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文档简介

一、 相似矩阵及其性质 4.3相似矩阵与方阵的对角化 1. 相似矩阵有相同的秩。 2. 相似矩阵的行列式相等。 3. 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 相似矩阵的性质： 矩阵的相似关系是一种等价关系！ 4. 证明 推论 若 阶方阵A与对角阵 证明 必要性： 二、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件 矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应 充分性： 说明 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似 推论 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化（充分而不必要） 例1 特征值-2，1（二重），相应特征向量： (-1,1,1)T, (-2,1,0)T, (0,0,1)T 定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数. 证明 （一）、对称矩阵的性质 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵 三、实对称矩阵的对角化 于是有 两式相减，得 定理4.6的意义 证明 于是 定理4.7 定理4.8 如果n阶实对称矩阵A有m个不同的特征值 其重数分别为 则 4.84.8 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： （二）、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法 将特征向量正交化;3. 将特征向量单位化.4. 2. 1. 5. 将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交阵P. 矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化 a) 相似矩阵有相同的秩。 b) 相似矩阵的行列式相等。 c) 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 1. 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。 1. 相似矩阵 三、小结 d) 性质： 2. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值 3. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤： (1)求特征值；(2)找特征向量；(
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