《等比数列及其前n项和》高考复习参考课件.ppt

1.理解等比数列的概念 2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式 3能在具体的问题情境中识别数列的等比关 系，并能用有关知识解决相应的问题 4了解等比数列与指数函数的关系 等比数列的相关概念 思考探究 (1)数列a，a2，a3，an，一定是等比数列吗？ 提示：当a0时，该数列不是等比数列 (2)b2ac是a，b，c成等比数列的什么条件？ 提示：b2ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件. 当b0时，a，c至少有一个为0，此时b2ac，但a， b，c不成等比数列，反之，若a，b，c成等比，则必有 b2ac. 1已知an是等比数列，a22，a5 ，则公比q ( ) A B2 C2 D. 解析：由通项公式及已知得：a1q2， a1q4 ， 由 得q3 ，解得q . 答案：D 2在正项等比数列an中，a1和a19为方程x210x16 0的两根，则a8a10a12 ( ) A32 B64 C64 D256 解析：由已知可得a1a1916，而an为正项等比数 列，所以a104.故a8a10a12 64. 答案：C 3在等比数列an中，前n项和为Sn，若S37，S663， 则公比q的值是 ( ) A2 B2 C3 D3 解析：S3 7，S6 63， 1q39，q38，q2. 答案：A 4在数列an，bn中，bn是an与an1的等差中项，a12， 且对任意nN*，都有3an1an0，则bn的通项公式 bn_. 解析：a12,3an1an0， an是以2为首项，以 为公比的等比数列， ana1qn12( )n1 . 又bn是an与an1的等差中项， bn (anan1) ( ) . 答案： 5若等比数列的公比为2，且前4项和为1，则这个等比 数列的前8项和为_ 解析：由题意可知，S8S4a8a7a6a5q4(a1 a2a3a4)24，所以前8项和等于17. 答案：17 等比数列的判定方法有： 1定义法：若 q(q为非零常数)或 q(q为非零 常数且n2)， 则an是等比数列 2中项公式法：若数列an中，an0且 anan 2(nN*)，则数列an是等比数列 3通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均 为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列 4前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为 常数且k0，q0,1)，则an是等比数列 特别警示 (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法， 而后两种方法常用于选择、填空中的判定 (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意 的连续三项不成等比即可 数列an的前n项和为Sn，若anSnn，cnan1. 求证：数列cn是等比数列 思路点拨 课堂笔记 a1S1，anSnn a1S11，得a1 ， c1a11 ， 又an1Sn1n1， 得2an1an1， 即2(an11)an1， 即 ，即 ， cn是以 为首项，以 为公比的等比数列 若将“cnan1”改为“c1a1，且cnanan1(n2)” ，试判断数列cn是否还是等比数列？ 解：由例题可知，2an1an1， 2anan11(n2)， 2(an1an)anan1，即2cn1cn(n2). 又c1a1 ，a2S22， a2a1a22，即a2 ， c2a2a1 ，即 . 数列cn是首项为 ，公比为 的等比数列. 1.在等比数列an的通项公式和前n项和公式中共有五个 量：a1，q，n，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过 列方程组求解 2在进行等比数列基本量的计算时，要恰当运用等比数 列的性质，这样可以大大简化运算，提高效率 特别警示 在使用等比数列的前n项和公式时，应根据公 比q的情况进行分类讨论，切不可忽视q的取值而盲目套用 求和公式 (2009辽宁高考)等比数列an的前n项和为Sn.已知 S1，S3，S2成等差数列 (1)求an的公比q； (2)若a1a33，求Sn. 思路点拨 课堂笔记 (1)依题意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2) 由于a10，故2q2+q=0. 又q0，从而q=- . (2)由已知可得a1-a1(- )2=3， 故a1=4， 从而Sn= = 1-(- )n 若将例题条件中的“S1，S3，S2成等差数列”改为“a1 ，a3，a2成等差数列”，试求an的公比q. 解：依题意有a1a1q2a1q2， 又a10， 1q2q2， 解之得，q1或q . 1.等比数列的单调性 设等比数列an的首项为a1，公比为q. (1)当q1，a10或0q1，a10时，数列an为递增 数列； (2)当q1，a10或0q1，a10时，数列an为递减 数列； (3)当q1时，数列an是(非零)常数列； (4)当q0时，数列an是摆动数列. 