数字信号处理第一章.ppt

一.序列 1.信号及其分类 (1).信号 信号是传递信息的函数,它可表示成 一 个或几个独立变量的函数。 如，f(x); f(t); f(x,y)等。 (2). 连续时间信号与模拟信号 在连续时间范围内定义的信号,幅值 为连续的信号称为模拟信号,连续时间信 号与模拟信号常常通用。 1-1 离散时间信号-序列 (3). 离散时间信号与数字信号 时间为离散变量的信号称作离散时 间信号；而时间和幅值都离散化的信号 称作为数字信号。 n x(-2) x(-1) x(0) x(1) x(2) x(n) -2-1012 2.序列 离散时间信号又称作序列。通常，离 散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故 应该用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在 存储器中,加之非实时处理,可以用x(n)表示 x(nT),即第n个离散时间点的值,这样x(n)就 表示一序列数,即序列：x(n)。 为了方便，通常用x(n)表示序列 x(n)。 二. 序列的运算 1.移位 当m为正时， x(n-m)表示依次右移m位； x(n+m)表示依次左移m位。 -1012 x(n) 1 1/2 1/4 1/8 . -2 n 例： 1/2 1/4 1/8 1 x(n+1) n 0-1-21 2.翻褶(折迭) 如果有x(n),则x(-n)是以n=0 为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。 例： . -2-10 12 1/8 1/4 1/2 1 x(-n) n -1012 x(n) 1 1/2 1/4 1/8 . -2 n 3.和 两序列的和是指同序号(n) 的序列值逐项对应相加得一新序 列。 例： x(n) 1 1/2 1/4 1/8 n -2-1012 y(n) 1 2 3 1/2 1/4 -2-1 012 n -2-10 1 2 1/4 3/23/2 9/4 25/8 Z(n) . 4. 乘积 是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。 5. 累加 设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列 y(n)定义为 即表示n以前的所有x(n)的和。 6.差分 前向差分（先左移后相减）： 后向差分（先右移后相减） ： 7.尺度变换 （1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点；以此类推。 x(2n) 1 3 1/4 -101 n x(n) 1 2 3 1/2 1/4 -2-1 012 n （2）插值： x(n) x(n/m), m为正整数。 例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点 之间插一个点；以此 类推。通常，插值用 I倍表示，即插入（I-1）个值。 x(n) 1 2 1/2 -101 n x(n/2) 1 2 1/2 -2 -1012 n 。 三.几种常用序 1.单位抽样序列(单位冲激) 1 -2 -1 01 2 n 1 -2 -1 01m n 2.单位阶跃序列 u（n） . 0 123-1 n u(n) 3.矩形序列 4.实指数序列 a为实数，当 5.复指数序列 6.正弦型序列 其中，0为数字频率。 四.序列的周期性 如果存在一个最小的正整数N, 满足x(n)=x(n+N),则序列x(n)为周期 性序列,N为周期。 下面讨论一般正弦序列的周期性。 设 x(n)=Asin(0n+） 那么 x(n+N) =Asin(0(n+N)+)=Asin(0n+0N+) 如果 x(n+N)=x(n) 什么是有理数、无理数？ 有理数：整数和分数统称为有理数。 无理数：小数的位数是无限多而且又不是 循环小数。 则要求N=(2/0)k，式中k与N均取整数 ，且k的取值要保证N是最小的正整数， 满足这些条件，正弦序列才是以N为周期 的周期序列。 具体正弦序列有以下三种 情况： (1)当2/ 0为整数时，k=1，正弦序列是 以2/ 0为周期的周期序列。例如 sin(/8)n， 0 =/8，2/ 0 =16,该正弦序 列周期为16。 （2） 2/ 0不是整数，是一个有理数时，设2/ 0 =P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取 k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周 期序列。例如sin(4/5)n， 0 =(4/5)，2/ 0 =5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序 列。 (3)2/ 0是无理数，任何整数k都不能使N为正 整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。 例如， 0 =1/4,sin(0 n)即不是周期序列。对于 复指数序列ej0 n的周期性也有同样的分析结 果。 五. 用单位抽样序列表示任意序列 1.任意序列可表示成单位抽样序列的位移 加权和. 例: -3 -2 -1 0 1 2 3 45 x(n) n 位移加权和 n 0 n 0 n 0 (n+3) (n-2) (n-6) m 0 1 m 0 x(m) 2. x(n)亦可看成x(n)和(n)的卷积和 复习 离散时间信号-序列 序列的运算：移位、翻褶、和、累加、差分、 时间尺度变换、卷积和 常用序列：单位抽样序列、阶跃序列、矩形序 列 序列的周期 本节课重点 线性系统 时不变系统 因果系统 稳定系统 常系数线性差分方程 奈奎斯特抽样定理 1-3时域离散系统 一.线性系统 系统实际上表示对输入信号的一种运 算，所以离散时间系统就表示对输入序 列的运算，即 x(n)离散时间系统 Tx(n) y(n) y(n)=Tx(n) 设系统具有： 那么该系统就是线性系统，即线性系统具有 均匀性和迭加性。 *加权信号和的响应=响应的加权和。 *先运算后系统操作=先系统操作后运算 。 二.移不变系统 如Tx(n)=y(n),则Tx(n-m)=y(n-m), 满足这样性质的系统称作移不变系统。 即系统参数不随时间变化的系统，亦即 输出波形不随输入加入的时间而变化的 系统。 *移（时）不变 例：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不变系统. 解：因为 Tx(n)=y(n)=3x(n)+4 所以 Tx(n-m)=3x(n-m)+4 又 y(n-m)=3x(n-m)+4 所以 Tx(n-m)=y(n-m) 因此， y(n)=3x(n)+4是移不变系统. *系统操作=函数操作 三.单位抽样响应与卷积和 1.线性移不变系统 具有移不变特性的线性系统。 2.单位抽样响应h(n) 当线性移不变系统的输入为(n)， 其输出h(n)称为单位抽样响应，即 h(n)=T(n) (n) h(n) T(n) 线性移不变系统 h(n) x(n)y(n) 3.卷积和 y(n)=x(n)* h(n) 四.线性移不变系统的性质 1.交换律 2.结合律 3.对加法的分配律 h1(n)+h2(n) x(n) y(n) h1(n) h2(n) y(n) x(n) 例：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为 h1(n)=(n)- (n-4); h2(n)=an u(n),|a|1,当输入x(n)=u(n) 时，求输出。 解： h1(n) x(n) y(n)h2(n) w(n) w(n)=x(n)* h1(n)=x(m) h1(n-m)= u(m) h1(n-m) = u(m) (n-m)- (n-m-4)=u(n)-u(n-4) = (n)+(n-1)+(n-2)+ (n-3) y(n)= w(n)* h2(n)=(n)+(n-1)+(n-2)+ (n-3) * h2(n) = h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3) = an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2u(n-2)+ an-3u(n-3) 五.因果系统 某时刻的输出只取决于此刻以及以 前时刻的输入的系统称作因果系统。 *实际系统一般是因果系统； *对图象、已记录数据处理以及平 均处理的系统不是因果系统； 五.因果系统 y(n)=nx(n) y(n)=x(n+2)+ax(n) y(n)= y(n)=x(-n) 五.因果系统 在考查系统的因果性时，必须把输入信号的 影响与系统定义中用到的其他函数的影响区 别开来。 y(n)=x(n)sin(n+2)，只看输入x(n)和输出y(n) 的关系，而不讨论sin(n+2) 五.因果系统 线性移不变系统是因果系统的充分必要 条件是h(n)=0，n 0 五.因果系统 充分条件：若 因而 所以只和时的值有关，因而系统是因果系统 五.因果系统 必要性：利用反正法来证明。已知为困果系统，如果假设 则 在所设条件下，第二个式至少有一项不为零，将至少和 时的一个 值有关，这不符合因果性条件，所以假设 不成立。 六.稳定系统 所谓稳定系统，是指系统有界输入，系 统输出也是有界的。 一个线性移不变系统是稳定系统的充分必要条件是 充分性 若 如果输入信号有界，即对所有n皆有 则 即输入出信号有界 必要性 利用反正法，已知系统稳定，假设 可以找到一个有界输入为 则 在n=0时输出无界，不符合稳定的条件，所以假设不成立 1-3 常系数线性差分方程 离散变量n的函数x(n)及其位移函数x(n-m) 线性叠加而构成的方程. 一.表示法与解法 1.表示法 离散时间线性 移不变系统 (n) y(n) * 常系数：a0,a1,aN ; b0,b1,bM 均是常数 （不含n）. *阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号 之差 ，如 N=N-0. *线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含 它们的乘积项。 2.解法 时域：迭代法，卷积和法; 变换域：Z变换法. 二.用迭代法求解差分方程 1.“松弛”系统的输出 起始状态为零的系统，这种系统 用的较多，其输出就是 。 因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必 须知道h(n)的求法. 2.迭代法（以求h(n)为例） 例: 已知常系数线性差分方程为 y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样 响应h(n). 解：因果系统有h(n)=0,n0 ; 方程可写 作: y(n)=ay(n-1)+x(n) 1.一个常系数线性差分方程并不一定代表 因果系统，也不一定表示线性移不变系 统。这些都由边界条件（初始）所决定 。 2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差 分方程就代表线性移不变系统，且多数 代表因果系统。 注意： 1.系指系统的输入与输出的运算关系的表述 方法。 2.差分方程可直接得到系统结构。 例：y(n)=b0x(n)-a1y(n-1) 用表示相加器； 用 表示乘法器； 用 表示一位延时单元。 三.系统结构 x(n) b0 -a1 y(n-1) y(n) -a1y(n-1) b0 x(n)-a1y(n-1) b0 x(n) 例：差分方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为： 1-4 连续时间信号的抽样 一.抽样器与抽样 1.抽样器 P(t) T 2.实际抽样与理想抽样 0 t 实际抽样 ： t p(t) 0 t T p(t)为脉冲序列 理想抽样 ： t t （冲激序列） 二.抽样定理 1.预备知识 （1）冲激信号及其抽样特性 定义： t (1) 0 取样特性： (2)频域卷积定理 若 (3)冲激函数序列的傅氏变换 0 T t 0 冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。 2.抽样信号的频谱 *可见，该频谱为周期性信号，其 周期为 0 , h为最高频率分量 3.取样定理 由上图可知，用一截止频率为 的 低通滤器对 滤波可以得 因此，要想抽样后能不失真的还原出 原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信 号最高频率分量。即 这就是奈 奎斯特取样定理。 三.抽样的恢复 如果抽样信号 或 通过