标量场和矢量场.ppt

1 第一章 矢量分析 1.1 标量场和矢量场 1.2 三种常用的正交坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流与旋度 1.6 亥姆霍兹定理与格林定理 2 说明：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 E。教材 上的矢量符号即采用印刷体。 标量：只有大小，没有方向的物理量(电压U、电荷量Q、能量W等 ） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度） 矢量的代数表示 1.1 标量场和矢量场 一、矢量代数 1.矢量与标量 矢量的几何表示：用一条有方向的线段来表示 矢量的几何表示 矢量可表示为： 其中 为模值，表征矢量的大小； 为单位矢量，表征矢量的方向； 3 任一方向的单位矢量为 在直角坐标系中，如果矢量在 三个坐标轴上 的投影分别为 ，则矢量 表示为 设矢量 与三个坐标轴 的夹角分别为 ，则 4 2.位置矢量 P(x,y,z) x y z o P(x,y,z ) 矢量 :点P的位置矢量。 矢量 :点P的位置矢量。 矢量 :点P相对于点P的 相对位置矢量。 3.矢量的代数运算 矢量的加法和减法 说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律： 2、矢量相加和相减可用平行四边形法则求解： 6 2）矢量与矢量点乘 1）矢量与标量相乘 标量与矢量相乘只改变矢量的大小，不改变方向。 说明： 1、矢量的点积符合交换律和分配律： 2、两个矢量的点积为标量 3、 4、 矢量的乘法 7 例：证明“三角形余弦定理”。 A B C 8 3）矢量与矢量叉乘（矢积） 方向：“右手螺旋法则” 物理含义： 1.“平行四边形面积 ” 2.“右手法则” “模”： 矢量的矢积（叉积） q sinAB q 9 说明： 1、矢量的叉积不符合交换律，但符合分配律： 2、两个矢量的叉积为矢量 3、矢量运算恒等式 矢量代数运算式 11 12 二、标量场与矢量场 1标量场和矢量场的概念 “场”概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场）在 空间以某种形式分布，若每一时刻每个物理量都有一 个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。 场的分类： 按物理量的性质分： 1）标量场：描述场的物理量为标量（温度场，电位场） 。 2）矢量场：描述场的物理量为矢量（电场，磁场）。 按物理量变化特性分： 1）静态场：物理量不随时间发生变化的场。 2）时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化 的场。 13 例如，在直角坐标下,空间区域内的某个物理量满足如 下两个函数： 标量场 矢量场 如温度场、电位场、高度场等； 如流速场、电场、涡流场等。 14 2标量场的等值面 由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 若标量函数为 ，则等值面方程为： 高度场的等高线 15 矢量线：表示矢量在空间分布的有向线段。 矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向。 3.矢量场的矢量线 图0.1.2 矢量线 矢量线方程 16 三、矢量与矢量场的不变特性 在任一时刻，描述场的物理状态分布的