2通项特征 (1)等比数列的通项公式ana1qn1可推广为anamqnm； (2)若mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN*)； (3)当an是有穷等比数列时，与首末两项等距离的两项之 积都相等，都等于首末两项之积 3前n项和的性质 设Sn是等比数列an的前n项和，则 (1)Sn，S2nSn，S3nS2n满足关系式(S2nSn)2Sn(S3n S2n) (2)若数列an的项数为2n，则 q，其中S偶，S奇分别是 数列的偶数项之和与奇数项之和 4其他性质 (1)若数列an，bn是等比数列，c为常数，则can， ， ，|an|，anbn， 等也是等比数列 (2)等比数列an中每隔k项取出一项，按原来的顺序排成 一个新数列，则该数列仍为等比数列 (1)已知等比数列an中，a1a2a37，a1a2a3 8，求an； (2)有四个正数，前三个数成等差数列，其和为48，后三 个数成等比数列，其最后一个数为25，求此四个数 思路点拨 课堂笔记 (1)法一：数列an为等比数列， a1a2a3= ， 又a1a2a3=8，a2=2， a1+a3=5. 设等比数列的公比为q，则 解之得q=2或 ， an=22n-2或an=2( )n-2， 即an=2n-1或an=23-n. 法二：设an的公比为q，由题意知 解得 或 an2n1或an23n. (2)设前三个数分别为ad，a，ad(d为公差)， 由题意知，(ad)a(ad)48， 解得a16. 又后三个数成等比数列，即16,16d,25成等比数列， (16d)21625， 解之得，d4，或d36. 因四个数均为正数，故d36应舍去， 所以所求四个数依次是12,16,20,25. 以选择题或填空题的形式考查等比数列的定义 及相关性质的应用以及以解答题的形式综合考查等差 数列和等比数列的综合应用是高考对该部分内容的常 规考法.09年山东高考将等比数列与指数函数相结合命 题，既考查了等比数列的有关运算，又考查了数列的 函数性质，题型新颖，能考查学生对数学知识间横向 联系的理解和应用，是一个新的考查方向 考题印证 (2009山东高考)(12分)等比数列an的前n项和为Sn， 已知对任意的nN*，点(n，Sn)均在函数ybxr(b0且 b1，b，r均为常数)的图象上 (1)求r的值； (2)当b2时，记bn (nN*)，求数列bn的前n 项和Tn. 【解】 (1)由题意，Snbnr， 当n2时，Sn1bn1r， 所以anSnSn1bn1(b1)，(2分) 由于b0且b1， 所以n2时，an是以b为公比的等比数列 又a1br，a2b(b1)， b，即 b， 解得r1.(4分) (2)由(1)知，nN*，an(b1)bn12n1， 所以bn (6分) Tn Tn (8分) 两式相减得 故Tn (12分) 自主体验 已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)1，且x1，x2R ，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)1恒成立 (1)求证：函数f(x)1是奇函数； (2)若nN*，有an ，bnf( )1，求Sna1a2 a2a3anan1和Tnb1b2b2b3bnbn1. 解：(1)证明：令g(x)f(x)1(xR)， x1，x2R，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)1恒成立， x1，x2R，总有f(x1x2)1f(x1)1f(x2)1 恒成立 即g(x1x2)g(x1)g(x2)(x1，x2R)， 令x1x20，则有g(0)0. 令x1x，x2x(xR)，则有g(0)g(x)g(x)0g (x)g(x)(xR)， 故函数f(x)1是奇函数 (2)f(x1x2)f(x1)f(x2)1， f(n1)1f(n)f(1)f(n)2(nN*)， 即数列f(n)是以2为公差，1为首项的等差数列 f(n)2n1. an ，bnf( )1 . Sna1a2a2a3anan1 1已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7 ( ) A64 B81 C128 D243 解析：an是等比数列， 2，又a1a1q3，a11，那么a7a1q612664. 答案：A 2(2010黄冈模拟)在等比数列an中，已知a1a3a118， 则a2a8等于 ( ) A16 B6 C12 D4 解析：由a1a3a118 q128(q为公比)，即a1q42， a2a8(a1q4)24. 答案：D 3(2010邢台模拟)已知2，a，b，c,4成等比数列，则实 数b等于 ( ) A2 B2 C D8 解析：2，a，b，c,4成等比数列， b2248，b2 ， 2，b,4同号，b2 . 答案：A 4在正项数列an中，a12，点( )(n2)在直线x 0 上，则数列an的前n项和Sn_. 解析：点( )(n2)在直线x 0上， 即 2(n2) an为公比为2的等比数列， 又a12，Sn 2n12. 答案：2n12 5已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn 2，S2n14，则S3n等于_ 解析：an为正项等比数列， Sn，S2nSn，S3n