形势势如下： 中国队队 古巴队队 日本队队 俄罗罗斯队队 冠军 中国队队 胜队胜队 现根据以往的战绩，假定中国队战胜日本队、 俄罗斯队的概率分别为0.9与0.6，而日本队战 胜俄罗斯队的概率为0.4，试问中国队取得冠 军的可能性是多少？ 一、全概公式 解：记A=“日本队胜队胜 ”；B=“中国队胜 ” 得到在概率计算中常用的全概率公式. 定理1（全概率公式） 设随机试验 E的样本空间 ， A1,A2,An 为一完备事件组，且P(Ai)0， i =1,2,n, 则 对于任一事件B, 有 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就 证明：证明： 设设A1,A2,An 则 A1+A2+An= 对于任一事件B，有 A 1 A 3 A 5 A 2 A 6 A 4 为完备事件组， 在较复杂情况下直接计算P(B)不易,但B总 是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组 Ai往往可以简化计算. 全概率公式的来由, 不难由上式看出: “全”部概率P(B)被分解成了许多部分之和. 它的理论和实用意义在于: 某一事件B的发生有各种可能的原因 (i=1,2,n)，例如B是由原因Ai所引起，则B 发生的概率是 每一原因都可能导致B发生，故 P (B Ai)=P(Ai)P(B |Ai) 全概率公式. 我们还可以从另一个角度去理解 概率的总和，即全概率公式. B发生的概率是各原因引起B发生 例2 设设有一批同规规格的产产品，由三家工厂生产产， 其中甲厂生产产1/2，乙、丙两厂各生产1/4， 而且各厂的次品率依次为2%，2%，4%， 现从中任取一件，求取到次品的概率。 解：设设 分别别表示甲、乙、丙工厂的产产品， B表示次品，则则构成完备备事件组组。 玻璃杯的概率。 例3 玻璃杯成箱出售，每箱20只，各箱含0， 1， 2个次品的概率分别为0.8 , 0.1 , 0.1 ,一顾客购 买一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一 箱，顾客开箱任意抽查5只，若无次品，则购 买该箱玻璃杯，否则退回。求顾客买下该箱 分析：问题是求顾客买下玻璃杯的概率，假设 =顾客买下该箱玻璃杯， 要买下这箱玻璃杯，与各箱的次品数有关， 假设=该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2） 解：解： =顾客买下该箱玻璃杯，则 设=该箱玻璃杯有i个次品（i=0，1，2） 二、贝叶斯公式（逆概公式）二、贝叶斯公式（逆概公式） 定理2（贝叶斯公式） 设随机试验 E的样本空间 ， A1,A2,An 为一完备事件组，且P(Ai)0， i =1,2,n, 则 对于任一事件B, 有 i =1,2,n, 231 1红4白 ? 该球是取自1号箱的概率 . Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; 例4 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装 有1个红球4个白球，2号箱装有2红球3白 球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取 一箱，从中任意摸出一球，发现是红球,求 解：记 B =取得红球 例如 甲、乙两台机床生产产数量很多的同一 种产产品，根据已有的资资料及经验经验 知道各机床 产产量占总产总产 量的比例及各机床产产品的废废品率， 现现从这这批产产品中随机抽取一件，发现发现 是废废品， 判断它是由哪台机床生产产的？ 设A表示甲厂产产品，B表示废品，已知 由贝贝叶斯公式求出 则认为该废则认为该废 品是甲厂的产产品。 Bayes公式常用在判别别方法，称为为贝贝叶斯决策。 例5 某一地区患有癌症的人占0.005，患者 对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常 人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现 抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是 癌症患者的概率有多大? 则 表示“抽查的人不患癌症”. 已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04 解: 设 C=抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性， 求P(C|A). 现在来分析一下结果的意义. 由贝叶斯公式，可得 2. 检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症 有无意义？ = 0.1066 试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论 你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来 说，1000个人中大约只有107人确患癌症)， 此时医生常要通过再试验来确认. P(CA)=0.1066 贝叶斯公式 在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为 原因的验前概率和验后概率. P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不 知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸 事件发生可能性大小的认识. 当有了新的信息（知道B发生），人们对诸 事件发生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计. 贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。 例 6 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一 人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的 概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求 飞机被击落的概率. 设B=飞机被击落 Ai=飞机被i人击中, i=0，1,2,3 由全概率公式 P(B)= P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B |A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) 且 B=A0B+A1B+A2B+A3B 求解如下: 依题意， P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 则 构成一个完备事件组 可求得: 为求P(Ai ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得: P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14. 于是 P(B)= P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B |A1) =0.458 =0P(A0)+0.360.2+0.41 0.6+0.14 1 即飞机被击落的概率为0.458. + P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3) 例 (敏感性问题的调查) 学生考试作弊会严重影响学 风和大学生身心健康发展，但这些都是避着教师进行 的，属于不光彩行为，要调查考试作弊同学在全体学 生中所占比率P是一件难事，这里关键是要设计一个调 查方案，使被调查者愿意作出真实回答又能保守个人 秘密，经过多年研究与实践，一些心理学家与统计学 家设计了一种调查方案，这个方案的核心是如下两个 问题。 问题1：你的生日是否在7月1日之前？ 问题2：你是否在考试时作过弊？ 被调查者只需回答其中一个问题至于回答哪一个问题 由被调查者事先从一个罐中随机抽取一只球，看过颜 色后再放回，若抽出白球则回答问题1；若抽出红球则 回答问题2，罐中只有白球与红球，且红球的比率 是 已知的，即 P(红球)= ， P(白球)=1- 被调查者无论回答问题1还是问题2，只需在下面答卷 上认可的方框内打勾，然后将答卷放入一只密封的投 票箱内. 是 否 答案 上述抽球与答卷都是在一间无人的房间内进行的，任何外 人都不知道调查者抽到什么颜色的球和在什么地方打勾， 如果向被调查者讲清楚这个方案的做法，并严格执 行，那么就容易被调查者确信他（她）参加这次调查不 会泄露个人秘密，从而愿意参加调查. 当有较多的人参加调查后，就可以打开投票箱进行 统计.设有 张答卷，其中 张答“是”，于是回答“ 是”的比率是 ，可用频率 去估计，记为 (是)= ， 这里答“是”有两种情况：一种是摸到白球后回答问题 1答“是”，这是一个条件概率，它是“生日是否在7月1 日之前”的概率，一般认为是0.5，即 (是 )=0.5 另一种是摸到红球后回答问题2答“是”，这 也是一个条件